Одесский государственный педагогический институт им. К. Д. Ушинского

54

3. Доказать тождество
   $$\sin \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) = 1.$$

4. Дана правильная четырехугольная парамида с боковым ребром $l$. Плоскость сечения проходит через диагональ основания и середину бокового ребра и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$. Найти площадь сечения.

Вариант 4
(географический факультет)

1. Решить уравнение
   $$\sin^2 x - 3 \cos^2 x = 1.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{2 - 5x}{x + 1} > 2.$$

3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = -x^2 + 6x - 3$, $y = -x + 7$.

4. Боковые ребра треугольной парамиды взаимно перпендикулярны и равны $a$ см. Найти объем парамиды.

Физика

Задание устного экзамена
(mатематический и физический факультеты)

1. Два груза массами $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 6,8$ кг высит на концах нити, перекнутой через блок. Менный груз находится на $h = 2$ м ниже большого. Грузы пришли в движение без начальной скорости. Через какое время они оказываются на одной высоте?

2. Груз массой $m = 10$ кг перемещают равномерно по горизонтальной прямой, прикладывая силу, направленную под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Определите модель этой силы, если коэффициент треня $\mu = 0,2$.

3. Шарик массой $m = 100$ г, подвешенный на нити длиной $l = 20$ см, отклонен от положения равновесия на угол $\alpha = 60^\circ$. Шарик сообщил скорость $|\vec{v}_0| = 2$ м/c в направлении, перепендикулярном к нити. Какова должа быт прочитать нити, чтобы шарик при движении не оборвал нить?

4. Когда груз неподвижно высел на вертикальной пружине, ее удлинение было $\Delta l = 5$ см. Затем груз оттянули и отпустили, вследствие чего на начал колебаться. Каков период этих колебаний?

5. Льдина постояной толщины плавает в воде, выдаваясь над поверхностью на $h = 2$ см. Какова масса льдины, если площадь $S = 150$ см$^2$? Плотность льда $q_\perp = 0,92$ г/cm$^3$.

6. Цилиндрический сосуд делится на две части подвижным поршнем. Каково будет равновесное положение поршня, если в одну часть сосуда помещить некоторое весовое количество кислорода, в другую — такое же количество водорода? Общая длина сосуда $l = 85$ см.

7. Для нагрева некоторых массы воды от $t_0 = 0^\circ C$ до температуры кипения на электронском нагревале потrebовалось $\tau_1 = 15$ мин. После этого потrebовалось $\tau_2 = 1$ ч 20 мин для обращения всей этой воды в пар при тех же условиях. Определите по этим данным удельную теплоту парообразования воды.

8. Во сколько раз изменится мощность, выделяемая в проводнике сопротивлением $R_1 = 6$ Ом, если паралельно ему подключит второй проводник сопротивлением $R_2 = 9$ Ом? Внутреннее сопротивление источника $r = 4$ Ом.

9. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях сопротивления внешней цепи: $R_1 = 5$ Ом и $R_2 = 0,2$ Ом.

10. Линза дает трехкратное увеличение предmeta, находящого на расстоянии $d = 10$ см от ее плоскости. Найти фокусное расстояние линзы.

E. Веретенникова,
O. Овчинников

Одесккий государственный педагогический институт им. К. Д. Ушинского

(физико-математический факультет)

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Найти боковый поверхность правильно треугольной пружины высоты $h$, если прямая, соединяющая центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.

2. Найти наиболее и наиболее значения функции $y = \sqrt{x(10-x)}$ на области ее определения.

3. Доказать, что выражение
   $$\frac{\sin \alpha + tg \alpha}{\cos \alpha + ctg \alpha}$$ не принимает отрицательных значений.

4. Решить неравенство
   $$\log \frac{1}{2} (x^2 - x) > \log \frac{1}{2} (2x - 2).$$
   Вариант 2

5. В шар вписан конус, образующий конторого конгруэнтна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

6. Найти промежутки монотности функции
   $$y = \frac{x - 1}{x^2}.$$

7. Найти значение выражения
   $$1 - 2 \cos^2 (\alpha - 2\pi)$$
   $$\sin (\pi - \alpha) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - tg \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \sin \frac{3\pi}{2}.$$