Международные математические соревнования школьников

59

Международные математические современные школьники не проводились. Однако были проведены два международных современных. Однако их прохождение в г. Маринхамина (Финляндия), а другой — в г. Мерш (Люксембург). Соревнования проходили почти одновременно: 1 и 2 июля в Финляндии и 10 и 11 июля в Люксембурге. Регламент современного математического описания: работа участников прохождение два дня по 4 часа, по 3 заданий в день, команда каждой страны состоит из 8 человек. В современных прияниях учащие: в Финляндии — Великобритания, Венгрия, Финляндия, Швеция; в Люксембурге — Бельгия, Великобритания (вторая команда), Люксембург, Нидерланды, Югославия. Команды Беолгии и Югославии состояли из 3 и 7 человек соответственно.

Результаты современной были невысокими. В Финляндии лучший результат был 28 окнов из 40, и лишь 15 участников набрали больше 10 окнов (при 32 участниках). В Люксембурге результаты были выше (правда, и задан там были легче). Лучший результат был у голландского школьника Карельяна Шутена (37 окнов), 19 участников (из 34) набрали больше 20 окнов.

Вот задачи этих современной:

Финляндия

Первый день

1. В треугольнике ABC средние перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекают прямую BC в точках X и Y соответствующего.

Доказать, что для того, чтобы $|BC|=|XY|$, достаточно, чтобы $tg\hat{B} \cdot tg\hat{C}=3$. Доказать, что это условие не является необходимым, и найти необходимое и достаточно условие для того, чтобы $|BC|=|XY|$. (6 окнов)

2. Последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ определяла соответствия $a_0=1/2, a_{k+1}=a_k+1/n, a_k^2$. Доказать, что $1-\frac{1}{n}<a_n<1$. (7 окнов)

3. Расстояние уравнения $x^n+1=y^{n+1}$, где $n$ — натуральное число, больше 1. Доказать, что не существует натуральных решений этого уравнения $x$ и $y$, для которых $x$ и $n+1$ не имеют общих делителей. (7 окнов)

Второй день

4. Выпуклый $2n$-угольник вписан в окружность. Известно, что $n-1$ пара противоположных сторон многоугольника параллельна. Для каких значений $n$ оставшиеся две стороны также параллельны? (6 окнов)

5. Горизонтальная прямая называется треугольной для кривой, заданной уравнением $y=x^4+px^3+qx^2+rx+s$, если она пересекает ее в четырех различных точках $A, B, C$ и $D$ (в этом порядке) и из отрезков $AB, AC$ и $AD$ можно составить треугольник.

Доказать, что либо все горизонтальные прямые, пересекающие эту кривой в четырех различных точках, являются треугольными для нее, либо ни одна из них не является треугольной. (7 окнов)

6. Найти первый десятичный знак перед запятой и первый десятичный знак после запятой в десятичной записи числа $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{1980}$. (7 окнов)

Люксембург

Первый день

1. Найти функцию $f:Q \rightarrow Q$, удовлетворяющую следующим условиям: $f(1)=2, f(xy)=f(x)+f(y)-f(x+y)+1$ для всех $x, y \in Q$ (6 окнов)

2. На отрезке $AC$ выбрана точка $B$. На отрезках $AB, BC$ и $AC$, как на диаметрах, в одну сторону от прямой $AC$ построены полукругности. Через точку $B$ проводится общая касательная к первым двум полукругностям, пересекающая третью полукругность в точке $E$, а точки $K$ и $P$ являются точками касания второй касательной к этим двум полукругностям. Выразить величины отношения площадей треугольников $EPK$ и $EAC$ через радиусы этих полукругностей. (7 окнов)

3. Пусть $p$ — простое число, а $n$ — целое положительное число. Доказите, что следующее два утверждения эквивалентны:

a) Ни один из биоминальных коэффициентов $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ не делится на $p$.

b) Число $n$ может быть представлено в виде $n=p^s q^{-1}$, где $s$ и $q$ — целые числа, $s \geq 0, 0<q<p$. (7 окнов)

Второй день

4. Две окружности касаются в точке $P$ (внешним или внутренним образом). Прямая, касающаяся одной из окружностей в точке $A$, пересекает другую окружность в точке $B$ и $C$. Доказать, что прямая $PA$ делит пополам углём прямых $PB$ и $PC$. (6 окнов)

5. Десять игроков начиная от кратей в костях, имея по одинаковому количеству денег. Каждый по очереди бросает пять игральных костей, затем он плитит каждому $\frac{1}{n}$ от того количества денег, которое тот имеет в этой время, где $n$ — сумма числа очков, выпавших на всех пятей костях. Когда костей бросил десятичный игрок, то на них выпало 12 очков и, после раздачи денег, у каждой оказалась та же сумма, с которой он начал игру.

Определите, если возможно, количество очков при каждом бросании. (7 окнов)

6. Найти все пары $(x; y)$ целых чисел, удовлетворяющих уравнению $x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1)$. (7 окнов)

А. Савин