Задачи М686—М690; Ф698—Ф702

31

Задачи

M686—M690; Ф698—Ф702

M686. Для любого ли числа $x \geqslant 1$ верно равенство
$$[\sqrt{x}] = [\sqrt{\sqrt{x}}]?$$
(Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
В. Прасолов

M687. a) В девятнутульной примике все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синей. Докажите, что существует три вершины примиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.
6) Верно ли аналогичное утверждение для восмиугольной примиды?

H. Ненов (Болгария)

M688. Даны натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ такие, что $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Докажите, что одно из выражений
$$a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n$$
равно нулю.
C. Ненашев

M689*. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равноведренных трапеций с основаниями 3 см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямогольник.
C. Рукшин

M690*. a) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и перimetра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и перimetра $P_2$. Докажите неравенство
$$2 \frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Сформируйте и докажите аналогичное утверждение для выпukлых многоугольников.
A. Келаров

Ф698. На некотором произвольстве детали перемещают с помощью двух трансортеров, ленты которых движутся во взаимно перпендикулярных

32

направления с одинаковыми по абсолотной величины скорости $v_0$ (рис. 1). При этом деталь, вызжая на трансортер II, останавливается на середине ленты. Скорость трансортера II увеличили в $n$ раз. Как надо изменить скорость трансортера I, чтобы детали по-прежнему останавливались на середине ленты трансортера II? Размеры деталей пренебречь; считать, что переход на трансортер II происходит без удара.

А. Омельянчик

Ф699. Изогнутый капитляр радиуса $r$ (рис. 2), полностью заполненный жидкость, врашается вокруг вертикальной оси $OO'$. При какой угловой скорости врашения жидкость начинает выливаться из капитlara? Плотность жидкости $q$, поверхностное натяжение $\sigma$, жидкость полностью смчивает капитляр; размеры капитlara указаны на рисунке 2.

А. Буздин

Ф700. Имеются два проводника $A$ и $B$ произвольной формы. Первоначально на проводнике $A$ имеется заряд $Q$, а проводник $B$ не заряжен. Проводники приводят в соприкосновение (рис. 3), и на проводник $B$ перетекает заряд $q$. Соприкаошимся проводником сообщили дополнительно некоторые заряд $q_x$, и в результате на проводнике $A$ оказался заряд $q$. Определить заряд $q_x$.

С. Кротов

Ф701. На рисунке 4 показано распределение температуры вдоль тонкого однородного теплозолированного стержня в некоторый момент времени. Как будет меняться распределение температуры в дальнейшем? Какое распределение установится через достаточно долго времени?

О. Савченко

Ф702. Две системы, каждый из которых состоит из двух одинаковых масс $m$, связанных пружинкой жесткости $k$, движутся по гладкой горизонтальной поверхности настречу друг другу с одинаковыми по величины скорости $v_0$. В некоторый момент времени расстояние между системами равно $L$ (рис. 5). Определить время, через которой расстояние между теми же массами снова равно $L$. Столкновение системы считать абсолотно упругим.

В. Можаев