Một lỗ tiềm năng là gì

16

K. Kikopin

Một lỗ tiềm năng là gì

Hố tiềm năng là hố chưa được đào…
(từ văn học dân gian khoa học)

Trong vật lý, người ta thường thấy cụm từ: “Hạt (hoặc hệ) nằm trong giếng thế”. Lỗ tiềm năng là gì và tại sao bất kỳ vật thể vật lý nào lại rơi vào đó? Hãy thử tìm hiểu điều này. Cách thuận tiện nhất để làm điều này là với các ví dụ cụ thể. Trên đó từ đơn giản nhất.

Yashik và quả bóng

Hãy lấy một chiếc hộp có dây thần kinh, trong đó có những chỗ lồi và lõm (lỗ) và ném một quả bóng kim loại vào đó. Sau khi lăn dọc theo đáy, quả bóng cuối cùng sẽ ở lại đáy của một trong các lỗ. Chúng ta hãy tự hỏi: tại sao quả bóng lại ở trong lỗ, chính xác là ở đáy của nó chứ không phải ở trên dốc? Rõ ràng đáp số như sau. Quả bóng nằm trên thành lỗ (hoặc độ lồi) chịu tác dụng của hai lực: trọng lực $\vec{F}_\tau$ và phản lực của tường $\vec{F}_p$ (Hình 1). Hợp lực $\vec{F}$ hướng xuống mặt dốc, do đó quả bóng, theo định luật thứ hai của Newton, nhận gia tốc và lăn xuống đáy lỗ. Ở phía dưới, tác dụng của hai lực ($\vec{F}_\tau$ và $\vec{F}_p$) cân bằng nhau và lực tương đương triệt tiêu nên ở đây quả bóng sẽ ở vị trí cân bằng.

Hãy xem xét tình huống tương tự từ quan điểm năng lượng. Một quả bóng nằm ở đáy lỗ có vận tốc bằng 0 và động năng của nó bằng 0. Theo đó, tất cả năng lượng anh ta sở hữu đều là tiềm năng. Hãy thử nhấc quả bóng ra khỏi vị trí cân bằng của nó. Rõ ràng là bất kỳ chuyển động nào của quả bóng lên dốc đều phải chống lại lực hấp dẫn. Do công việc này được thực hiện trên cơ thể, năng lượng tiềm năng của nó sẽ quay trở lại. Nhưng nếu năng lượng này ($E_\pi$) quay trở lại với bất kỳ

17

độ dịch chuyển ($r$) so với vị trí cân bằng, có nghĩa là tại điểm cân bằng ($r=0$) nó là tối thiểu (Hình 2).

Bây giờ chúng ta hãy theo dõi sự biến đổi năng lượng của một quả bóng được ném xuống đáy hộp. Ở thời điểm đầu tiên nó có động năng và thế năng nhất định. Khi di chuyển lên xuống dọc theo các chỗ lõm và lồi của đáy, xảy ra sự biến đổi lẫn nhau giữa động năng và thế năng, nhưng đồng thời một phần năng lượng bị mất đi để chống lại ma sát. Cuối cùng, tổng năng lượng cơ học trở nên nhỏ đến mức quả bóng không có đủ năng lượng để thoát ra khỏi lỗ tiếp theo và nó vẫn ở dưới đáy. Ở vị trí này, toàn bộ năng lượng còn lại trong quả bóng là thế năng và bằng giá trị nhỏ nhất có thể có trong lỗ này. Ví dụ, Hình 3 cho thấy hai vị trí cân bằng có thể có của một quả bóng ở hai lỗ liền kề có độ sâu khác nhau. Mỗi vị trí cân bằng tương ứng với năng lượng tối thiểu của chính nó và $E_{n\min 1} < E_{n\min 2}$ (để di chuyển quả bóng từ vị trí 1 đến vị trí 2, phải sử dụng công dương).

Vì vậy, chúng ta đã đi đến một định nghĩa khác về trạng thái cân bằng (chính xác hơn là trạng thái cân bằng ổn định):

Vị trí cân bằng ổn định của vật luôn tương ứng với giá trị tối thiểu của thế năng.

Hoặc, như chúng ta nói trong trường hợp này, ở vị trí cân bằng ổn định, vật nằm trong một lỗ thế.

Ví dụ mà chúng tôi đã phân tích rất đơn giản và rõ ràng: một lỗ tiềm năng cho một quả bóng hóa ra lại là một lỗ theo nghĩa đen hàng ngày. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một vật thể mà không có giếng thực sự nào có thể tưởng tượng được, tuy nhiên, giếng thế vẫn tồn tại và xác định trạng thái cân bằng của nó.

bong bóng xà phòng

Bất kỳ đứa trẻ nào cũng biết rằng bong bóng xà phòng thông thường luôn có dạng hình cầu. Tại sao lại như vậy?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần nhớ sức căng bề mặt. Bong bóng xà phòng, theo quan điểm vật lý, là một màng chất lỏng bao quanh một khoang chứa đầy khí. Nếu bạn nhìn tấm phim này ở quy mô lớn hơn, bạn có thể thấy nó bao gồm hai lớp bề mặt (bên ngoài và bên trong) và một chất lỏng được bao bọc giữa chúng. Các phân tử trên bề mặt ở điều kiện đặc biệt so với các phân tử khối. Mỗi phân tử bên trong chất lỏng được bao quanh bởi loại riêng của nó và tổng lực hấp dẫn bằng không. Trên bề mặt phân tử, một mặt hoạt động là của phân tử không ở dạng lỏng nhưng ở dạng khí, có mật độ thấp hơn đáng kể. Do đó, lực hút cân bằng trên bề mặt luôn hướng vào trong, vào thể tích. Do đó, để chạm tới bề mặt, các phân tử phải hoạt động chống lại

18

các lực hấp dẫn này. Điều này có nghĩa là các phân tử trên bề mặt chất lỏng có nhiều năng lượng hơn các phân tử bên trong. Năng lượng tiềm năng bổ sung này được gọi là năng lượng bề mặt. Diện tích bề mặt S càng lớn thì năng lượng bề mặt Eₙ₀ₑ càng lớn:

$$E_{пов} \sim S, \text{ или } E_{пов} = \sigma S.$$

Hệ số tỷ lệ là sức căng bề mặt. Hệ số này được thay đổi bằng cách liên hệ công A cần thiết để tăng diện tích bề mặt thêm ΔS với giá trị của ΔS. Nó khác nhau đối với mỗi chất lỏng.

Khi chúng ta làm vỡ bong bóng, kích thước của khoang (và do đó là bề mặt của màng) tăng lên, nhưng lượng chất lỏng trong màng đương nhiên không đổi. Rõ ràng là sự gia tăng bề mặt chỉ có thể xảy ra do sự giải phóng các phân tử mới từ thể tích vào lớp bề mặt, nghĩa là do hiệu suất công việc và sự gia tăng năng lượng bề mặt của chất lỏng.

Bây giờ chúng ta có thể trả lời câu hỏi tại sao bong bóng xà phòng có hình cầu mà không phải là hình quả trứng, hình elip hay khối đa diện. Thực tế là hình cầu có một đặc tính đáng chú ý: trong tất cả các hình hình học giới hạn một thể tích nhất định, nó có diện tích bề mặt nhỏ nhất. Do đó, nếu chúng ta cố gắng tạo cho bong bóng có hình dạng không phải hình cầu, thì chúng ta sẽ buộc phải tăng diện tích bề mặt của lớp, nghĩa là thực hiện thêm công để đưa các phân tử lên bề mặt, và do đó làm tăng thêm năng lượng bề mặt của chất lỏng.

Nói cách khác,
hình cầu của bong bóng loại bỏ thế năng tối thiểu của màng tạo thành vỏ của nó.

Câu hỏi đặt ra là ai đang ở trong lỗ hổng tiềm năng ở đây? Rõ ràng đây không phải là một phần riêng biệt, vì bản chất của bề mặt căng thẳng không liên quan đến từng phân tử riêng lẻ mà liên quan đến sự tương tác của chúng. Thậm chí không thể nói rằng có các phân tử bề mặt lớp trong giếng thế năng, vì khi bán kính của bong bóng thay đổi, sự chuyển đổi của các phân tử xảy ra từ thể tích sang bề mặt hoặc ngược lại (và ngay cả với kích thước bong bóng không đổi, do chuyển động nhịp độ, có một thể tích phân tử liên tục giữa thể tích và bề mặt).

Như vậy,
Giếng thế chứa toàn bộ năng lượng bề mặt của chất lỏng.

Và chúng tôi chỉ đưa ra khái niệm giếng thế để thu được giếng thế tương ứng với hình cầu của bong bóng (Hình 4). Giảm diện tích của phân tử bằng cách nén bong bóng, nghĩa là thực hiện thêm công để cuộn khí nằm bên trong khoang. Sự tăng năng lượng tương ứng của hệ thống trong trường hợp này được thể hiện trong Hình 4 bằng đường đứt nét. Vì vậy, trên thực tế, trong giếng thế năng có một hệ thống phức tạp gồm “các phân tử chất lỏng bề mặt + phân tử chất lỏng khối lượng lớn + phân tử khí bên trong khoang”.

Tinh thể ion

Cuối cùng chúng ta hãy xem xét ví dụ cuối cùng về một hệ thống đặt trong một giếng thế. Đối với một hệ thống như vậy, loại giếng tiềm năng có thể được thiết lập bằng cách sử dụng các phép tính chính xác nhưng rất đúng ngữ pháp hoặc có thể được thực hiện gần đúng, theo nghĩa đen trong một vài

20

Trong tinh thể, tất nhiên tình hình phức tạp hơn. Ngoài những người hàng xóm gần nhất có điện tích trái dấu, mỗi người còn có những người hàng xóm mang điện tích giống hệt tiếp theo, đằng sau họ - nhiều hơn, v.v. Mặc dù kích thước của tinh thể bị giới hạn nhưng số lượng tinh thể lân cận có thể được coi là vô cùng lớn. Thật vậy, hãy lấy muối “Extra” được nghiền mịn làm ví dụ. Các tinh thể của nó có kích thước ~0,1 mm và hằng số mạng là $a \sim 10^{-8}$ cm, do đó trên cạnh của tinh thể đó có độ giảm ~10^6, trên mặt - 10^12 và về thể tích ~10^18 giống hệt nhau.

Thoạt nhìn, việc tính tổng năng lượng tương tác của một số cột theo cột là một bài toán cực kỳ phức tạp. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của một thủ thuật khéo léo dựa trên các thông điệp vật lý chức năng, phép tính thực sự có thể được thực hiện trong một vài dòng. Điều này sẽ được thảo luận chi tiết ở Phụ lục II ở cuối bài viết, nhưng ở đây chúng tôi chỉ trình bày kết quả cuối cùng. Hóa ra tổng năng lượng tương tác của tất cả các ion trong tinh thể có dạng

$$W_{\text{кр}}(a) = -\frac{Ae^2}{a} + \frac{B}{a^n},$$

trong đó $A$ và $B$ là hằng số. Về mặt đồ họa, nó biểu thị một đường cong có mức tối thiểu mô tả giếng điện thế mà toàn bộ tinh thể nằm trong đó. Điều này có nghĩa là ở trạng thái cân bằng, mạng có giá trị $a_0$ tương ứng với thế năng tối thiểu.

Thoạt nhìn, chúng tôi đã kiểm tra ba vật thể hoàn toàn khác nhau và đảm bảo rằng đối với mỗi vật thể đó, thế năng được mô tả bằng một đường cong ở mức tối thiểu. Trong trường hợp chung, loại giếng tiềm năng có thể phức tạp hơn, cụ thể, nó không phụ thuộc vào một tham số mà phụ thuộc vào nhiều tham số, nhưng nguyên tắc chung luôn giống nhau:

ở trạng thái cân bằng ổn định, bất kỳ hệ thống nào cũng có thế năng tối thiểu, hay nói cách khác, vẫn ở mức của giếng tiềm năng.

Phụ lục I

Hãy tính điện thế $\varphi_1$ tạo ra tại điểm 1 với tọa độ $r_1$ theo điện tích electron + $e$ nằm ở gốc tọa độ (Hình 7). Như đã biết, thế năng này bằng công của trường electron để di chuyển một đơn vị điện tích dương từ một điểm nhất định đến vô cùng.

Chúng ta hãy đặt một điện tích dương thử nghiệm $q$ tại điểm 1. Theo định luật Coulomb, điện tích $e$ tác dụng lên nó bởi một lực $F = qe/r_1^2$ (trong hệ đơn vị abscissa). Hãy tìm công $A_{1-2}$ để di chuyển điện tích $q$ từ điểm 1 đến điểm 2 gần nhất. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chọn khoảng cách $r_2 - r_1$ sao cho trong toàn bộ phần 1-2 lực có thể coi là không đổi và bằng $F_1 = qe/r^2 = qe/(r_1r_2)$. Sau đó

$$A_{1-2} = F_1(r_2 - r_1) = \frac{qe}{r_1r_2}(r_2 - r_1) = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).$$

Tương tự, chúng ta có thể tính công $A_{2-3}$ để di chuyển điện tích $q$ từ điểm 2 đến điểm 3 gần nhất:

$$A_{2-3} = F_2(r_3 - r_2) = \frac{qe}{r_2r_3}(r_3 - r_2) = qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Rõ ràng, công của trường trong phần 1-3 bằng tổng của công 1-2 và 2-3:

$$A_{1-3} = A_{1-2} + A_{2-3} = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) + qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Tiếp tục lý luận, chúng ta có thể đảm bảo rằng các điểm trung gian của các trường bên dưới không phát và biểu thức của tác phẩm chỉ bao gồm tọa độ của điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Do đó, công của trường để di chuyển điện tích thử nghiệm $q$ từ điểm 1 đến vô cực ($1/r_\infty = 0$) bằng

$$A_1 = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_\infty}\right) = qe/r_1.$$

Sau đó, cuối cùng với thế năng tại điểm 1, chúng ta thu được

$$\varphi_1 = \frac{A_1}{q} = \frac{e}{r_1}.$$

Những người quen với việc tích hợp có thể dễ dàng nhận được kết quả này trong một dòng…