Bài toán M756—M760; F768—F772

30

Bài toán

M756—M760; F768—F772

M756. Trong nước, ngoài thủ đô, còn có hơn 100 thành phố. Thủ đô của đất nước được kết nối bằng đường hàng không với 100 thành phố; Mỗi thành phố còn lại được kết nối bằng đường hàng không tới 10 thành phố trên toàn thế giới. Được biết, từ bất kỳ thành phố nào bạn có thể (có thể bằng phương tiện trung chuyển) bay đến bất kỳ thành phố nào khác. Chứng minh rằng có thể đóng cửa một nửa số hãng hàng không bay từ thủ đô để có thể đi từ thành phố này đến thành phố khác.

M757. Từ dãy 1, 1/2, 1/3, 1/4, … không khó để tách ra một cấp số cộng có độ dài ba: 1/2, 1/3, 1/6. Có thể chọn một cấp số cộng từ dãy này không?
a) chiều dài 4?
b) chiều dài 5?
c) độ dài k, trong đó k là số tự nhiên nào?

G. Galperin

M758*. Hỏi số nhỏ nhất phải loại khỏi dãy 1, 2, 3,… 1982 là bao nhiêu để không có số nào còn lại bằng tích của hai số còn lại? (9)

L. Kurlyandchik

M759. Bên trong một tứ giác lồi có tổng sáu khoảng cách theo cặp giữa các đỉnh (nghĩa là tổng độ dài tất cả các cạnh và đường chéo) bằng $S_1$, có một tứ giác khác mà tổng này bằng $S_2$.
a) Giá trị $S_2$ có thể lớn hơn $S_1$ không?
b) Chứng minh rằng $S_2 < 4S_1/3$.
c) Chứng minh rằng nếu bên trong một tứ diện tùy ý có tổng độ dài các cạnh $S_1$ tồn tại một tứ diện khác mà tổng này bằng $S_2$, thì $S_2 < 4S_1/3$. (10)

P. Gusyatnikov

M760. Với một đường đa tuyến khép kín $A_1A_2...A_m$, trong đó m lẻ, thao tác sau tiếp tục: trung điểm của các liên kết của nó được nối bởi m đoạn qua một (điểm giữa $A_1A_2$ - với phần giữa $A_3A_4$, $A_2A_3$ - Với $A_4A_5$, …, $A_{m-1}A_m$ - Với $A_1A_2$, $A_mA_1$ - Với $A_2A_3$). Với kết quả là đường đứt nét, thao tác tương tự lại tiếp tục, v.v. Chứng minh rằng

31

từ bất kỳ dòng bị hỏng liên kết $m$ nào
a) tại $m=5$ - theo hai bước (Hình 1)
b) tại $m=7$ - sau ba bước
c)* đối với bất kỳ số lẻ $m$ - sau một số lượng bóng nhất định (tùy thuộc vào $m$)
nó sẽ trở thành một đường đứt đoạn, tương tự (sau đây gọi là nấu ăn) với đường đầu tiên. (9)

A. Kelarev

F768. Một đỉnh hình nón di chuyển dọc theo một chiếc bàn nhẵn, quay nhanh quanh trục của nó (Hình 2). Ở tốc độ nào $v$ của chuyển động tịnh tiến thì mặt trên không chạm vào mép bàn và thoát ra khỏi nó? Trục của đỉnh vẫn thẳng đứng. Kích thước của phần trên được thể hiện trong Hình 2. (8)

A. Zilberman

F769. Một hình trụ lớn có bán kính $R$ tựa trên hai giá đỡ có chiều cao bằng nhau (Hình 3). Một giá đỡ đứng yên và giá đỡ kia nhô lên từ dưới hình trụ với tốc độ $v$. Khi đó hình trụ ép lên giá đỡ cố định với lực bằng bao nhiêu khi khoảng cách giữa các điểm tựa là $R\sqrt{2}$? Hãy xem xét rằng tại thời điểm ban đầu, các khán đài nằm rất gần nhau; không có ma sát giữa xi lanh và các giá đỡ. (9)

S. Krotov

F770. Trong một xi lanh dẫn nhiệt đặt dưới một piston nhẹ có một hỗn hợp nước và nước đá có cùng lượng nước và nước đá: $m_B=m_\pi=1$ kg. Áp suất lên piston tăng dần từ giá trị ban đầu $p_0=10^5$ Pa lên $p_1=2,5 \cdot 10^6$ Pa. Xác định xem băng sẽ tan bao nhiêu và ngoại lực sẽ thực hiện bao nhiêu công. Được biết, để giảm nhiệt độ tan của băng đi 1 độ thì cần phải tăng áp suất lên $14 \cdot 10^6$ Pa.

1. Giải bài toán, giả sử nước và nước đá không nén được.
2. Đánh giá sự điều chỉnh xuất phát từ việc tính toán khả năng đọc lướt.
   Người ta biết rằng để giảm thể tích của một lượng nước nhất định đi 1% thì áp suất phải tăng lên $20 \cdot 10^6$ Pa. Lấy độ nén của nước đá bằng một nửa độ nén của nước.
   Tính chất nhiệt riêng của nước và nước đá - $c_B = 4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K), $c_\pi = 2,1 \cdot 10^3$ J/(kg K); nhiệt dung riêng tan chảy của băng $\lambda = 3 \cdot 10^5$ J/kg, mật độ của băng $\rho_\pi = 0,9\rho_B$, trong đó $\rho_B$ là mật độ của nước. (9)

A. Buedin

32

F771. Trong mạch điện ở Hình 4, tiểu mục D và một cuộn dây có độ tự cảm $L$ tại thời điểm $t=0$ được nối với nguồn điện áp xoay chiều $u = U_M \cos \omega t$ bằng phím $K$. Xác định cường độ dòng điện trong cuộn dây theo thời gian; vẽ đồ thị hàm số này. Diode và cuộn dây được coi là lý tưởng. Điện trở trong của nguồn được xác định. (10)

V. Skorovarov

F772. Tàu vũ trụ liên hành tinh đã hạ cánh nhẹ nhàng trên Mặt trăng. Con tàu có hình dạng một chiếc đĩa có bán kính $r=4$ m; bề mặt của nó được phủ một lớp sơn đen (không phản chiếu). Có thể phát hiện ứng dụng của tàu vũ trụ sử dụng quy mô truyền hình lớn nhất thế giới của Liên Xô, BTA, với đường kính vật thể $D=6$ m, nếu một tấm nhựa quang được lắp đặt trong mặt phẳng tiêu điểm và khu vực bề mặt mặt trăng nơi đặt vị trí ứng dụng dự kiến ​​được định dạng?

Xin lưu ý rằng cấu trúc có thể phân biệt đáng tin cậy của hình ảnh trên nhựa ảnh (nghĩa là chênh lệch tương đối tối thiểu về độ chiếu sáng của phần sáng và phần tối của hình ảnh) bằng $k=0,05$.

Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trăng $L=4 \cdot 10^5$ km; việc chụp ảnh được thực hiện dưới ánh sáng có bước sóng $\lambda=0,6$ µm. Để ước tính kích thước của các chữ cái do các phi hành gia đặt trên bề mặt Mặt trăng có thể được đọc khi quan sát từ Trái đất bằng trọng lượng từ xa BTA. (10)

S. Kozel

Problems

M756—M760; P768—P772

M756. There are more than 100 cities in a certain country, not counting the capital. The latter is joined by direct flights to 100 cities; each of the remaining cities is joined by direct flights to exactly 10 cities. It is known that one can fly from any city to any other (eventually, with transfers). Prove that half the airlines flying from the capital can be closed down so that it will still be possible to fly from any city to any other.

M757. It is easy to see that the sequence 1, 1/2, 1/3, 1/4, … contains a three-term subsequence which is an arithmetical progression: 1/2, 1/3, 1/6. Is it possible to find another subsequence, which is also an arithmetical progression,

a) of length 4?
b) of length 5?
c) of length $k$, where $k$ is any natural number?

G. Galperin