Задачи М756—М760; Ф768—Ф772

Квант 1982, №8 с. 30-32 Тег 96HZ

Задачи

М756—М760; Ф768—Ф772

М756. В стране, кроме столцы, больше 100 городов. Столца страны соединена avialininями со 100 городами; каждый из остальных городов соединен avialininямировно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть половину avialininей, ищих из столцы, так, что возможно попасть из любого города в любой другой сохранится.

М757. Из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, … нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: 1/2, 1/3, 1/6. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
a) длины 4?
b) длины 5?
c) длины k, где k — любое натуральное число?

Г. Гальперин

М758*. Какое наименьшее количество чисел необходимо вычернуть из последовательности 1, 2, 3, … 1982, чтобы ни одно из остшихся чисел не равилось произведению двух других остальных чисел? (9)

Л. Курляндчик

М759. Внутри выпуклого четырехугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (то есть сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$ , расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$ .
a) Может ли величина $S_2$ быть больше $S_1$ ?
b) Докажите, что $S_2 < 4S_1/3$ .
c) Докажите, что если внутри произвольного tetraэдра с суммой длин ребер $S_1$ расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$ , то $S_2 < 4S_1/3$ . (10)

П. Гусятников

М760. С замкнутой ломаной $A_1A_2...A_m$ , где m нечетно, продолжается такая операция: середины ее звеньев соединяются m отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$ , $A_2A_3$ — с $A_4A_5$ , …, $A_{m-1}A_m$ — с $A_1A_2$ , $A_mA_1$ — с $A_2A_3$ ). С полученной ломаной вновь продолжается эта же операция и т. д. Докажите, что

из любой $m$ -звенной ломаной
a) при $m=5$ — через два шага (рис. 1)
b) при $m=7$ — через три шага
c)* при любом нечетном $m$ — через некоторое (зависшее от $m$ ) число шаров
получится ломаная, подобная (далее готовчная) первогочальной. (9)

А. Келарев

Ф768. По гладкому столу движется, быстро врашаясь вокруг своей оси, волчок, имеющий форму конуса (рис. 2). При какой скорости $v$ поступательного движения волчок не ударится о край стола, сосочив с него? Ось волчка остается вертикальной. Размеры волчка указаны на рисунке 2. (8)

А. Зильберман

Ф769. Массивный цилиндр радиуса $R$ опирается на две подставки одинаковой высоты (рис. 3). Одна подставка неподвижна, а другая вызжает из-под цилиндра со скоростью $v$ . С какой силой давит цилиндр на неподвижную подставку в тот момент, когда расстояние между точками опоры равно $R\sqrt{2}$ ? Считать, что в начальной момент подставки располагается очень близко друг к другу; треннее между цилиндром и подставками отсутствует. (9)

С. Кротов

Ф770. В теплопроводном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_B=m_\pi=1$ кг. Давление на поршень медленно увеличивается от начального значения $p_0=10^5$ Па до $p_1=2,5 \cdot 10^6$ Па. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит внешняя сила. Известно, что для уменьшения температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $14 \cdot 10^6$ Па.

Решите задачу, считая воду и лед несжимыми.
Оцените поправку, которое дает учет скимаемости.
Известно, что для уменьшения объема некоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $20 \cdot 10^6$ Па. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине скимаемости воды.
Удельные теплопростности воды и льда — $c_B = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $c_\pi = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К); удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \cdot 10^5$ Дж/кг, плотность льда $\rho_\pi = 0,9\rho_B$ , где $\rho_B$ — плотность воды. (9)

А. Буэдин

Ф771. В схеме, приведенной на рисунке 4, поддел Д и катушка с индуктивностью $L$ в момент времени $t=0$ при помощи ключа $K$ подключаются к источнику переменного напряжения $u = U_M \cos \omega t$ . Определить силу тока в катушка как функцию времени; построить график этой функции. Дiod и катушка считать идеальным. Внутренним сопротивлением источника претенбчь. (10)

В. Скороваров

Ф772. Междупланetary корабль совершил мягкую посадку на Луну. Корабль имеет форму диска радиуса $r=4$ м; его поверхности покрыта черной (неотражающей) краской. Можно ли обнаружить приложение корабля с помощью самого большого в мире советского телевеса БТА с диаметром объектава $D=6$ м, если в фокальной плоскости установить фотопластику и сформатировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место приложения?

Приятить, что надежно различимая конструкность изображения на фотопластике (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k=0,05$ .

Расстояние от Земли до Луны $L=4 \cdot 10^5$ км; фотографирование ведется в свете с длиной волны $\lambda=0,6$ мкм. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телевеса БТА. (10)

С. Козел

Problems

M756—M760; P768—P772

M756. There are more than 100 cities in a certain country, not counting the capital. The latter is joined by direct flights to 100 cities; each of the remaining cities is joined by direct flights to exactly 10 cities. It is known that one can fly from any city to any other (eventually, with transfers). Prove that half the airlines flying from the capital can be closed down so that it will still be possible to fly from any city to any other.

M757. It is easy to see that the sequence 1, 1/2, 1/3, 1/4, … contains a three-term subsequence which is an arithmetical progression: 1/2, 1/3, 1/6. Is it possible to find another subsequence, which is also an arithmetical progression,

a) of length 4?
b) of length 5?
c) of length $k$ , where $k$ is any natural number?

G. Galperin