21
Приложение II
Для того чтобы найти полную потенциальную энергию кристалла, прежде всего вычислим его электростатическая энергия. Расмотрим нон натрия Na⁺, расположенный в центре кубического решетки, которая изобразена на рисунке 5. Ближайшие его соседей — это 6 инов хлora Cl⁻, расположенных на расстоянии r=a/2 от него. Каждый из них создает потенциальная -e/r=2e/a. Согласно принципу суперпозиции, потенциаль суммы зарядов равен сумме потенциальных этих зарядов; следовательно, близкий соединитель, близкий соединитель 12 инов натрия, находится от расматриваемого она на расстоянии a/√2. Их суммарный потенциаль равен +12√2e/a=+16,97e/a. Продолжая эту процедуру, можно найти, что третьи соединитель потенциаль —9,24e/a, четвертые +6e/a, …, девятнадцатые —3,08e/a и так далее.
Ясно, что суммировать все эти слагаемые беспереспективно. Однако тот факт, что знаки слагаемых черезются (разноимененно заряженные соединителься с одномименно заряженными), наводит на мысль, что эти слагаемые можно как-то перегруппировать, и интересующее нас сумму найти более коротким путем. Такая перегруппировка действительно существует, и основывается она на сообщении электронной связи.
Давайте соччитем суммарный заряд всех ионов куба, изобразенного на рисунке 5. При этом будем полагать, что кубу принадлежит только половина каждой изона, расположенного на его грани, четвертый каждой изона, расположенного на ребре, и восмая часть каждой изона, находящаяся в вершине. Такое предположение относительно не производилось. Если мы мысленно разобъем весь кристалл на кубики, подобные нашему, то оказывается, что он на грани принадлежит сразу двум кубикам, но не ребре — четЫрем, а он в вершине — восмяни кубикам. Так вот, суммарный заряд куба, сосчитанный в соответствии с такой договоренностью, оказывается равным нулю! Иными словами, предположенный способ позволяет разбить кристалл на электронный判处йки. Кулоновская энергия это
го нейтрального куба равна
Теперь нарастим на каждую куба еще по одному слою инов и снова выделим нейтральную ячейку. Сторона этого куба равна 2a, все они первоначального куба принадлежат ему целиком, а вновь включенныеоны — наполовину, на четвертые или на одну восмую, в зависимости от того, где они расположены. Электростатическая энергия такого куба, подсчитанная прежним способом, оказывается равной -3,50 e²/a. Если взять электронный кубо с стороны 3a, то его энергия будет равна -3,49 e²/a. Дальнейшее увеличение объема куба практическую уже ничего не изменяет, и в конце концов для его энергии получается величины, приблизительно равная -3,495 e²/a.
Так, удачно выбранная модель, основанная на понимании того, что наиболее существенно в данной физической ситуации, позволяет во много раз сократить вычисления.
Энергия отталкивания посчитать гораздо проще. Из-за того что потенциаль отталкивания убивает очень быстро, можно предположить, что отталкивание существенно только между близкими соединительными между двумя параметрами, и для нее сразу получается выражение +B/a². Здесь B=kb, где k — число пар в ячейке. На это же число k нужно умножить и вычислную выше электростатическую энергию одного изона, и в результате для полной энергии куба получается выражение, приближенное в основном тексте статьи.
Например:
a) квадратами со стороны 1/√2?
b) квадратами со стороны √2 и квадратами со стороны √2?
c) квадратами со стороны √2?
Сколько нужно квадратов в каждой случае? Как их нужно располагать на кубе? Ответ смотрите на 4 с. обложки.
Ю. Пухначёв