Новые книги

15

границ с лицей берега), Г — число границ (от одной вершины до другой), причем границы с морем тоже считаются. Тогда С+B—Г=1.

Пример. На карте, изображенной на рисунке 13, C=2, B=2, Г=3.

Доказательство теоремы 3. Достаточно построить на нашем острове такой ребёнч, чтобы вершины его находились в точках стыка границ, которых —ровно по одному на каждой границе (границы с морем можно считать внутри острова). Это можно сделать так: поставить в точках стыка границ стороны башни, имеющие форму Эйфелевой башни; на границах построить крепостные стены, снижающие к середине каждой границы и полого сходящие в сторону каждой из двух стран, которые разделят эта граница; наконец, вырыть по котловине в каждой стран, причем склонны котловин должны полого выходить к крепостным стенам. Пример также ребёнч для карты рисунка 13 изображен на рисунке 14. Теперь остается воспользоваться теоремой 1, и теорема 3 доказана.

Следствие. Если на сфере наиссована политическая карта с числом стран не менее 3, удовлетворяющая условия 6) и в) теоремы 3, то для нее

C+B—Г=2.

Доказательство. Можно считать одну из стран морем, а все остальное — островом. тогда применяма теорема 3, немедленно приводящая к требуемому результату.

Доказательство теоремы 2 (для любого выпуклого многогранника). Возьмем точку O внутри рассматриваемого многогранника и проведем какую-нибудь сферу большого радиуса с центром в точке O. Теперь проектирует наш многогранник из точки O на сферу. тогда мы получим на сфере политическую карту (грани многогранника проектируется в страны, а ребра — в границы), к которой применимо предыдущей следствие.

Задачи

1. Сформировать и доказать аналогич следствие из теорем 1 и 3 для того, то есть поверхности бараники или автоматной шины (рис. 15).

2. То же — для «сферы с p ручками» (на рис. 16 изображена сфера с треяя ручками).

Новые книги

Украинское издательство «Вища школа» выпускает в 1 квартале 1983 года книгу «Математika сегодня» (научно-популярный сборник на русском языке, под редакциейей проф. А. Я. Дороговцева).

Сборник предназначен для студентов и преподавателей вузов, но, несомненно, будет интересен и полезен школьникам старших классов и учительям средней школы. Он включает статьи, посвященные актуальным направлениям математики, ‘раздел нерезеленых проблем, статьи о студенческих олимпидах по математике, новые задачи.

Сборник выходит ограниченным трахом, поэтому рекомендуем своевременно оформить заказ на него. Заказы нужно направлять в магазина «Книга — почтой» по адресу: 252117, Киев, ул. Попудренко, 26.