Bài toán M781—M785; F793—F797

39

Bài toán

M781—M785; F793—F797

M781. Vẽ đường thẳng song song với cạnh AC của tam giác ABC cho trước và cắt các cạnh AB, BC lần lượt tại các điểm D và E sao cho |AD| = |BE|.

L.V.Kim

M782. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số tự nhiên là 30.030 thì tích của chúng không chia hết cho 30.030.

S. V. Fomin

M783. a) Hệ bất đẳng thức có giá trị lớn nhất n là bao nhiêu
$$\begin{cases} 1 < x < 2, \\ 2 < x^2 < 3, \\ 3 < x^3 < 4, \\ \dots \\ n < x^n < n+1 \end{cases}$$
có lời giải?

6. Với n nào, có hai cấp số học - số học a₁, a₂, a₃, …, aₙ+1 và hình học b₁, b₂, b₃, …, bₙ, sao cho a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < … < aₙ < bₙ < aₙ+1?

M784. Một hành tinh hình cầu chuyển động theo đường tròn quanh một ngôi sao và quay quanh một trục, trục quay cô đặc nghiêng với mặt phẳng quỹ đạo một góc α (đối với Trái đất của chúng ta là α = 66,5°). Tìm sự phụ thuộc của khoảng thời gian T của ngày ngắn nhất trong năm tại một điểm nhất định trên bề mặt hành tinh vào vĩ độ địa lý φ của điểm này. (Tốc độ góc quay của hành tinh trên quỹ đạo của nó nhỏ hơn nhiều so với tốc độ góc quay của hành tinh quanh trục của nó). Viết công thức cho hàm T = T(φ) và vẽ đồ thị ví dụ.

A. P. Savin

M785. a) Về dãy tăng dần của các số dương a(n), n = 1, 2, 3,…, biết rằng với mọi số tự nhiên k > 1 đều tồn tại số bₖ sao cho a(kn) ≤ bₖa(n) với mọi n. Chứng minh rằng nó tồn tại

40

các số dương $c$ và $\alpha$, trong đó $a(n) \leq cn^\alpha$ cho tất cả $n \geq 1$.

Tuyên bố này sẽ vẫn đúng nếu, trong điều kiện
b) thay từ “bất kỳ” bằng “một số”?
c) không yêu cầu dãy $a(n)$ phải tăng lên?

M. U. Gafurov

F793. Đối với câu hỏi về một mặt cầu có bán kính $R$ từ độ cao $H = R/8$ gần trục đối xứng, những quả bóng nhỏ rơi (với vận tốc ban đầu bằng 0). Giả sử các va chạm của các quả bóng lên bề mặt là đàn hồi tuyệt đối, chứng tỏ rằng sau va chạm đầu tiên mỗi quả bóng chạm đến điểm thấp nhất của bề mặt. Sự va chạm lẫn nhau của các quả bóng không được tính đến.

I. V. Krivenkov

F794. Hai nhiệt lượng kế rắn giống hệt nhau có chiều cao $h = 75$ cm được đổ đầy một phần ba bằng nước đá, phần còn lại chứa đầy nước ở nhiệt độ $t = 10^\circ\text{C}$. Nước từ nhiệt kế thứ hai được đổ vào nhiệt lượng kế thứ nhất và nhiệt lượng kế đầy 2/3. Sau khi nhiệt độ trong nhiệt lượng kế được thiết lập, mức lấp đầy của nó sẽ tăng $\Delta h = 0,5$ cm. Nhiệt độ ban đầu của nước đá trong nhiệt lượng kế là bao nhiêu? Mật độ băng - $\varrho_{\text{л}} = 9 \cdot 10^2 \text{ кг/m}^3$, nước - $\varrho_{\text{в}} = 10^3 \text{ kg/m}^3$; nhiệt dung riêng của băng tan - $\lambda = 3,4 \times 10^5 \text{ Дж/kg}$; nhiệt dung riêng của nước đá là $c_{\text{л}} = 2,1 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$, nước - $c_{\text{в}} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$.

A. Tôi Buzdin

F795. Nước chảy qua một kênh dài có tiết diện hình chữ nhật, nghiêng về phía chân trời. Chúng ta có thể giả sử rằng lực ma sát của nước chống lại đáy và bờ kênh tỷ lệ thuận với vận tốc dòng chảy trung bình và tỷ lệ nghịch với độ sâu của nó. Trong trận lũ lụt, lượng nước chảy qua mặt cắt kênh trong một giây sẽ tăng gấp đôi. Tốc độ dòng chảy trung bình thay đổi như thế nào?

G. L. Kotkin

F796. Trên trục quang chính $AB$ của thấu kính thu có tiêu cự $F$ có ​​một gương phẳng quay với vận tốc góc $\omega$ quanh một trục vuông góc với trục $AB$ (xem hình. ok). Một chùm tia song song chiếu vào gương, sau khi phản xạ sẽ hội tụ vào màn nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính. Tìm tốc độ của điểm sáng trên màn khi nó đi qua tiêu điểm của thấu kính.

E. I. Palchikov