Задачи М781—М785; Ф793—Ф797

39

Задачи

M781—M785; Ф793—Ф797

M781. Постройте прямую, параллельную стороне AC данного треугольника ABC и пересекаюшую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что |AD| = |BE|.

Л. В. Ким

M782. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30 030, то их произведение не делится на 30 030.

С. В. Фомин

M783. a) При каком наиболее n система неравенств
$$\begin{cases} 1 < x < 2, \\ 2 < x^2 < 3, \\ 3 < x^3 < 4, \\ \dots \\ n < x^n < n+1 \end{cases}$$
имеет решение?

6. Для каких n существует такие две прогрессии — арифметическая a₁, a₂, a₃, …, aₙ+1 и геометрическая b₁, b₂, b₃, …, bₙ, что a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < … < aₙ < bₙ < aₙ+1?

M784. Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и врашается вокруг оси, причем ось сгущенного врашения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Найдите зависимость продолженности T самого короткого дня в году в данном пунке на поверхности планеты от географической широты φ этого пунка. (Угловая скорость врашения планеты по орбите много меньше угловой скорости врашения планеты вокруг ее оси). Напишите формулу для функции T = T(φ) и начертитеprimерный график.

А. П. Савин

M785. a) Про возрастищую последовательность положительных чисел a(n), n = 1, 2, 3,… извесно, что для любого натурального числа k > 1 существует число bₖ такое, что a(kn) ≤ bₖa(n) при всех n. Докажите, что существует

40

положительные числа $c$ и $\alpha$, для которых $a(n) \leq cn^\alpha$ при всех $n \geq 1$.

Останется ли верным это утверждение, если в условиях
б) слова «любого» заменить на «некоторого»?
в) не требовать, чтобы последовательность $a(n)$ была возрастящей?

М. У. Гафуров

Ф793. На вопросу сферическое поверхности радиуса $R$ с высоты $H = R/8$ вблизи оси симметрики падают (с нулевой начальной скоростью) маленькие шарики. Считая удары шариков по верхносту абсолотно упругими, показать, что после первого соударения каждой шарика попадает внизшую точку поверхности. Взaimные соударения шариков не учитываются.

И. В. Кривенков

Ф794. Два одинаковых телопозоливанных калометра высоты $h = 75$ см заполены на одну треть один — льдом, другой — водой при температуре $t = 10^\circ\text{C}$. Воду из второго калометра переливают в первый, и при этом калометр оказывается заполенным на две трети. После того как температура в калометре устанавливается, уровень заполнения его увеличится на $\Delta h = 0,5$ см. Какова была начальная температура льда в калометре? Плотность льда — $\varrho_{\text{л}} = 9 \cdot 10^2 \text{ кг/m}^3$, воды — $\varrho_{\text{в}} = 10^3 \text{ kg/m}^3$; удельная теплота плавления льда — $\lambda = 3,4 \times 10^5 \text{ Дж/kg}$; удельная тепломкость льда — $c_{\text{л}} = 2,1 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$, воды — $c_{\text{в}} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$.

А. И Буздин

Ф795. Вода течение по длиному каналу с прямогольным сечением, наклонением к горизонту. Можно считать, что сила треня воды о дно и берега канала пропорциональна средней скорости потока и обратно пропорциональна его глубине. Во время Паводка количество воды, протекающей через сечение канала за одну секунду, увеличается вдвое. Как меняется при этом средняя скорость потока?

Г. Л. Коткин

Ф796. На главной оптической оси $AB$ собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ нахождения плоское зеркальце, врашающееся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перpendикулярной оси $AB$ (см. рис.ок). На зеркальце падает параллельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Найти скорость свето-вого пятна на экране в момент, когда оно проходит фокус линзы.

Е. И. Пальчиков