Меандры рек

Квант 1983, №1 с. 17, 18, 20 Тег Z42L

Меанды рек

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Видел ли кто-нибудь реку, текущую прямо, без изгибов? Какой-то участок реки, конечно, может быть прямым, но рек, текущих совсем без изгибов, не существует. Далее если река четет по равнине, она обычно «петляет», и часто изгибы рек повторяются с определенным периодом. А на изгибах один берег реки, как правило, кругой, а другой — пологий. Как обьяснить эти особенности поведения рек?

Гидродинамика — раздел физики, изучающий движение жидкости,— в нашей время очень развита стройная наука. Но в применении к таким сложным естественным объектам, как реки, даже она не в состоянии обьясить все особенности их течение. И тем не менее на многое вопросы можно дать ответы.

Вопросом о причины образования извилин в русах рек занимается Эйнштейн. В своем докладе «Причина образования извилин в русах рек и так называемый закон Бэра», сделанном в 1926 году на засеединении Прусской академии наук, Эйнштейн сравнил движение врашаюшей воды в стакане и в русах рек. Эта аналогия позволяет объяснить tendенцию русел рек приобретать извилистую форму.

Попробуем разобраться в этом явлении хотя бы качественно. И научем со стакана чая.

Как движутся чанники в стакане

Возьмите стакан с чаем, хорошо размешайте чай ложкой, а затем выньте ее. Вода постепенно оставится, а чанники соберутся в центре стакана. Что заставляет их «сбегаться» к центру? Что бы ответить на этот вопрос, выясним сначала, какую форму принимает поверхность воды, врашаюшей в стакане.

Из опыта видно, что поверхность жидкости испривляется. Легко понять, почему это происходит. Для того чтобы частички воды совершали врашательное движение, равнойствующая всех сил, действующих на каждую частику, должна приводить к центростремительномуускорению.

Выделим мысленно внутри жидкости на расстоянии $r$ от оси вращения кубик массы $\Delta m$ (на рисунке 1 такой кубик выделен снимом цветом). При угловой скорости вращения $\omega^2 r$ это ускорение создается разностью сил давления, действующих на боковые грани (левую и правую на рисунке 1) кубика. Следовательно,

$\Delta m \cdot \omega^2 r = F_1 - F_2 = (p_1 - p_2) \cdot \Delta s,$

(1)

где $\Delta s$ — площадь боковой грани кубика. Давления $p_1$ и $p_2$ определяются расстояниями $h_1$ и $h_2$ до свободной поверхности жидкости —

$p_1 = \rho gh_1, \quad p_2 = \rho gh_2,$

(2)

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного давления. Так как сила $F_1$ должна быть больше силы $F_2$ , то, следовательно, и $h_1$ должна быть больше $h_2$ , то есть свободная поверхности жидкости при вращении должа искривиться так, как показано на рисунке 1. Чем больше скорость вращения, тем сильнее искривляется поверхности.

Можно найти форму искривленной поверхности жидкости. Она оказывается параболюдом, то есть поверхности, разрез которого — парабола. (Показите это самостояльно. Правильно своих рассуждений вы сможете проверить, посмотрев на с. 59).

Пока мы мешаем чай ложкой, мы подерживаем вращение жидкости. Но если вынуть ложку из стакана, то вследствие треня между отдельными слоями жидкости (вязкости) и треня о стенки и до стакана книетическая энергия будет переодить в тепло, и жидкость постепенно оставится.

По мере уменьшения частоты вращения поверхности жидкости выпрямляется. При этом внутри жидкости возниккают выходные потоки, направление которых показано на рисунке 2. Происходение выходных потоков связано с неодинаковым торможением жидкости у дна стакана и у поверхности. На глубине вседствие большого треня о дно стакана жидкость тормозит с сильнее, чем у поверхности. Поэтому у частических потоков связи оно неодинаковым торможением жидкости — чем близке к дну стакана, тем меньше скорость. А равнойствующая сил «бокового» давления, действующих на такие частички, одна и та же. Эта сила уже не может по всей глубине вызвать необходимое торможение жидкости (как в случае вращения массы жидкости с одной и той же угловой скоростью). У поверхности угловая скорость слищом большая, и частцы воды отбрасываются к стенкам стакана: у дна угловая скорость мала, и результатующая сила давления заставляет воду дивгаться к центру.

Теперь понятно, почему чанники собираются в центре на дне стакана (рисунок 3) — они увлекаются возниккающими при торможении вихревыми потоками. Конечно, такое рассмотрение — довольно упрощенное, но оно правильно отражает суть явления.

Как меняются русла рек

Давайте разберем характер движения воды в реке при повороте русла. Здесь возникнет картина, пожожая на движение воды в стакане. Поверхность воды наклоняется в сторону поворота так, чтобы разность слодая сообщала необходимое торможение жидкости (на рисунке 4 показано вертикальное сечение реки на повороте). Так же как в стакане с чаем, скорость воды у дна вседствие треня меньше, чем у поверхности реки (распределение скоростей по глубине показано на рисунке 4; красным цветом выделена вертикальная плоскость

Диало постепенное перемещение русла и увеличение изгиба.

Таким образом, даже небольшой начальный изгиб, возникший по случайной причине (например,следствие обвала, падания дереви и т.п.), будет со временем увеличивать. Примолинейное течение реки по однородной равнине является неустойчивым.

Как образуют.meandры рек

Форма русла реки во многом определяется рельефом местности. Река, текущая по нервной местности, извивает также реким образом, чтобы избежать высоких мест и заполнить низины, выбирает путь с максимальным уклоном.

А как текст реки по равниnam? Как влияет на форму русла описанная выше неустойчивость прямолинейного течение реки по отношению к изгибам? Такая неустойчивость приводит к увеличению длины реки, и река начинает извивать. Естественно думать, что в идеальном случае (совершенноровная однородная местность) должна возникнуть периодическая кривая. Какова ее форму?

Геологи высказали предположение, что русла рек, текущих по равниnam, на изгибах должны применять форму … изогнутой линейки.

Возьмите стальную линейку и попытайте сжать линейку вдоль ее длины (уменьшить расстояние между ее концами). Линейка изогнется (как на рисунке 6). Такой упругий изгиб называют эйлеровым изгибом (по имену замечательного ученого, русского академика Леонарда Эйле-

Рис. 4.

ра (1707—1783), теоретически рассмотрено это явление). Форма изогнутой линейки описывается особой кривой. Эта эйлерова кривая обладает замечательным свойством: из всех кривых заданной длины, соединяющихся данные точки, она в среднем наименее изогнута. Если изменить угловые отклонения Θ (см. рисунок 6) через равные расстояния вдоль длины кривой и просуммировать квадраты угловых отклонений, то для эйлеровой кривой эта сумма будет минимальной. Такой «экономный» изгиб эйлеровой кривой и послужил основанием для гипотезы о форме русла рек.

Геологи моделировали процесс изменения русла реки в искусственном канале, продолженном в однородной среде, которая приготовлена из мелких частц, слабо скрепленных между собой и потому довольно легко подвергающихся эрозии. Очень скоро прямолинейный канал начинает извивать, причем форма изгибов описывается именно эйлеровой кривой (рисунок 7). Ко-