Bài toán M806—M810; F818—F822

43

Bài toán

M806—M810; F818—F822

M806. a) Chứng minh rằng nếu
$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$
thì đa thức $a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ có nghiệm nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

6. Chứng minh rằng nếu với một số $p > 0$
   $$\frac{a_1}{p+1} + \frac{a_2}{p+2} + \frac{a_3}{p+3} + \ldots + \frac{a_n}{p+n} = 0,$$
   thì đa thức này cũng có nghiệm nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

A. Gokhbere, M. Ovetsky, học sinh lớp 10, Donetsk

M807. a) Từ một điểm tùy ý $M$ bên trong một tam giác đều, các đường vuông góc $MK_1, MK_2, MK_3$ được thả xuống các cạnh của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng các vectơ $\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3$ bằng $\frac{3}{2} \cdot \vec{MO}$, trong đó $O$ là tâm của tam giác.

6. Từ một điểm tùy ý $M$ các đường vuông góc $MK_1, \ldots, MK_n$ được thả xuống tất cả các cạnh của $n$-giác thông thường (hoặc phần mở rộng của chúng). Chứng minh rằng
   $$\vec{MK}_1 + \ldots + \vec{MK}_n = \frac{n}{2} \vec{MO},$$
   trong đó $O$ là tâm của $n$-giác.

c) Từ một điểm tùy ý $M$ bên trong một tam giác đều, các đường vuông góc $MK_1, MK_2, MK_3, MK_4$ trên mặt của nó bị bỏ rơi. Chứng minh rằng
$$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4 = \frac{4}{3} \vec{MO},$$
trong đó $O$ là tâm của tam giác.

V. V. Prasolov

44

M808. Trên một tờ giấy ca rô vô hạn, hai người chơi chơi trò chơi sau: người đầu tiên sơn một số ô màu đỏ, người thứ hai sơn $k$ (không tô màu) ô màu xanh lam, sau đó lại sơn ô thứ nhất (không tô màu) - màu đỏ, người thứ hai - $k$ ô màu xanh lam, v.v. Người đầu tiên cố gắng đảm bảo rằng có bốn ô màu đỏ nằm ở các đỉnh của hình vuông (với các cạnh song song với các đường lưới). Liệu người thứ hai có thể đặt a) tại $k=1$; 6) * tại $k=2$; c) ** cho bất kỳ $k>1$ nào?

D. G. Azov

M809. Tìm số tiền
$$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!}$$
(sản phẩm $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$ được ký hiệu là $k!$).

V. V. Proizvolov

M810*. Chứng minh rằng mọi đa giác lồi $M$ đều có thể chứa một tam giác vuông có diện tích ít nhất bằng 1/4 diện tích đa giác $M$.

F. W. Vaintain

F818. Hai thanh cứng có chiều dài $l$, mỗi thanh được gắn bản lề tại điểm $A$ (Hình 1). Thanh $BA$ được cố định chắc chắn tại điểm $B$ và điểm $C$ của thanh $AC$ có thể trượt theo hướng $BC$. Thanh $BA$ bắt đầu quay trong mặt phẳng vẽ quanh điểm $B$ với vận tốc góc không đổi $\omega$. Tốc độ và gia tốc tối đa của điểm $C$ sẽ là bao nhiêu nếu tại thời điểm ban đầu các thanh được kéo dài dọc theo thanh dẫn hướng $BC$ ($B\hat{A}C = \pi$)?

L. G. Markovich

F819. Khi các vật thể nhỏ có khối lượng tỷ lệ 3:4:5 (khối lượng của vật nhẹ nhất là $m$), được giữ ở ba điểm khác nhau trên bề mặt bên trong của phần bán cầu nhẵn có bán kính $R$, phần này được gắn vào bề mặt nằm ngang ở điểm thấp nhất. Đến một lúc nào đó họ buông tay và tưởng tượng về chính mình. Lượng nhiệt tối đa có thể tỏa ra trong hệ thống này là bao nhiêu? Điều này sẽ xảy ra ở vị trí ban đầu nào của vật? Mọi va chạm giữa các vật đều hoàn toàn không đàn hồi.

S. K. Strokov

F820. Quá trình $A—B—C—A$ tạo ra hơn một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng (Hình 2). Xác định hiệu suất của chu trình.

A. G. Izertsin, Yu. P. Malyshev, V. R. Saulit

45

F821. Trong mạch như hình 3, máy biến áp là lý tưởng. Các thông số của mạch được thể hiện trong hình. Tìm biên độ dòng điện và độ lệch pha trong mạch sơ cấp.

R. Z. Alexandrov

F822. Chủ nhân của bạn, người tiếp theo hướng dẫn bạn, đeo kính. Bạn có thể xác định được loại khiếm khuyết thị lực nào - cận thị hoặc viễn thị - mà anh ấy mắc phải không? (Đương nhiên, bạn sẽ không hỏi người chủ ví dụ về chiếc kính của anh ấy và sẽ không bắt đầu cuộc trò chuyện về chúng.)

M. V. Semenov

Problems

M806—M810; P818—P822

M806. a) Prove that if

$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$

then the polynomial $a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_2x + a_1$ has a root between 0 and 1;

b) Prove that if, for some $b > 0$,

$$\frac{a_1}{b+1} + \frac{a_2}{b+2} + \frac{a_3}{b+3} + \ldots + \frac{a_n}{b+n} = 0,$$

then this polynomial also has a root between 0 and 1.

A. Gohberg, M. Ovetski, 10th grade students, Donetsk.

M807. a) Perpendiculars $MK_1, MK_2, MK_3$ to the sides of an equilateral triangle are drawn from an arbitrary point $M$ inside it. Prove that the vector sum $\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3}$ equals $(3/2)$. $\overrightarrow{MO}$, where $O$ is the triangle’s centre.

b) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_n$ to all the $n$ sides of a regular polygon are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the polygon.

c) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_4$ to the faces of a regular tetrahedron are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the tetrahedron.

M808. Two persons play the following game on an infinite plane square lattice: the first player colours one node in red, the second colours $k$ (uncoloured) nodes in blue, then the first colours one more node in red, the second $k$ more in blue, and so on. The first player’s goal is to colour four nodes forming the vertices of a square with sides parallel to the lines of the lattice. Can the second player prevent him from doing this a) when $k=1$; b) when $k=2$; c) for some $k>1$?

D. G. Azov