đường viền có thể nhìn thấy

30

đường viền có thể nhìn thấy

Hình trên mô phỏng hình xuyến (bề mặt của chiếc bánh rán hoặc phao cứu sinh) làm bằng thủy tinh mỏng. Chúng ta thấy trong bức ảnh này một đường tối có hình dạng phức tạp: nó có hai điểm tự giao nhau và bốn điểm quay lại - đây là tên của các điểm mà tại đó đường thẳng đột ngột thay đổi hướng 180°, tạo thành một thứ giống như một cái mỏ sắc nhọn. Đường này biểu thị điều gì, tại sao lại có các điểm tự giao nhau và các điểm đỉnh trên đó, và đường tương ứng với nó trông như thế nào trên bề mặt? Để trả lời những câu hỏi này, hãy dịch chúng sang ngôn ngữ hình học quen thuộc.

Một tia sáng hoàn toàn không giao nhau với bề mặt hoặc giao với nó một góc lớn sẽ không bị mất hoặc gần như không mất cường độ. Đồng thời, tia gần tiếp tuyến với bề mặt *) đi qua một tấm kính có độ dày đáng kể (Hình 1) và vị trí tương ứng trong ảnh hoặc trên màn hình sẽ tối hơn. Vì vậy, các vấn đề của chúng tôi có công thức hình học sau đây.

Một hình xuyến nằm trong không gian được tạo ra bởi một bó các đường thẳng song song (các tia sáng). Chúng ta hãy chỉ để lại trong gói này những đường tiếp xúc với hình xuyến và đánh dấu trên mỗi đường này điểm tiếp xúc và điểm giao nhau với mặt phẳng cố định trước - “màn hình”. Các điểm được đánh dấu tạo thành các đường trên hình xuyến và trên màn hình. Chúng tôi muốn hiểu cấu trúc của những dòng này.

Hóa ra nếu góc nghiêng của các đường thẳng với mặt phẳng của đường tròn trục của hình xuyến không lớn lắm thì các đường thẳng sẽ như Hình 2; một phần, các đường trên hình xuyến sẽ không có bất kỳ đặc điểm nào - không phải điểm tự giao nhau cũng như điểm đỉnh). Để xác minh điều này, chúng ta hãy vẽ các mặt phẳng thẳng đứng (song song với trục quay hình xuyến) thông qua các tia của chúng ta. Những mặt phẳng này sẽ giao nhau với hình xuyến dọc theo các đường mà chúng ta sẽ cắt tiếp theo các phần. Sự thay đổi mặt cắt trong quá trình chuyển động trơn tru của mặt phẳng thẳng đứng được mô tả trong “cinegram” đầu tiên (Hình 3). Trong mỗi mặt phẳng thẳng đứng của chúng ta, các tia tạo thành một họ các đường thẳng song song. Chúng tôi chọn những phần tiếp xúc với các phần và đánh dấu các điểm tiếp tuyến bằng bút chì và các điểm giao nhau của các tiếp tuyến với đường thẳng - dấu vết của màn hình của chúng tôi - bằng bút chì màu đỏ (xem phim ảnh). Các mặt phẳng thẳng đứng tạo nên phim ảnh của chúng ta tương ứng với các đường thẳng song song trên màn hình. Hãy vẽ chúng và đánh dấu các chấm đầy màu sắc tìm được trên chúng (xem Hình 3). Hình ảnh thu được cho phép bạn theo dõi đường đi của gần như toàn bộ dòng trên màn hình, chỉ để lại hai điểm được đánh dấu trong hình. Ở hai vị trí còn lại (đủ khoảng cách với một trong số chúng, vì chúng đối xứng), chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp “quay phim chuyển động chậm” và sẽ chỉ giới hạn ở phần trung tâm của khung hình.

*) Tiếp tuyến của một bề mặt, theo định nghĩa, là một đường thẳng tiếp tuyến với một đường thẳng nào đó nằm trên bề mặt đó.

31

Hình 4 hiển thị phim nhận và bên dưới nó hiển thị các phần tương ứng của đường màu đỏ và xanh lam (chúng tôi chiếu đường màu xanh lam lên mặt phẳng thẳng đứng, nó không thay đổi đáng kể). Trong đoạn phim của chúng ta, chúng ta thấy rằng hai tiếp tuyến đầu tiên di chuyển về phía nhau và đi qua nhau. Tại thời điểm này (khung số 2), điểm tự giao nhau nằm trên đường màu đỏ, nhưng không nằm trên đường màu xanh lam (tiếp tuyến tương ứng chạm vào hình xuyến tại hai điểm! - tuy nhiên, điều này chỉ vượt qua nếu tiếp tuyến chạm tới tán cây). Sau đó, tại một thời điểm nào đó (tại thời điểm hợp nhất hai phần của phần thành một - xem khung số 9 và 10 của phim ảnh đầu tiên), hai tiếp tuyến mới xuất hiện ở trung tâm của mỗi phần, chúng nhanh chóng phân kỳ. Sau đó, tốc độ phân kỳ của chúng giảm đi, nhưng chúng vẫn bắt kịp hai tiếp tuyến cũ (khung hình số 5 của phim ảnh thứ hai). Và sau đó tất cả các tiếp tuyến biến mất.

Chúng ta cũng sẽ xem xét điểm cuối cùng về chuyến viếng thăm. Để làm được điều này, ở phim thứ ba, chúng tôi sẽ sử dụng tốc độ quay chậm hơn nữa, độ phóng đại thậm chí còn lớn hơn nữa và - một thủ thuật làm phim khác - chúng tôi sẽ làm cho thời gian quay ngược lại. Trên các phần của phần rơi vào trường nhìn có một điểm uốn và tiếp tuyến của phần tại điểm uốn sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ theo thời gian. Miễn là nó vẫn theo hướng tia của chúng ta, xét một phần của đường cong, nó hoàn toàn không có các tiếp tuyến song song với các tia. Khi đó một tiếp tuyến như vậy xuất hiện, và tại thời điểm xuất hiện, nó là một tiếp tuyến tại điểm uốn. Ngay sau khi xuất hiện, nó tách ra và các điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến phân kỳ rất nhanh và các tiếp tuyến tự phân kỳ rất chậm (xem phim đồ thị trong Hình 5). Do đó, hai nhánh của đường màu đỏ tiếp giáp với đáy tiếp tuyến tại điểm uốn rất gần nhau - ta có một điểm giao nhau; các nhánh tương ứng của đường màu xanh lam sẽ phân kỳ theo các hướng khác nhau, nghĩa là đường màu xanh lam là giá trị của điểm đang xét của mắt chung của đường cong.

Bạn có thể nhận thấy rằng tại các điểm tương ứng với điểm về của đường màu đỏ, tiếp tuyến với đường màu xanh có hướng của tia sáng của chúng ta. Chỉ điều này thôi cũng đủ để xác minh sự tồn tại của các điểm quay lại gần đường màu đỏ. Thật vậy, đường màu đỏ là kết quả của việc chiếu đường màu xanh dọc theo các tia. Khi chiếu một đường cong không gian lên một mặt phẳng theo hướng tiếp tuyến với đường cong này, tại một điểm nào đó trên hình chiếu sẽ thu được một điểm đỉnh. Để thấy điều này, hãy lấy một sợi dây cong và nhìn nó bằng một mắt sao cho tiếp tuyến trong một số hình chiếu đi qua tâm màn hình của bạn. Bạn sẽ thấy điểm trở lại.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng cách xây dựng “đường màu đỏ và màu xanh” của chúng tôi không chỉ áp dụng cho bề mặt của hình xuyến mà còn cho bất kỳ bề mặt nào song song tùy ý với các đường thẳng. Trong trường hợp này, đường màu đỏ có thể có giao điểm và điểm quay lại, trong khi đường màu xanh lam thường không có chúng.

Lưu ý rằng một nghệ sĩ miêu tả một vật thể ba chiều bằng cách sử dụng các đường thẳng thực sự mô tả một phần đường màu đỏ của chúng ta tương ứng với bề mặt của vật thể - một phần bao gồm các đáy của các tiếp tuyến không cắt vật thể giữa điểm tiếp xúc và màn hình. Phần đường màu đỏ này tạo thành một “đường viền nhìn thấy được” của vật thể, chẳng hạn như trên tàu trong Hình 6 (ở bên phải của đường viền nhìn thấy được, vẽ các phần không nhìn thấy được của đường màu đỏ bằng đường chấm - đây không phải là thông lệ được thực hiện trong bản vẽ, nhưng thường được thực hiện trong bản vẽ).

Nếu không, các điểm quay lại sẽ không xuất hiện trên đường viền hiển thị: ít nhất một trong hai nhánh của đường màu đỏ đi vào điểm quay lại sẽ không hiển thị.