nguyên lý Fermat

36

Nhưng. Điều này là do Frankin cho rằng cần phải gọi kính điện của Dufay là dương. Từ đây, từ sự lựa chọn này của Frankin, chúng ta gán dấu điện tích âm cho electron và hướng chuyển động của các điện tích dương được coi là hướng của dòng điện, mặc dù các hạt tích điện âm thực sự chuyển động trong dây dẫn kim loại. Trong chất điện và chất khí, dòng điện là chuyển động ngược chiều của cả hạt dương và hạt âm. Nhưng bây giờ không ai coi đây là sự cố về điện.

Trang trại Pricipl

Cơ sở của quang học hình học, hoạt động dựa trên khái niệm “tia sáng”, được tạo thành từ ba định luật - định luật truyền thẳng, phản xạ và khúc xạ ánh sáng. Vào thời cổ đại, khi những định luật này được hình thành, câu hỏi về bản chất của ánh sáng vẫn chưa được đặt ra và không có gì ẩn giấu đằng sau khái niệm “tia” về sự nhận thức vật lý về ánh sáng. Đây là cách nó được thực hiện trong sách giáo khoa “Vật lý 10” (§§ 37 và 65). Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20. Rõ ràng là ánh sáng không chỉ có tính chất sóng mà còn có tính chất hạt. Theo quan điểm của bản chất hạt (lượng tử), ánh sáng là dòng nguyên tố của các hạt ánh sáng - photon. Trong môi trường đồng nhất, chùm tia có thể coi là quỹ đạo của photon.

Nhưng điều thú vị là rất lâu trước đó, một nguyên tắc đáng kinh ngạc đã được hình thành, từ đó tuân theo tất cả các định luật cơ bản về truyền bá.

Hình 1.

ánh sáng. Nguyên lý này, do nhà toán học người Pháp Pierre Fermat (1601-1665) tìm ra vào khoảng năm 1660, cho biết: trong tất cả các đường đi có thể có giữa hai điểm, ánh sáng truyền dọc theo đường mà thời gian di chuyển được gọi là ngắn nhất.

Từ nguyên lý Fermat (như cách gọi chung của nó), người ta suy ra rằng trong một môi trường đồng nhất (trong một môi trường như vậy, tốc độ ánh sáng ở mọi nơi là như nhau) ánh sáng sẽ truyền thẳng: đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm, do đó, thời gian truyền là ngắn nhất.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng định luật phản xạ ánh sáng cũng là hệ quả trực tiếp của nguyên lý Fermat.

Định luật phản xạ ánh sáng. Cho MM là một gương phẳng. Có một nguồn sáng ở điểm A và chúng ta quan tâm đến đường đi mà ánh sáng phản chiếu từ gương đi từ điểm A đến điểm B (Hình 1). Hình 1 cho thấy một số đường dẫn có thể có - AA’B, ACB, AB’B. Có vô số “con đường” ánh sáng như vậy có thể tránh được. Chúng có độ dài khác nhau nên mất nhiều thời gian khác nhau để hoàn thành. Nó phụ thuộc vào điểm nào của gương mà tia sáng chạm tới và sau khi bị phản xạ sẽ đi tới B.

Từ những thông điệp hình học đơn giản, người ta dễ dàng tìm ra chính xác vị trí chùm tia sẽ rơi sao cho thời gian di chuyển dọc theo “tuyến đường” điểm A - gương - điểm B là tối thiểu. Hình 2 cho thấy một trong những con đường khả thi - ACB. Chúng ta hạ đường vuông góc từ điểm B tới gương MM và kéo dài nó ở phía bên kia của gương đến điểm B’, nằm cách |OB’| = |OB|. Hãy vẽ đường thẳng CB’. Hai tam giác COB và COB’ thu được bằng nhau vì chúng là hình chữ nhật nên có cạnh chung OC

37

và $|OB| = |OB'|$. Do đó, $|CB| = |CB'|$, từ đó suy ra độ dài đường đi của tia $ACB$ bằng tổng độ dài từ $A$ đến điểm $C$ góc tới của tia tới gương và từ điểm này đến điểm $B$. Rõ ràng rằng tổng này sẽ nhỏ nhất nếu điểm $C$ nằm trên đường thẳng nối các điểm $A$ và $B'$ (Hình 3). Khi đó tổng độ dài $|AC|$ và $|CB|$, tức là độ dài của toàn bộ đường đi của ánh sáng, sẽ nhỏ nhất. Thời gian di chuyển của ánh sáng dọc theo con đường này cũng sẽ nhỏ nhất.

Từ Hình 3, rõ ràng rằng $\widehat{BCO} = B'\widehat{CO}$ (tam giác $BCB'$ là cân bằng, do đó $CO$ là phân giác của góc ở đỉnh) và $\widehat{B'\widehat{CO}} = A\widehat{CM}$ (theo chiều dọc). Điều này có nghĩa là góc nghiêng của tia tới và tia phản xạ tới gương bằng nhau. Đây là định luật phản xạ ánh sáng. Tuy nhiên, người ta thường tính các góc không phải từ mặt phẳng của gương mà từ pháp tuyến tới nó tại điểm tới. Nhưng rõ ràng là nếu góc $i$ và $i'$ bằng nhau thì góc $a$ và $\gamma$ cũng bằng nhau. Định luật phản xạ thường được viết dưới dạng

$$\alpha = \gamma.$$

Định luật này, như chúng ta thấy, là hệ quả của thực tế là ánh sáng, như nó vốn có, “chọn” đường truyền đi trong khoảng thời gian ít nhất. Dễ dàng thấy rằng nguyên lý Fermat cũng bao hàm phát biểu rằng tia tới, tia phản xạ và pháp tuyến của gương tại điểm tới nằm trong cùng một mặt phẳng. Nếu không thì con đường sẽ dài hơn và cần nhiều thời gian hơn.

Chúng ta hãy lưu ý một đặc điểm quan trọng khác liên quan đến sự phản xạ ánh sáng từ gương. Nếu tại điểm $A$ (xem Hình 3) có một nguồn sáng và tại điểm $B$ có một mắt, thì mắt sẽ cảm nhận được ánh sáng như thể nguồn sáng không ở trong $A$ mà ở trong $A'$, và không có gương nào cả. Nếu gương được lấy ra và nguồn di chuyển từ $A$ sang $A'$ thì mắt sẽ không nhận thấy sự thay thế đó.

Định luật khúc xạ ánh sáng. Từ nguyên lý Fermat người ta cũng có thể thu được định luật khúc xạ ánh sáng (chính xác hơn là tia sáng). Ở đây chúng ta đang nói về sự chuyển đổi ánh sáng từ một môi trường (môi trường $I$ trong Hình 4) sang môi trường khác (môi trường $II$) qua giao diện giữa chúng. Sự khác biệt giữa các môi trường là tốc độ truyền ánh sáng trong chúng là khác nhau.

Chúng ta sẽ xem xét trường hợp môi trường $I$ là chân không trong đó tốc độ ánh sáng là $c$ và môi trường thứ hai là một số sản phẩm (ví dụ: thủy tinh, nước, v.v.) trong đó tốc độ ánh sáng $v$ nhỏ hơn $c > v$.

Giữa các điểm $A$ trong môi trường $I$ và $B$ trong môi trường $II$ chúng ta cũng có thể tưởng tượng ra vô số đường đi, nhưng theo nguyên lý Fermat, ánh sáng “chọn” đường đi mất ít thời gian nhất để truyền đi. Chẳng hạn, rõ ràng đường đi $AA'B$ không phải là đường đi như vậy, bởi vì ở đây ánh sáng truyền đi một quãng đường ngắn (ngắn nhất) trong môi trường có tốc độ cao và một khoảng cách dài trong môi trường có tốc độ thấp. Có lẽ nó có lợi hơn đường đi $AB'B?$ Ở đây ánh sáng trong môi trường tốc độ thấp truyền đi phần tối thiểu của đường đi và phần thường xuyên nhất truyền đến môi trường tốc độ cao. Nhưng liệu con đường cụ thể này có mang lại nhiều lợi nhuận nhất về mặt tiết kiệm thời gian không? Có thể sẽ có lợi hơn nếu loại bỏ một chút các đường dẫn trong môi trường $II$ để rút ngắn các đường dẫn trong môi trường $I?$. Tóm lại là bạn cần tìm xem ở điểm nào trên thế giới

38

(chùm tia) cần đi qua giao diện giữa hai phương tiện để thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là tối thiểu. Rõ ràng là điểm này nằm ở đâu đó giữa $A'$ và $B'$ (có thể bao gồm cả chính điểm $B'$).

Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách giữa $A'$ và $B'$ bằng $d$. Nếu chúng ta cần một điểm $C$ giao điểm của các ranh giới giao diện ở khoảng cách $x$ từ $A'$, thì từ $B'$ nó sẽ ở khoảng cách $d-x$ (xem Hình 4). Đường đi $AC$ mà ánh sáng đi qua trong môi trường $I$ bằng $\sqrt{y_1^2+x^2}$ và thời gian di chuyển của đường đi này

$$t_1 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c}.$$

Quãng đường $CB$ mà ánh sáng truyền qua trong môi trường $II$ bằng $\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}$ và thời gian cần thiết để đi qua quãng đường này là

$$t_2 = \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Tổng thời gian $t$ được cho bởi

$$t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Thời gian $t$ chỉ phụ thuộc vào $x$ - tọa độ của điểm mà cung rơi xuống, vì các giá trị $y_1, y_2, c, v$ và $d$ là không đổi, nghĩa là giống nhau cho tất cả các giá trị của $x$. Vì vậy, chúng ta cần tìm giá trị nào $x$ thì thời gian $t$ sẽ nhỏ nhất. bài toán này không thể giải được bằng đại số tổng quát. Để giải nó, chúng ta cần lợi dụng thực tế là giá trị của $x$, tại đó $t$ là tối thiểu, đạo hàm của hàm ở vế phải của phương trình (1) bằng 0.*) Điều này dẫn chúng ta đến các điều kiện sau cho $x$:

$$\begin{align*} \frac{x}{c\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \frac{d-x}{v\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}. \\ \frac{x}{\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \sin A'AC = \sin \alpha; \\ \frac{d-x}{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}} &= \sin CBB' = \sin \beta, \end{align*}$$

trong đó $\alpha$ là góc giữa tia tới và pháp tuyến với mặt phân cách tại điểm tới (góc tới) và $\beta$ là góc giữa pháp tuyến này và tia tới trước (góc tới). Do đó, điều kiện (2) có dạng:

$$\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{v},$$

hoặc $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{v}.$$

Đây là định luật khúc xạ cho trường hợp của chúng ta: tỷ số giữa sin của góc tới và sin của góc khúc xạ bằng tỷ số tốc độ truyền ánh sáng trong chân không và trong môi trường giáp nó. Tỷ lệ $c/v$ là giá trị ký tự không đổi trong một môi trường nhất định. Đây được gọi là chiết suất của một chất và được ký hiệu bằng chữ $n$, vì vậy

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

Trong trường hợp tổng quát, khi ánh sáng truyền từ một môi trường tùy ý có tốc độ ánh sáng $v_1$ sang môi trường có tốc độ ánh sáng $v_2$ thì định luật khúc xạ có dạng

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21},$$

trong đó $n_{21}$ là chiết suất tương đối của môi trường 2 và 1.

Tất nhiên, nguyên lý Fermat đúng không chỉ với những ví dụ đơn giản nhất về sự phản xạ và khúc xạ ánh sáng mà chúng ta đã xem xét ở đây. Sử dụng nguyên lý này, bạn có thể hiểu và tính toán chính xác đường đi của các tia tới mặt, mặt và trong bất kỳ hệ lăng kính, thấu kính và gương phức tạp nào.