Принцип Ферма

36

но. Это связывано с тем, что Франкин счел нужным называть положительным стеклянное электрическо Дюфе. Отсюда, от этого выбора, сделанного Франкином, следует и то, что электону мы приписываем отрицательный знак заряда, и то, что за направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов, хотя в металлических проводниках фактически движутся отрицательно заряженные частицы. В электритах и газах электрический ток — это встречное движение и положительные, и отрицательные частиц. Но теперь никто это не считает электрическим конфиктом.

Приципл Ферма

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятем «световой луч», составляют три закона — законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были формулированы эти законы, вопрос о природа света еще не стоял, и за понятем «луч» не скрывалось ничего физического реализации света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX — начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляется собой поток элементов световых частиц — фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторий движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был формулирован удивительный принцип, из которого примо следуют все основные законы распространение

Рис. 1.

ния света. Приципл этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601—1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которой время прохождение называется наименьшее.

Из принципи Ферма (так его обобщено называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямоолично: прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения — наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света — тоже примо следствие принципи Ферма.

Закон отражения света. Пусть MM — плоское зеркало. В точке A находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отражшись от зеркала, приходит из точки A в точку B (рис. 1). На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей — AA’B, ACB, AB’B. Таких «маршрутов» для света можно избежать бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в B.

Из простых геометрических сообщений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка A — зеркало — точка B было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей — ACB. Опустим из точки B припендикуляр на зеркало MM и продолжим его по другую сторону зеркала до точки B’, отстоящую от зеркала на расстоянии |OB’| = |OB|. Проведем линю CB’. Получившиеся треугольники COB и COB’ равны друг другу, так как они прямугольные, сторона OC у них общая

37

и $|OB| = |OB'|$. Следовательно, $|CB| = |CB'|$, откуда следует, что длина пути луча $ACB$ равна сумме длины от $A$ до точки $C$ падения луча на зеркало и от этой точки до точки $B$. Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка $C$ будет лежать на прямой, соединяющей точки $A$ и $B'$ (рис. 3). Тогда и сумма длины $|AC|$ и $|CB|$, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения света этого пути.

Из рисунка 3 видно, что $\widehat{BCO} = B'\widehat{CO}$ (треугольник $BCB'$ равновесный, поэтому $CO$ — биссектриса угла при вершине), а $\widehat{B'\widehat{CO}} = A\widehat{CM}$ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Приято, однako, отчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы $i$ и $i'$, то равны и углы $a$ и $\gamma$. Закон отражения обычно записывается в виде

$$\alpha = \gamma.$$

Закон этот, как мы видим, — следствие того, что свет как бы «выбирает» пути, который проходит за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падаюший, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то пути был длинее и требовал бы большого времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке $A$ (см. рис. 3) находится источник света, а в точке $B$ — глаз, то глаз воспринет свет так, как будто бы источник света находится не в $A$, а в $A'$, а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перести из $A$ в $A'$, то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света. Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее — световых лучей). Здесь речь идет о перехождение света из одной среды (среда $I$ на рисунке 4) в другую (среда $II$) через границу раздела между ними. Различие средости в том, что в них различны скорости распространения света.

Мы рассмотрим случай, когда среда $I$ — это вакуум, в котором скорость света равна $c$, а вторая среда — какое-то произведение (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света $v$ меньше, чем $c > v$.

Междуточками $A$ в среде $I$ и $B$ в среде $II$ также мыслимь бесчисленное множество путей, но, согласно принципи Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что пути $AA'B$ не есть такой пути, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее пути $AB'B?$ Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наиболее частый проходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот пути самый выгодный в смысле экономии времени? Можно быть, выгоднее несколько удалить пути в среде $II$ с тем, чтобы сократить пути в среде $I?$. Словом, нужно найти, в какой точке света

38

(лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от $A$ к $B$ было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между $A'$ и $B'$ (включая, возможно, и самую точку $B'$).

Обозначим расстояние между $A'$ и $B'$ через $d$. Если нужно нам точка $C$ пересечения границ раздела на расстояния $x$ от $A'$, то от $B'$ она отстит на расстоянии $d-x$ (см. рис. 4). Путь $AC$, проходимый светом в среде $I$, равен $\sqrt{y_1^2+x^2}$, а время прохождения этого пути

$$t_1 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c}.$$

Путь $CB$, проходимый светом в среде $II$, равен $\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}$, а время, нужно для прохождения этого пути,

$$t_2 = \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Общее время $t$ определяется равенством

$$t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Время $t$ зависит только от $x$ — координаты точки падения лука, так как величины $y_1, y_2, c, v$ и $d$ — постоянные, то есть одинаковые при всех значениях $x$. Вот нам и нужно найти, при каком значении $x$ время $t$ будет наименьшим. Средствами общей алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при этом значения $x$, при котором $t$ минимально, производная функция, стояшей в правой части уравнения (1), равна нулю.*) Это приводит нас к таким условиям для $x$:

$$\begin{align*} \frac{x}{c\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \frac{d-x}{v\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}. \\ \frac{x}{\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \sin A'AC = \sin \alpha; \\ \frac{d-x}{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}} &= \sin CBB' = \sin \beta, \end{align*}$$

где $\alpha$ — угол между padаюшим лучом и нормально к границе раздела в точке падения (угол падения) и $\beta$ — угол между этой нормально и предполенным лучом (угол предполнения). Условие (2) принимает поэтому вид:

$$\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{v},$$

или $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{v}.$$

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: относение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение $c/v$ — величана постоянная, характера для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой $n$, так что

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

В общем случae, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна $v_1$, в среду со скоростью света в ней $v_2$, закон преломления имеет вид

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21},$$

где $n_{21}$ — относительной показатель преломления сред 2 и 1.

Приципп Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого прициппа можно понять и точно расчитать ход лучей и в признаме, и в лице и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.