Московский физико-технический институт

56

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Найдите область определения функции
   $$f(x) = \log_2 \sin x + \sqrt{9x - 2x^2} - 4.$$
2. На координатной плоскости дана точка $M$ (2; 4). Рассматривают треугольники, у которых две вершины симметричных относительной оси $Oy$ и лежат на дуге параболи $y = 3x^2$, выделяемой условием $-1 \leq x \leq 1$, а точка $M$ является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наиболее площадь. Найдите эту площадь.
3. В равноведренной трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны $30^\circ$, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Биссектриса угла $BCD$ пересекает основание $AD$ в точке $M$, а отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Найдите площадь треугольника $ANM$, если площадь трапеции $ABCD$ равна $(2 + \sqrt{3}) \text{ cm}^2$.
4. Найдите все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} 5 \sin x \cdot \sin y + \frac{5}{2} \cos x \cdot \cos y = 2 \\ \cos x \cdot \sin y - 2 \sin x \cdot \cos y = \frac{6}{5}, \end{cases}$$
   удовлетворяющие условиям $0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi$.
5. На ребре $SB$ парамиды $SABC$ выбранты точки $D$ и $E$ так, что $|SD| = |DE| = 1, |BE| = 2$. Сечения парамиды плоскостями, перpendикулярными ребру $SB$ и проходящими через точки $D$ и $E$, имеют площади 5 и 16 соответственно, причем первое из этих сечений — треугольник, одна из вершин которого делит ребро $SA$ в отношении 2:1, считая от вершины $S$. Найдите объем парамиды.

Вариант 2

1. Решите неравенство
   $$\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x-2} < 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + 2^x.$$

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{5}{4} - \sin^2 x + \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)} = \cos x + \frac{1}{2}.$$

3. Из вершины $B$ типого угла ромба $ABCD$ проведены высоты $BM$ и $BN$. В четырехугольник $BMDN$ вписана окружность радиуса 1 см. Найдите сторону ромба, если $ABC = 2$ arctg 2.

4. В основании прямой прямых $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ с углом $\hat{A} = 60^\circ$, все ребра прямых имеют длину $a$. Точка $K$ является ortogonalной проекцией точки $B_1$ на плоскость $DA_1C_1$, а точка $L$ — ortogonalной проекцией точки $K$ на плоскость $DD_1C_1C$. Найдите объем парамиды $DCLK$.

5. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2z^2 - xz + 5xy^2 = 0 \\ xz - z^2 + 3x^2y = 9x^2y^3 \\ z^2 - 2x^2 - 5y^2z = 18x^2y. \end{cases}$$
   Вариант 3

6. Решите уравнение
   $$\log_2 (x-2) + \log_2 (8-x) = 1 + 2 \log_4 \left(x - \frac{9}{2}\right).$$

7. Решите неравенство
   $$2 - 3x \leq \sqrt{4 + 9x - 9x^2}.$$

8. Решите уравнение
   $$\mathrm{tg} \left(\frac{6}{25} \pi \cdot \cos^2 2x\right) = \mathrm{tg} \left(2\pi \cdot \cos^2 x\right).$$

9. В остругольном треугольнике $ABC$ высота $AD$, медиана $BE$ и биссектриса $CF$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\hat{C}$, если $|OE| = = 2|OC|$.

10. Сторона основания правильно призываны $ABCA_1B_1C_1$ имеет длину $a$, а боковое ребро — длину $\frac{9}{8} a$. Точка $E$ — середина ребра $AB$, а точка $M$ лежит на отрезке $EC$ и $|EM| = = \frac{1}{4} |EC|$. Вторая признама симметрина признаме $ABCA_1B_1C_1$ относительно прямой $MC_1$. Найдите объем части этих признам.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Диск может врашать вокруг вертикальной оси, перpendикулярной его плоскости (рис. 1). На диске на расстоянии $R$ от оси лежит небольшой брусок массы $M$. На горизонтальной поверхности бруска находится шайба массы $m$, прикрепленная к оси нитью. Диск вместе с бруском и шайбой очень медленно увеличивается своего угловую скорость. Козеффициент треня скольжения между шайбой и бруском $u$. Считая трене между бруском и диском пребежимо мальм, определяйте, при какой угловой скорости $\omega$ брусок начинает выскальзывать из-под шайбы.
2. Во время профиляческого ремонта до лодки-плоскодонки оклепили слоем пластка толщиной $d = 3$ см. После этого насводаной части лодки уменьшилась на величину $h = 1,8$ см. Определите плотность пластка $q$.
3. Наряженность однородного электрического поля слева от бесконечной заряженной плоской пластины равна $\vec{E}_1$, а справа $\vec{E}_2$ (рис. 2). Определите силу $f$, действующее на единицу площади пластины со стороны электрического поля.
4. С помощью тонкой линзы получено изображение треугольника $ABCEDG$, у которой $|AB| = |BC|$ (рис. 3). Основание треугольника