Системы линейных уравнений

24

Системы линейных уравнений
Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Системы линейных уравнений часто встречаются в различных приложениях математики (например, к физике, химии, экономике). В статье расссказывается о простейших способах решения таких систем и об универсальном способе — методе Гауса.

Исключение переменной

Понять метод лучше всего на примере. Расмотрим систему
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 7x + 5y = 1. \end{cases}$$

Чтобы ее решить, исключим с помощью первого уравнения переменную $x$ из второго уравнения. Подготовим для этого оба уравнения так, чтобы коэффициенты при $x$ у них были одинаковы. Умножая первое уравнение на 7, а второе на 2, получаем
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 14x + 10y = 2. \end{cases}$$

Тепер оставим первое уравнение нетронутым, а второе заменим на разность между первым и вторым уравнениями:
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 11y = 33. \end{cases}$$

Придамим теперь первому уравнению его perвоначальной вид, а второе разделим на 11:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ y = 3. \end{cases}$$

Подставляя значение $y=3$ в первое уравнение, находим
$$\begin{cases} x = -2 \\ y = 3. \end{cases}$$

25

Ответ получен, система уравнения имеет единственное решение — пару чисел (-2; 3).

Задачи

1. Метод исключения переменной решения системы
   a) $\begin{cases} 2x+3y=4 \\ 3x-2y=5 \end{cases}$
   b) $\begin{cases} \frac{3}{4}x-\frac{5}{6}y=1 \\ \frac{5}{6}x-\frac{3}{4}y=2. \end{cases}$
2. Две точки движутся по числовой оси с скоростью $u=-12$ km/ч и $v=12$ м/c. Вначале их абсциссы были $a=3$ km и $b=-500$ м. Где и когда они встретятся?

Замена переменных
Одним из основных приемов алгебры является замена одних переменных других. Этот прием позволяет создать задачи к более простым. Пусть, например, нам нужно решить систему не линейных уравнений
$$\begin{cases} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5. \\ \frac{7}{x}+\frac{5}{y}=1. \end{cases}$$
Полягая $u=\frac{1}{x}, v=\frac{1}{y}$, мы получаем линейную систему с новыми переменными $u, v$:
$$\begin{cases} 2u+3v=5 \\ 7u+5v=1. \end{cases}$$
Решая ее, находим $u=-2, v=3$. Возвращаем теперь к старым переменным: $\frac{1}{x}=-2, \frac{1}{y}=3$, откуда $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$.

Задача 3. Метод замены переменных решения системы
a) $$\begin{cases} \frac{1}{2x+3y-5}+\frac{7}{5x-8y+12}=1 \\ \frac{4}{2x+3y-5}-\frac{14}{5x-8y+12}=1 \end{cases}$$
b) $$\frac{x^2+xy=5}{3x^2+5xy=23}$$
c) $$\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{5}, \frac{xy}{5x+7y}=1.$$

Геометрический смысл линейного уравнения
Чтобы найти уравнение прямой $y=kx+b$, прохождение через точки с координатами (1; 2) и (3; 1), подставим в уравнение $y=kx+b$ вместо $x$ и $y$ координаты данных точки. Мы получим систему
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 1=3k+b. \end{cases}$$
Решая ее, находим $k=-\frac{1}{2}, b=\frac{5}{2}$.
Таким образом, искomme уравнение $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
Но может служить так, что соответствующий система уравнения не имеет решения. Пусть, например, данные точки имеют координаты (1; 2) и (1; 3). Подставля эти значения в уравнение $y=kx+b$, получаем систему
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 3=k+b, \end{cases}$$
не имеющего решения (ведь из уравнения системы следует $2=3$). На первый взгляд, это немного удивительное — ведь через две точки всегда проходит прямая. Оказывается, уравнение прямой, проходящей через точки (1; 2) и (1; 3), не записывается в виде $y=kx+b$ — ее уравнение $x=1$.
Таким образом, мы выяснили причину недоразумения — задача была недачно сформулирована: в условиях предполагалось, что уравнение прямой на координатной плоскости всегда имеет вид $y=kx+b$, однако для прямых, параллельных оси ordinат, это не так. В связи с этим оставляем уравнение произвольной прямой записываются в виде $ax+by=c$. Такой вид позволяет охватить уже все прямые на координатной плоскости. Например, если положить $a=\frac{1}{2}, b=1, c=\frac{5}{2}$, получится уравнение первого нами прямой, а если взять $a=1, b=0, c=1$ — уравнение второй прямой.
Рассмотрим теперь систему
$$\begin{cases} x+\sqrt{2}y=\sqrt{3} \\ \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}. \end{cases}$$
Решить ее — это на геометрическом языке значит найти общие точки прямых, заданных уравнениями $x+\sqrt{2}y=\sqrt{3}, \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}$. Решим эту систему методом исключения переменной: уножим первое уравнение на $\sqrt{2}$ и вычтем из второго:

26

$$\begin{cases} \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \end{cases} \quad 0 = 0.$$

В результате осталось только одно уравнение. Это означает, что система имеет бесконечное число решений и прямые совпадают. В процессе решения мы обнаружили, что второе уравнение — это первое, умноженное на $\sqrt{2}$, что сразу можно было не заметить.

В разобранных задачах мы столкнулсь со всеми возможными ситуациями: система имеет единственное решение, не имеет решения, имеет бесконечное число решений. Так же обстоит дело и в общем случае. Система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, как правило, имеет единственное решение. Но когда одно из ее уравнений является «линейной комбинацией» остальных уравнений или противоречит им, она имеет бесконечное число решений или их вообше нет.

Задачи

4. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки a) (1; 5) и (2; 3); б) (6; 1) и (6; 5).

5. При каких $k$ и $b$ прямые $y - kx = 2$ и $2y - 6x = b$ совпадают? б) не пересекаются?

6. При каких $a$ системы

$$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a \\ x + y = 1 \end{cases}$$

не имеет решение?

7. Докажите, что система

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

тогда и только тогда имеет единственное решение, когда $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$. (Число $a_1b_2 - a_2b_1$ называется определенным системы.)

Ошибки при округлении

При решении задача на ЭВМ могут возникать удивительные ситуации. Классический илистрацией этого является решение системы

$$\begin{cases} x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Эта система, как мы уже убедились, имеет бесконечное число решения. Однако, если решать ее на ЭВМ, она будет иметь… единственное решение! Это происходит потому, что ЭВМ не имеет операровать с числами вида $\sqrt{2}$, — они заменяют в ней на десятичные (или двойные) приближения.

Если, например, числа $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ заменить на их десятичные приближения с одной цифрой после запятой: $\sqrt{2} \approx 1.4; \sqrt{3} \approx 1.7; \sqrt{6} \approx 2.4$, система примет вид

$$\begin{cases} x + 1.4y = 1.7 \\ 1.4x + 2y = 2.4. \end{cases}$$

Решив ее, мы получим одно решение: $x = 1; y = 0.5$.

Если же оставить четые знака после запятой, получается система

$$\begin{cases} x + 1.4142y = 1.7320 \\ 1.4142x + 2y = 2.4494 \end{cases}$$

имеющая тоже одно (но совсем другое) решение: $x = 0,3178; y = 1$.

Интересно, что, какими бы десятичными приближениями мы ни заменяли число $\sqrt{2}$, всегда будет получаться единственное решение.

Докажем это. Заменив в системе (1) $\sqrt{2}$ буквой $a$, получим

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ ax + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Покажем, что при $a^2 \neq 2$ система имеет единственное решение. Если $a = 0$, это очевидно. Пусть теперь $a \neq 0$. Умножая первое уравнение на $a$ и вычитая из него второе, приводим систему к виду

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ (a^2 - 2)y = a\sqrt{3} - \sqrt{6}. \end{cases}$$

Так как $a^2 \neq 2$, $y$ принимает единственное значение $\frac{a\sqrt{3} - \sqrt{6}}{a^2 - 2}$. Подставляя его в первое уравнение, находим единственное значение $x$. Таким образом, если в качестве $a$ взять не само число $\sqrt{2}$, а его какое-нибудь приближение, то $a^2 \neq 2$ — значит, система обладает единственным решение.

Остается напомнить («Алгебра 7», п. 28), что само число $\sqrt{2}$ не представляется в виде конечной десятичной дроби (и даже в виде любой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ целые числа).

Из-за этого мы и получили парадокс, связанный с решением системы (1) на ЭВМ.

Обратим внимание на то, что даже в случае, когда все коэффициенты данной системы — конечные десятичные дроби, при их округлении решение системы может сильно измениться. Так, система (2) получается округленем коэффициентов системы (3), и при этом их решения совсем разные. В системе с большим числом переменных ошибки, возникло ошибка при округлении, тем более могут приводить к существенным измененным решений.

Оценить ошибку и указать процесс решения, гарантирующего наименьшую погрешность, — важная и далеко не простая задача. В начале прошло века ее начал изучать вликий математик Гаусс, а существенные дальнейшие продвижения в этом направлении были сделаны только в последние десятичные. В связи с основополагающим вкладом Гаусс в эту область его именем назван простой и универсальный метод исключения переменных.

Метод Гаусс

Послеовательное исключение переменных — наиболее удобный способ решения системы линейных

27

Уравнение на ЭВМ. Продемонстрируем его на примере системы трех уравнений с трея переменными

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -4 \\ 4x_1 + x_2 + 4x_3 = -2. \end{cases}$$

Первый шаг состоит в том, что с помощью первого уравнения переменная $x_1$ исключается из остальных уравнений: первое уравнение оставляем неизменным; из второго уравнения вычитаем увоенное первое; из третього уравнения вычитаем учетверенное первое; получаем

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -3x_2 - 4x_3 = 2. \end{cases}$$

Второй шаг состоит в том, что с помощью нового второго уравнения переменная $x_2$ исключается из третьего уравнения: первые два уравнения оставляем неизменным; из третьего уравнения вычитаем второе; получаем

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -2x_3 = 4. \end{cases}$$

Теперь из последнего уравнения находим $x_3 = -2$. Подставляя это значение в предыдущей уравнение, находим $x_2 = 2$. Подставляя $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$ в первое уравнение, находим $x_1 = 1$. Итак, у нас готов ответ: $(1; 2; -2)$.

Аналогичным образом можно решать любые системы линейных уравнений. Грубо говоря, метод Гауса заключается в следующем:

С помощью первого уравнения переменная $x_1$ исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная $x_2$ исключается из всех следующих уравнений. Потом с помощью нового третьего уравнения исключается переменная $x_3$. И так далее, пока мы не получим в последнем уравнение значение последней переменной. После этого находим переменные в обратном порядке, подставляя их известные значения в уравнение.

Мы видим, что это — почти готовая программа для ЭВМ. Но, чтобы этот метод сравывает, нужно, чтобы на $k$-м шаге новое $k$-е уравнение содержало $k$-ю переменную (ведь с его помощью нам нужно исключать эту переменную из остальных уравнений). Если оказывается, что это не так, приходит переставлять (переумерровывать) уравнения или переменные.

Может служиться также, что с некоторого места последние уравнения превращается в числовые равенства вида $0 = b$. Если хотя бы одно из этих равенств неверно ($b \neq 0$), то система не имеет решений. Если же все эти равенства верны, то система имеет бесконечное число решений. (Все также считаются предусмотрены в результате использования программы для ЭВМ.)

Отметим, что в ЭВМ вводятся не уравнения, а таблицы коэффициентов — так называемые матрицы системы. Например, системе, которая мы только что решили, сопоставляется матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Два шага метода Гауса, которые мы сделали при решении, можно изобразить так:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Кстати сказаны, когда системы с трея и большим числом переменных решаются вручную, а не на ЭВМ, то тоже удобнее действовать с матрицами — меньше шансов ошибиться.

Задача 8. Решите систему, предлагавшуюся семиклассикam на 2-м type XV Московской области:

$$\begin{align*} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 2x_5 &= 1 \\ x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 4x_4 + 4x_5 &= 2 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 + 6x_5 &= 3 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 8x_5 &= 4 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 &= 5. \end{align*}$$

Разные задачи

9. Математик выsel гулять — сначала он пошел поровной дороге, затем поднялся в гору, повернул назад и пришел домой той же

28

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Дорогой. Он знал, что гулял всего 5 ч, что его скорость поровной дороге равна 4 км/ч, в гору — 3 км/ч и при спуске с горы — 6 км/ч. Сев за стол и составив одно уравнение с двумя переменными: $x$ — пройденное в оба конца расстояние и $y$ — длина наклонного участка, математик с удивлением обнаружил, что может найти $x$. Найдите $x$.

10. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждой стопт кружка с молоком. Один из гномов переливает $\frac{1}{4}$ своего молока соседу справа. Затем соседа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий соседа и, наконец, четвертый гном $\frac{1}{4}$ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
    a) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было вначале?

11. Определите числа $a, b$ и $c$ так, чтобы функция $y = ax^2 + bx + c$ имела таблицу значений

Решение. Подставляя последовательно данные значения $x$ и $y$ в формулу $y = ax^2 + bx + c$, получаем $1 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c, 2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c, 2 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$. Решив эту систему уравнения, находим $c = 1$, $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$. Следовательно, функция имеет вид
$$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 1.$$

12. Определите числа $a, b$ и $c$ так, чтобы функция $y = a + b(x-1) + c(x-1)(x-2)$ имела таблицу значений

Решение. Из рисунка 1 получается система

$\cdot$ Поскольку данная статья в первую очередь расчитана на семиклассиков, здесь и далее используются обозначения из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6-10».

29

Рис. 4. Рис. 5.

$$x + y = c, y + z = a, z + x = b.$$

Она, конечно, легко решается любым из вышечкаанных способов, но красивее и проще поступить иначе. Сложим все три уравнения. Получаем $2x + 2y + 2z = a + b + c$, откуда $x + y + z = \frac{a + b + c}{2}$. Вычитая из этого уравнения каждое из уравнений системы, находим $x = \frac{b + c - a}{2}, y = \frac{a + c - b}{2}, z = \frac{a + b - c}{2}$.

16. На основании $AB$ равноведренного треугольника $ABC$ взята точка $E$. В треугольнике $ACE$ и $ECB$ вписаны окружности, которые касаются отрезка $CE$ в точках $K$ и $H$. соответственно. Найдите длину отрезка $KH$, если $AE = a, EB = b$.

17. (Предлагалась воспоминания на XXIII Украинской олимпиде в 1983 г.) Прямогольник разбит на квадраты так, как показано на рисунке 2. Известно, что сторона защищенного квадрата равна 1. Найдите стороны остальных квадратов.

Решение. Обозначим искомые стороны через $x, y, z, u$ (см. рис. 2). Тогда $MN = y = u + 1, AB = x = y + 1, KL = z = x + 1$. Подставляя $y = u + 1$ во второе соответствие, находим $x = u + 2$. Подставляя $x = u + 2$ в третье соответствие, находим $z = u + 3$. Тепер запишем равенство противоположных сторон прямогольника: $x + z = y + 2u$; подставив сюда $x, y$ и $z$, получаем $(u + 2) + (u + 3) = (u + 1) + 2u$, откуда $u = 4$. Тепер находим $x = 6, y = 5, z = 7$.

18. Прямогольник разбит на квадраты так, как показано на рисунке 3. Известно, что сторона защищенного квадрата равна 2. Найдите стороны остальных квадратов.

В двух следующих задачах реш идет о разветвленных электрических цепях, составленных из проводников единичного сопротивления. Каждая цепь подключана к источнику в двух точках (полюсах). Тoki подчиняются правым Кирхгофа, которые для расматриваемых цепей можно сформулировать так:

1. Сумма токов, входяших в любой узел, равна сумме токов, выходяших из него (полюс узлом не считается).

2. В любом замкнутом контуре сумма токов, идущих по часовой стрелке, равна сумме токов, идущих против часовой стрелки$^*$).

19. На рисунке 4 изображена электрическая цепь с полюсами $A, C$ и узlamи $B, D$. Найдите токи во всех проводниках этой цепи, если известно, что ток в проводнике $DB$ равен 1. (Стрелками обозначены направления токов.)

20. На рисунке 5 изображены электрические цепи с полюсами $A$ и $C$. Найдите токи в их проводниках, если известно, что в каждой цепи ток в проводнике $CD$ равен 1. Некоторые токи у вас получаются нулевыми и отпечатальными, что это означает?

21. Двое играют в такую игру: в системе
    $$\begin{cases} x + y = * \\ x + y = * \end{cases}$$
    они по очередно вместе какой-нибудь звездочки ставят какое-нибудь число; первый хочет, чтобы полученная в конце системы имела решение, а второй хочет, чтобы система решений не имела. Кто выиграет при правильной игре? А кто выиграет, если, наоборот, первый хочет, чтобы полученная система не имела решений, а второй — что бы имела?

22. (Предлагалась в восемом и десятом классах на XXIII Всегоозной олимпиде и вошла в заданок «Кваンタ» под номером М578; решение см. в разделе «Ответы, указания, решения».) Решите систему $(a$ и $b$ — данные числа)
    $$\frac{x - y \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = a, \quad \frac{y - x \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = b.$$

$^*)$ Правильнее сказаать, что одинаковые суммы падений направления, но, поскольку все проводники имеют единичные сопротивления, можно говорить и о токах.