Задачи М841—М845; Ф853—Ф857

42

Задачи

M841—M845; Ф853—Ф857

М841. Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямогоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.

M842. a) Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = 0$, то
$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$
6) Величины $\hat{A}, \hat{B}$ и $\hat{C}$ углов треугольника удовлетворяют условиям
$$\frac{\sin \hat{A} + \sin \hat{B} + \sin \hat{C}}{\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C}} = \sqrt{3}.$$
Докажите, что хотя бы один из них равен $60^\circ$.

Л. Д. Курляндчик

M843. В верхних треугольника $ABC$ восставлены перpendикularы $AA_1, BB_1, CC_1$ к его плоскости по одному сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перpendикular, опущенный из точки пересечения плоскостей $ABC_1, BCA_1$ и $CAB_1$ на плоскость $ABC$, попадает в центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности и равен по длине ее радиусу.

А. А. Ягубьянц

M844. a) Докажите, что любое натуральное число $a$ можно единственным образом представить в виде
$$a = a_1 \cdot 1! + a_2 \cdot 2! + ... + a_n \cdot n!,$$
(1)
где $a_k$ — целые числа, $0 \leq a_k \leq k$, $a_n \neq 0$. (По определению, $k! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k$, $1! = 1$.)
6) * Докажите, что любое рациональное число $r$, $0 \leq r < 1$, можно единственным образом представить в виде
$$r = \frac{b_1}{2!} + \frac{b_2}{3!} + ... + \frac{b_n}{(n+1)!},$$
(2)

43

где $b_k$ — целые числа, $0 \leq b_k \leq k$, $b_n \neq 0$.
в) Представьте в виде (1) число $a = 1984$ и в виде (2) число $r = 19/84$.

В. Е. Колосов

М845*. Для каких $n$ из $n$ уголков, состоящих из четырех клеток $1 \times 1$, и неокоторого числа прямогольников $4 \times 1$ (рис. 1) можно составить центрально-симметричный фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?

В. Г. Белов

Ф853. Левые опоры контейнера, в отличие от правых, сделаны на роликах (рис. 2), обеспечивающих пренебрежимо малое tremие (размеры опор malы). Чтобы сdwинуть контейнер влево, к центру его правой стенки перпендикулярно ей надо приложить силу $F_1$. Чтобы сdwинуть контейнер вправо, к центру его левой стенки perpendикулярно ей надо приложить силу $F_2$. Определить массу контейнера, считая его однородным кубом.

И. И. Воробьев

Ф854. Оценить среднее число, которое надо прилагать к краю надувного матраца, чтобы согласно его посредине под прямым углом (рис. 3). Матрац не имеет поперечных перетяжек. Необходимые для решения величины и их достаточно реальные числовые значения задайте сами и получите численный результат.

Е. И. Пальчиков

Ф855. В плоский конденсатор, присоединенный к полосам батареи с ЭДС $\delta$, полностью ввинута паралельно его пластинам заряженная пластина на расстоянии $b$ от одной из пластин конденсатора (рис. 4). Найти силу, действующего на ввинутую пластину, если ее заряд равен $q$. Силой тяжесте принебреть. Площадь пластин конденсатора равна $S$, расстояние между ними — $d$.

В. П. Бородин, А. П. Ерисов

Ф856. Через нагревальную спираль с постоянным сопротивлением пропускают постоянный ток. На сколько процентов изменится среднее количество тепла, выделяющегося в спирали за секунду, если через нее пропускать одновременное еще и переменный (синусоидальный) ток, амплитудное значение которого составляет 10% от величины постоянного тока?

В. Г. Дудников

Ф857. На блестящей банке имеется плоская вместена, от которой отражается на экран пучок света. В банку наливают охлажденную жидкость. Отраженный сигнал заметно ослабляется. Объясните явление.

В. Г. Дудников