Видимые контуры

30

Видимые контуры

На верхнем рисунке воспроизведена фотографика тора (поверхности бублика или спасательного круга), сделанного из тонкого стекла. Мы видим на этой фотографию темную линюю замысловатой формы: она имеет две точки самопересечения и четыре точки возврата — так называются точки, в которых линяя скачком меняет свое направление на 180°, образуя нечто вроде острого клюва. Что изобразает эта линяя, почему на ней присутствует точки самопересечения и точки возврата и как выглядит отвечающая ей линяя на самой поверхности? Что ответить на эти вопросы, переведем их на привчный геометрический язык.

Луч света, вовсе не пересекающий поверхность или пересекающий ее под большим углом, не теряет или почти не теряет своей интенсивности. В то же время, луч, близкий к касательной к поверхности*), проходит через значительную толщу стекла (рис. 1) и соответствующое место на фотографию или на экране будет более темным. Таким образом, наши проблемы имеют следующее геометрическую переформулировку.

Лежащий в пространстве тор произвивается пучком параллельных прямых (лучей света). Оставим в этом пучке только те прямые, которые касаются тора, и отметим на каждой из этих прямых точку касания и точку пересечения с заранее фиксированной плоскостью — «экрана». Отмеченные точки составляют линей на торе и на экране. Мы хотим разобраться в устройстве этих линей.

Оказывается, что если угол наклона прямых к плоскости осевой окружности тора не слипком велики, то линей будут выглядеть как показано на рисунке 2, в частиности линей на торе не будет иметь никаких особенностей — ни точек самопересечения, ни точек возврата). Чтобы в этом убедиться, проведем через наши лучи вертикальные (параллельные оси врашения тора) плоскости. Эти плоскости будут пересекаться тор по линяям, которые мы будем дальнейать сечениеми. Изменение сечение при плавном движении вертикальной плоскости изобрежено на первой «кинограммме» (рис. 3). В каждой из наших вертикальных плоскостей лучи составляют семейство параллельных прямых. Мы отбираем те из них, которые касаются сечениеми, и отмещаем точки касания с ним карандашом, а точки пересечения касательных с прямой — следом нашего экрана — красным карандашом (см. кинограмму). Вертикальные плоскости, составляющими нашу кинограмму, отвечают параллельные прямые на экране. Нарисуем их и отметим на них найdenные краские точки (см. рис. 3). Получившаяся картина позволяет проследить ход почти всей линей на экране, несяными остатками два отчечных на рисунке места. В оставшихся двух местах (достаточно расстоять одно из них, поскольку они симметричны) мы применим метод «замедленной киносбемки», причем ограничится лишь центральной частью кадра.

*) Касательная к поверхности есть, по определению, прямая, касающаяся некоторой линей, лежащей на этой поверхности.

31

На рисунке 4 изображена получающая кинограма, а под ней показаны соответствующие части красной и синей линии (синюю линии мы проектируем на вертикальном плоскосте, она от этого существенно не меняется). На нашей кинограме мы видим, что две касательные сначала движутся друг к другу и проходит друг сквозь друга. В этот момент (кадр № 2) на красной линии получается точка самопересечения, а на синей — нет (соответствующая касательная касается тора в двух точках! — впрочем, это проходит только если касательная достигано полога). Затем в некоторый момент (в момент сляния двух кусков сечения в одной — см. кадры № 9 и 10 первой кинограммы) в центре каждая возникла две новые касательные, которые быстро расходятся. Затем скорость, с которой они расходятся, уменьшается, но все равно они догоняют две стары касательные (кадр № 5 второй кинограммы). И тут же все касательные исчезают.

Послений момент мы рассмотрим еще визитальное. Для этого на третьей кинограме мы применим еще большее замедление, еще больше увеличение и — еще один кинотрик — заставим время двигаться вспять. На попадающих в поле зреня кусках сечения имеется точка перегиба, причем касательная к сечению в точке перегиба с течение времени поворачивается против часовой стрелки. Пока она остается положе направления наших лучей, рассматривая часть кривой вообще не имеет касательных, параллельных лучам. Затем такая касательная появляется, причем в момент своего появления это — касательная в точке перегиба. Сразу после появления она разделивает, причем точки касания двух касательных расходятся очень быстро, а сами касательные расходятся очень медленно (см. кинограму на рисунке 5). Поэтому две ветви красной линии, прилегающие к основанию касательной в точке перегиба, очень близки друг к другу — мы имеем точку возврата; соответствующие же ветви синей линии расходятся в разные стороны, то есть синей линия является величиной рассматриваемой точки объIkновенной глазкой кривой.

Можно заметить, что в точках, отвечающих точке возврата красной линии, касательная к синей линии имеет направление наших лучей. Уже одного этого достаточно, чтобы убедиться в существовании у красной линии точек возврата. Действительно, красная линия получается в результате проектирования синей линии вдоль лучей. При проектировании же пространственной кривой на плоскость в направлении касательной к этой кривой в некоторых точке на проекции получается точка возврата. Чтобы это увидеть, возьмите изогнутую проводку и посмотрите на нее одним глазом так, чтобы касательная в некоторых проекциях проходила через центр вашего экрана. Вы увидите точку возврата.

В заключение заметим, что наша конструкция «красной и синей линии» применима не только к поверхности тора, но к любой поверхности, произвольной параллельными прямыми. При этом красная линия может иметь точку пересечения и возврата, а синея линия, как правило, их не имеет.

Заметим, что художник, изображющий объемный предмет при помощи линей, изображает в действительности часть нашей красной линии, отвечающей поверхности предмет — часть, состоящую из оснований тех касательных, которые не пересекают предмет между точкой касания и экраном. Эта часть красной линии образует «видимый контур» предмета, такой, как на сосуде на рисунке 6 (справа к видимому контуру пунктиром пририсования невидимые части красной линии — это не принято делать на рисунках, но принято делать на чертежах).

В проечем, точки возврата на видимом контуре никака не появятся: по крайней мере, одна из двух ветвей красной линии, входящих в точку возврата, будет невидима.