Задачи

39

Задания

1. Саша образил внимание на номер автоматизины, подъявшей к его дому. Интересно! Если прибавить к первому числу цифры второго: 85+8+7, то получится 100, и если прибавить ко второму числу цифры первого: 87+8+5, то тоже получится 100. А сколько всего таких номеров?

2. Поставьте в примере на умножение вместе звездочек недостающие цифры.

3. Расставьте числа от 1 до 12 в кружки так, чтобы суммы чисел на каждой из шести прямых, на каждой из трех окружностей и в вершинах каждой из трех ромбов были одинаковы.

4. У Вадика было орехов в 3 раза меньше, чем у Кости. Если Вадику дать еще столько же орехов, взяв их у Кости, то у обонх будет поровну. Сколько орехов было у Кости?

5. «— Огонь в полумиле от нас, и ветер несет его в нашу сторону со страшной быстротой…

— Что там огонь!… По-вашему, это огонь?… Ну, молодцы, за работу… Беритесь-ка за эту низку, вялуго траву и выдержайте ее вол…

Старик прошел в противоположный край… и, выбрав пук самых сухих стеблей, положил их на полку своего ружея. Они мгновенно вспыхнул от искры…

— Теперь, — сказал старик,… — вы увидите, как огонь дереется с огнем!»

Так в романе Ф. Купера «Преерия» описывает один из способов борьбы со степным пожаром — поджигание степи с противоположной стороны. Попробуйте обьясить, в чем секрет этого способа.

Эти задания нам предложили Ю. А. Аленков, С. Н. Олехник, А. В. Сидерландский, А. В. Токарев, А. М. Чарных.

41

лиценое на 1 число десятков больше, добавить к этому числу целую часть половины разности десятков, а к полученному числу приписать либо 25, если эта разность четна, либо 75, если она нечетна. Хотя приведенная нами словесная формулировка звучит сложно, предлагаемый способ очень прост, как видно из следующих примеров:

$$35 \cdot 75 = (3 \cdot 8 + \frac{7-3}{2}) \cdot 100 + 25 = 2625.$$
$$25 \cdot 55 = (2 \cdot 6 + [\frac{5-2}{2}]) \cdot 100 + 75 = 1375.$$

Доказательство того, что это правило справедливо, мы оставляем читателю в качестве упражнения.

---

Манана Вансовская, ученица десятого класса Набакевской средней школы Самтредского района Грузинской СССР, предлагает способ возвления в квадрат трехзначных чисел, окачивающийся на 25:

«Для получения квадрата трехзначного числа, которое окачивается на 25, пишем в конце 625, затем число сотен умножаем на 5, у полученного числа последнюю цифру пишем вперед числа 625, а первый цифру запоминаем. Потом число сотен данного числа возводим в квадрат и прибавляем ту цифру, который только что запоминали, полученный результат пишем вперед написанных нами чисел.»

Например, при возвлении 325 в квадрат, находим 3 \cdot 5 = 15, предчислом 625 пишем 5 и запоминаем 1:

$$(325)^2 = 10000(3^2 + 1) + 1000 \cdot 5 + 625 = 105625.$$

Манана приводит также пожойный пример для возвления в квадрат четырехзначных чисел, окачивающийся на 125. А мы предлагаем нашим читателем обосновать изложенный Мананой способ возвления в квадрат трехзначного числа, окачивающегося на 25, а также самостоятельно придумать ее «похожий пример» для четырехзначных чисел.

*) Квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Любопытный способ использования пальцев рук для заполнения значений и знаков синуса и коснуса основных углов предложил семиклассник Миша Перваков из шкoles № 2 г. Егорьевска Московской области:

«Постотрим на ладонь левой руки и пропумерем пальцы так: минец — 0, безымянный — 1, средний — 2, указательный — 3, большой — 4. При широко расставленных пальцах они примерно соответствуют «основным» углам первого квадрата: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (рис. 1). Синусы этих углов будут равны половине квадратаного корня из присвоенного пальцу номера.»

Например,

$$\sin 45^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{homер среднего пальца} = \frac{1}{2} \sqrt{3}.$$

Значение косинуса находится аналогично, только пальцы нужно пропумеровать в обратном порядке: больший — 0, …, минец — 4.

Эти значения можно свести в легко заполнитошуюся таблицу, которое прислал в редакцию учитель Л. Ф. Белов (г. Дубовка Волгоградской области)

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\sin \alpha$ | $\sqrt{0/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{4/2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\sqrt{4/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{0/2}$ |