Московский институт электронного машиностроения

57

AC лежит на главной оптической оси линзы. Отрезок AB изображается с увеличением β₁=6, а отрезок BC — с увеличением β₂=3. Определите, с каким увеличением Γ₀ изображается отрезок BD.

Вариант 2

1. Тело массы M налетает на две последовательно соединенные пружины жесткости k₁ и k₂ (рис. 4). Максимальная энергия деформации пружины 2 оказывается равной E. Определите начальное скорость тела v.
2. При нагревании середрного проводника сечения S=5·10⁻² мм² его сопротивление возросло на ΔR=1,5·10⁻² Ом, а внутренняя энергия увеличилась на ΔU=1,6 Дж. Найдите температурный коэффициент сопротивления середра α. Плотность середра q=10,5·10³ кг/м³, удельная тепломкость c=235 Дж/(кг·К), удельная проводимость σ=0,62·10⁶ Ом⁻¹·см⁻¹.
3. В колбательном LCR-контуре (рис. 5) сопротивление неveliko, так что колбатерия в нем затухают слабо. Для получения незатухающих колбатаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда заряд конденсатора максимален, его пластины быстро развягают от расстояния d₁ до расстояния d₂, а в моменты, когда заряд равен нулю, их быстро сдигают до прежнего расстояния (так называемый параметрический резонанс). При каком относительной изменении расстояния между обкладками Δd/d колбатерия в контуре затухать не будут?
4. За положительной линзой Л с фокусным расстоянием F=24 cm на расстоянии l=4 cm расположено выпуклое сферическое зеркало 3. Эта система линза+зеркало отражает лучи, параллельные оптической оси линзы, точно в обратном направлении. Определите радиус кривизны зеркала R (рис. 6).

Публикацию подготовили С. П. Коновалов, А. В. Шеладин

Московский институт электронного машиностроения

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{align*} x+y+z &= 6 \\ (x+z)(y+z) &= 15 \\ (y-1)(x+z) &= 4. \end{align*}$$

2. При повороте координатной плоскости на угол α с центром в точке M точка A(1;2) переходит в A₁(6;5), а B(1;4) в B₁(4;5). Найдите образ точки C(1;3). Найдите образ еще одной точки (по Вашему выбору). Найдите величины угла α и координаты точки M.

3. Какие из графиков функций y=2x³-x, y=x³+6x²-5, y=3x²+2x, y=cos x, y=1/2x⁻¹-1 имеют центр симметрины?

4. При каких значениях α наименьшее значение функции
   $$y=x²+(a+4)x+2a+3$$
   на отрезке [0;2] равно —4?

5. При каких значениях a, b, c равенство
   $$a\cdot\cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)+b\cdot\sin\left(2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)\right)+c\cdot\sin\left(x+\pi\right)=0$$
   выполняется при x∈{π/6, π/4, π/3}? При каких значениях a, b, c это равенство выполняется для всех x∈[1/8;1/3]?
   Вариант 2

6. Решите систему уравнений
   $$\begin{align*} x-3y &= -5 \\ \frac{x}{3y} - \frac{2y}{x} &= -\frac{23}{6}. \end{align*}$$

7. Точки A(1;1) и B(5;1) являются вершинами острых углов равноведренного прямого

58

угольного треугольника $ABC$, имеющего общие точки с осью $Ox$. Треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$ при его симметричной относительной оси $Ox$. Найдите площадь общей части этих треугольников и укажите все перемещения, при которых треугольник $A_1B_1C_1$ переходит в треугольник $ABC$.

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{1 - \sqrt{3} \cos x} + \sqrt{10} \sin x = 0.$$

4. Какие из следующих функций является и какие не является периодически:
   $$y = 3 - 2x^2, \quad y = -2x^3 - 3x + 2, \quad y = 2 + 3 \text{ ctg} \frac{x}{3},$$
   $$y = 2 \cos \frac{3x}{2} - 3 \sin 2x, \quad y = \cos x^2, \quad y = \cos^2 x?$$
   Для периодических функций укажите их наименьший положительный период.

5. При каких значениях $a, b, c, d$ равенство
   $$a \cdot \cos 2x = b \cdot \cos^2 x + c \cdot \cos x + d$$
   является точдествором?

Физика
Задание устного экзамена

1. Два груза, массы которых $m_1 = 0,3$ кг и $m_2 = 0,5$ кг, связаны невескомой и нерастимой нитью, перекиниют через блок массой $m = 0,2$ кг (рис. 1). Считая, что масса блока сосредоточена в его ободе, и пребрегая сопротивлением движению, определяйте силы натяжения нити по обе стороны от блока. Просkalзывание между блоком и нити отсутствует.

Рис. 1.
Рис. 2.

2. Груз массой $m = 0,25$ кг прикреплен к двум невескомым пружинам с жесткостьми $k_1 = 150$ Н/m и $k_2 = 250$ Н/m (рис. 2). Первоначально пружины находятся в ненапряжном состоянии. Затем в неокторный момент времени правый конец пружины с жесткостью $k_2$ очень быстро сдвигаютлево на расстояние $a = 0,04$ м и удерживают его в этом положении. Определите скорость, с которой груз проходит положение равновесия, и амплитуду колбаный груза.

3. Газ совершает круговой процесс, изображенный на рисунке 3. Какая работа может быть совершена за один цикл при таком процессе, если наименьшая температура газа

Рис. 3.

$$t_1 = 0^\circ C, \text{ а наибольшая } t_3 = 127^\circ C?$$ Объем газа при температуре $t_1$ равен $V_1 = 5$ л, при $t_3 - V_3 = 6$ л, а при нормальных условиях данное количество газа занимает объем $V_0 = 10$ л.

4. В закрытый сосуд объемом $V = 10$ л помещают несколько капель воды общей массой $m = 0,258$ г. Затем начают увеличитать температуру сосуда, причем настолько медленно, что все время поддерживается равновесие между паром и жидкостью. При температуре $t = 27^\circ C$ вода полностью испарилась. Определите давление насыщенныхаров воды при этой температуре.

5. В сосуд имеются несколько количеств воды и такое же количество льда ($m_B = m_1$) в состоянии теплового равновесия. Через сосуд пропускают водной пар при температуре $t_n = 100^\circ C$. Пренебрегая теплоемкость сосуда и потерями телла на нагревание окружающего воздуха, найдите установившую температуру воды в сосуде, если масса пропущенного пара равна первоначальной массе воды. Удельная температура $λ = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг, а удельная температура парообразования воды $r = 2,3 \times 10^6$ Дж/кг. Атмосферное давление нормальное.

6. Найдите напряжения на конденсаторах, емкости которых $C_1 = 2$ мкФ и $C_2 = 3$ мкФ, если ЭДС источников $δ_1 = 3$ В и $δ_2 = 8$ В (рис. 4).

Рис. 4.

7. Две проводящие сферы, радиусы которых $r_1 = 1$ см и $r_2 = 0,5$ см, соединены через изолирующие прокладки пружиной с жесткостью $k = 100$ Н/m и длиной $l_0 = 9,9$ см. Однако из сфера соединиют заряд $q$, а затем сферы соединиют тонким гибким проводом. При этом расстояние между сферами становится равным $l = 10,5$ см. Найдите заряд $q$, если до его сообщения сила натяжения пружины была равна нулю.

8. При электролизе растора медного купориса на катоде за некоторое время выделилось $m = 2$ г меди при токе $I = 0,25$ А. Расстояние между прямой пружиной с жесткостью $k_2$ очень быстро сдвигаютлево на расстояние $a = 0,04$ м и удерживают его в этом положении. Определите скорость, с которой груз проходит положение равновесия, и амплитуду колбаный груза.

9. Точечный источник света расторожен на расстоянии $d = F$ справа от рассеивающей линии на ее главной оптической оси ($F$ – фокусное расстояние линии). Слева от линии на расстоянии $l = 2F$ находится плоское зеркою, перпендикулярное главной оптической оси линии. Сколько избраний источника формирует данная оптическая система? Являются ли эти избранения действие-