Rung động hài hòa. Bổ sung rung động

21

sự tương ứng và dẫn đến sự chuyển đổi một chất từ ​​trạng thái này sang trạng thái khác.

Trạng thái rắn là trạng thái trong đó thế năng $W_p$ của sự tương tác giữa các phân tử lớn hơn so với động năng $W_k$:

$$W_p \gg W_k.$$

Làm thế nào có thể thay đổi tình trạng này? Ví dụ, làm nóng một chất rắn. Rõ ràng là khi được làm nóng, động năng của một bộ phận cơ thể tăng lên, nhưng thế năng của chúng thực tế không thay đổi. Bằng cách này, có thể đảm bảo rằng động năng trở nên xấp xỉ bằng thế năng. Sau đó, quá trình chuyển đổi từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng sẽ xảy ra, được đặc trưng bởi sự bằng nhau gần đúng của $W_p$ và $W_k$:

$$W_p \approx W_k.$$

Ở trạng thái này, thế năng vẫn đủ cao để các phân tử không thể bay xa nhau và động năng đã đạt đủ cao để các phân tử có được khả năng di chuyển nhất định, tức là khả năng chuyển động trong thể tích. Chất lỏng vẫn giữ nguyên thể tích nhưng trở nên chảy và do đó không giữ được hình dạng.

Chúng tôi sẽ tiếp tục cung cấp năng lượng, làm nóng chất lỏng ngay bây giờ. Động năng của các phân tử sẽ tăng lên và đến một lúc nào đó sẽ vượt quá thế năng tương tác hiện tại của chúng, do đó nó (thế năng) có thể bị vượt quá:

$$W_p \ll W_k.$$

Sáu sẽ chuyển sang trạng thái tương ứng với khí lý tưởng (“Vật lý 9”, § 6).

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tiếp tục sưởi ấm bằng gas? Liệu việc tăng thêm động năng của các phân tử có dẫn đến một quá trình chuyển đổi tổng hợp khác không? Hóa ra là có. Nhưng chỉ vì phân tử (nguyên tử) không chỉ là những quả bóng rất nhỏ. Chúng là những hệ thống phức tạp gồm các bộ phận tích điện, thậm chí còn nhỏ hơn nguyên tử. Khi khí đạt đến nhiệt độ cao, sự va chạm của các bộ phận của nó dẫn đến việc các phân tử phân hủy thành nguyên tử và nguyên tử phân hủy thành các hạt tích điện cấu thành của chúng.

Kết quả là tạo ra một loại chất đặc biệt, bao gồm số lượng hạt tích điện dương và hạt bằng nhau (nói chung là trung hòa điện tử). Đây là trạng thái thứ tư của vật chất - plasma.

Không giống như các trạng thái kết tụ khác, plasma bao gồm các tương tác điện tử giữa hai phần. Đây là lý do tại sao tính chất của plasma khác biệt đáng kể so với tính chất của vật chất ở các trạng thái khác.

Violon hòa âm.

Chuyển động dao động là một chuyển động tuần hoàn, nghĩa là chuyển động trong đó tọa độ của vật lặp lại trong những khoảng thời gian nhất định (khoảng thời gian tối thiểu được gọi là chu kỳ dao động). Một ví dụ điển hình về dao động là chuyển động của một vật gắn với một vòng tròn (“Vật lý 10”, §§ 2 và 4). Chuyển động này của lớp này là do độ đàn hồi $F_x = -kx$, thay đổi từ điểm này sang điểm khác nên gia tốc của vật cũng thay đổi. Khi chuyển động, một vật dao động cũng đi qua vị trí mà lực tác dụng lên nó bằng không. Đây là vị trí cân bằng; nó đóng vai trò là tâm dao động. Độ lệch tối đa của vật so với vị trí cân bằng được gọi là biên độ dao động.

Vì lực đàn hồi là lực thay đổi nên giải phương trình định luật II Newton

$$-kx = ma_x$$

và không thể tìm ra tọa độ $x$ thay đổi như thế nào theo thời gian bằng đại số tổng quát. Do đó, chúng ta sẽ tạm thời thay thế vật lý bằng hình học và xem xét một chuyển động hoàn toàn khác, nhưng “giống như hai hạt đậu trong một cái vỏ”, nó tương tự như chuyển động của một vật thể được giữ với nhau bằng một sợi dây.

Để một vật thể nào đó (điểm vật chất) chuyển động với vận tốc góc không đổi $\omega$ dọc theo một đường tròn có bán kính $A$ (Hình 1). Chuyển động tròn cũng là chuyển động tuần hoàn, vì tại những khoảng thời gian nhất định $T = 2\pi/\omega$ (chu kỳ quay) vật sẽ ở cùng một vị trí trên đường tròn. Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét chuyển động không phải của bản thân điểm mà của chuyển động của nó.

22

hình chiếu lên đường kính XX của đường tròn. Rõ ràng ngay rằng khi một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn, hình chiếu của nó di chuyển dọc theo đường kính XX và chuyển động này là vị trí thực tế của chuyển động của vật gắn với lò xo. Di chuyển dọc theo đường kính, hình chiếu di chuyển ra xa tâm đường tròn đến một khoảng không lớn hơn bán kính A. Do đó, ta có thể nói rằng hình chiếu dao động với biên độ A. Tâm của đường tròn O ở đây đóng vai trò giống như vị trí cân bằng trong thí nghiệm với một lò xo. Chu kỳ quay của một điểm dọc theo một đường tròn đồng thời là chu kỳ dao động của hình chiếu của nó. Nhưng nếu đối với một điểm chuyển động tròn, $\omega$ là vận tốc góc, thì đối với hình chiếu $\omega$ thì đó là cái gọi là tần số tuần hoàn, tức là số dao động trong 2π giây:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi v.$$

Ở đây $v$ là tần số dao động, tức là số lần dao động trong một giây.

Giả sử rằng tại một thời điểm nào đó, chúng ta lấy thời điểm ban đầu ($t=0$), một điểm di chuyển dọc theo một vòng tròn ở vị trí $M_0$ (Hình 2). Chúng ta hãy vẽ vectơ $\overrightarrow{OM_0}$ từ tâm đường tròn cũng như từ gốc tọa độ. Nó được gọi là vectơ bán kính (mô đun của vectơ này là A). Vectơ bán kính xác định vị trí của một điểm trên đường tròn và hình chiếu của đầu của nó lên đường kính XX xác định vị trí hình chiếu $M'_0$ của điểm, tức là tọa độ $x_0$ của hình chiếu này, trừ đi tâm của đường tròn O. Chuyển động của một điểm dọc theo đường tròn đồng thời có nghĩa là sự quay của vectơ bán kính quanh tâm O với cùng vận tốc góc $\omega$. Từ Hình 2 có thể thấy tọa độ ban đầu $x_0$ của hình chiếu bằng A cos $\varphi_0$, trong đó $\varphi_0$ là góc được đo từ trục X ngược chiều kim đồng hồ với vectơ $\overrightarrow{OM_0}$.

Giả sử sau một khoảng thời gian $t$ một điểm di chuyển dọc theo đường tròn có kết thúc bằng M và hình chiếu của nó kết thúc bằng $M'$. Góc quay của vectơ bán kính tăng $\Delta\varphi=\omega t$ và trở thành bằng $\Delta\varphi+\varphi_0$. Tọa độ $x$ của hình chiếu của điểm bây giờ bằng

$$x=A \cos(\Delta\varphi+\varphi_0)=A \cos(\omega t+\varphi_0).$$

Công thức

$$x=A \cos(\omega t+\varphi_0)$$

và cho thấy tọa độ $x$ của hình chiếu di chuyển dọc theo đường tròn của một điểm, tức là tọa độ của điểm dao động, phụ thuộc vào thời gian. Những dao động trong đó tọa độ của vật dao động (điểm) phụ thuộc vào thời gian theo định luật (*) gọi là dao động điều hòa. Giá trị $\varphi=\omega t+\varphi_0$ được gọi là pha dao động và $\varphi_0$ là pha ban đầu.

Như chúng ta đã nói, chuyển động của hình chiếu của phần cuối của vectơ bán kính lên đường kính của hình tròn trong toàn bộ vị trí dựa trên chuyển động của vật gắn với lò xo. Điều ngược lại cũng đúng: chuyển động của một vật gắn với một lò xo giống như chuyển động của hình chiếu của một điểm chuyển động dọc theo đường tròn lên đường kính của đường tròn này. Do đó, mỗi vật dao động có thể được liên kết với một vectơ bán kính quay, hình chiếu của phần cuối của nó là vật dao động (điểm). Điều này được thể hiện trên Hình 3 đối với trường hợp một vật được gắn vào một lò xo nằm ngang.

Thông báo vừa được thể hiện cho phép chúng tôi giải quyết một vấn đề quan trọng bài toán về việc cộng các dao động xảy ra dọc theo một đường thẳng và có cùng tần số. Ví dụ, khi vị trí cân bằng xung quanh vật thể là hoàn hảo

23

dao động thì bản thân nó dao động cùng tần số và cùng một đường thẳng. Hãy nói theo cách này: một vật thể được kết nối với một lò xo dao động trên một bệ, bản thân lò xo này cũng dao động tương ứng với một hệ thống báo cáo cố định.

Giả sử chúng ta cần cộng hai dao động này:

$$x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_0),$$
$$x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Như có thể thấy từ các công thức đã viết, dao động có thể khác nhau về biên độ ($A_1$ và $A_2$) và các pha ban đầu ($\varphi_01$ và $\varphi_02$). Để tìm hiểu điều gì xảy ra do phép cộng, chúng ta hãy mô tả các vectơ bán kính $\vec{A}_1$ và $\vec{A}_2$ tương ứng với các dao động được thêm vào của công cụ quay như thể chúng đi vào thời điểm ban đầu và hiển thị các vòng tròn mà các đầu của chúng di chuyển dọc theo (Hình 4; để đơn giản, hình này hiển thị các vòng tròn không hoàn chỉnh). Rõ ràng, dao động ngắt kết quả sẽ xảy ra với cùng tần số $\omega$, nhưng với biên độ khác và pha ban đầu khác:

$$x = A \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Chúng ta nhận được các giá trị $A$ và $\varphi_0$ nếu chúng ta thêm các vectơ $\vec{A}_1$ và $\vec{A}_2$ theo quy tắc hình bình hành. Đường chéo của hình bình hành $A = |\vec{A}|$ là biên độ của dao động toàn phần và góc $\varphi_0$ mà vectơ $\vec{A}$ tạo với trục $X$, là pha ban đầu của dao động này.

Theo định lý cosine nổi tiếng, chúng ta có thể viết

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos OA_1A,$$

ở đâu $OA_1A = 180^\circ - A_2OA_1 = 180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)$. Vì $\cos(180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)) = -\cos(\varphi_02 - \varphi_01)$ thì

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_02 - \varphi_01).$$

Do đó, kết quả của việc cộng hai dao động phụ thuộc vào độ lệch pha của các thành phần dao động. Vì các dao động xảy ra với cùng tần số nên độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1$ của các dao động tại bất kỳ thời điểm nào cũng bằng độ lệch pha $\varphi_02 - \varphi_01$ của các pha ban đầu.

Hai trường hợp cực đoan được đặc biệt quan tâm:

1. Độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ (hoặc $2\pi$, $4\pi$, v.v.). Những dao động có cùng pha tại mọi thời điểm được gọi là cùng pha. Trong trường hợp này, $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0$ và $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2$ hoặc $A = A_1 + A_2$ - biên độ của dao động thu được bằng tổng biên độ của các dao động cộng thêm. Nói cách khác, dao động là kết quả của phép cộng.

2. Độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1 = \pi$ (hoặc $3\pi$, $5\pi$, v.v.). Những dao động như vậy được cho là có pha ngược nhau (dao động ngược pha). Trong trường hợp này, $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1$ và $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2$ hoặc $A = A_1 - A_2$ - dao động thu được bị suy yếu: biên độ bằng chênh lệch biên độ của các dao động thành phần. Nếu $A_1 = A_2$, thì biên độ của dao động thu được bằng 0, tức là không có dao động nào cả: một dao động “dập tắt” một dao động khác.

Ở trạng thái này, một trong những đặc tính quan trọng nhất của rung động là khi thêm vào, chúng có thể bị nén lại hoặc yếu đi. Tính chất này đóng vai trò quan trọng trong các quá trình sóng (“Vật lý 10”, § 36).

Từ Hình 4, có thể dễ dàng thu được giá trị pha ban đầu $\varphi_0$ của dao động thu được:

$$tg \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_01 + A_2 \sin \varphi_02}{A_1 \cos \varphi_01 + A_2 \cos \varphi_02}.$$