Bài toán M881—M885; F893—F897

34

Nhiệm vụ

M881—M885; F893—F897

M881. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý trong mặt phẳng đến ba đỉnh của một hình thang đều lớn hơn khoảng cách từ điểm này đến đỉnh thứ tư của nó.

S. E. Rukshin

M882. Tổng của ba số nguyên a, b và c bằng 0. Chứng minh rằng số $2a^4+2b^4+2c^4$ là bình phương của một số nguyên.

L. D. Kurlyandchik, A. S. Merkurov, S. V. Fomin

M883. Số màu nhỏ nhất phải dùng để tô các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn là bao nhiêu để a) hai ô bất kỳ cách nhau 6 ô được phủ hai màu khác nhau? (Khoảng cách giữa các ô là số lượng đường lưới nhỏ nhất, theo chiều ngang và chiều dọc, mà một quân xe phải vượt qua trên đường đi từ ô này sang ô khác.)

6. bốn ô bất kỳ tạo thành hình chữ Γ (Hình 1) được bao phủ bởi bốn màu khác nhau?

A. G. Pechkovsky, I. V. Itenberg

M884. Hàm f liên tục và đơn điệu được xác định trên khoảng [0; 1] và cũng nhận các giá trị trên khoảng [0; 1]. Chứng minh rằng đồ thị của nó có thể được bao phủ bởi n hình chữ nhật có diện tích $1/n^2$ mỗi hình (cạnh của hình chữ nhật song song với trục tọa độ).

A. V. Anzhans

M885*. Với mỗi số tự nhiên n, chúng ta biểu thị bằng p(n) số phân hoạch của n thành tổng các số hạng tự nhiên (các phân vùng chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng được coi là giống hệt nhau; Hình 2). Số lượng các số khác nhau trong một phân vùng nhất định được gọi là độ trải của nó.

a) Chứng minh rằng tổng q(n) của các phân số của tất cả các phân số của số n bằng $1+p(1)+p(2)+...+p(n-1)$.

6. Chứng minh rằng tổng này không lớn hơn $\sqrt{2n}p(n)$.

A. V. Zelevinsky

F893. Để đo sự phân bố tốc độ gió theo độ cao, người ta sử dụng bóng bay có tốc độ tăng theo phương thẳng đứng không đổi. Khi phóng một quả bóng như vậy, người ta thu được sự phụ thuộc của góc α của độ cao của quả bóng so với đường chân trời vào thời gian t (Hình 3). Giả sử tốc độ gió trên bề mặt

35

Trái đất bằng 0 và khoảng cách từ nơi phóng quả bóng đến người quan sát bằng $L=1$ km (Hình 4), xác định độ cao bay lên của quả bóng 7 phút sau khi phóng và tốc độ gió ở độ cao này.

V. V. Mozhaev

F894. Trong một trong các dự án, người ta đã lên kế hoạch sử dụng cánh buồm mặt trời có diện tích $S=1$ km$^2$ cho các chuyến bay của tàu vũ trụ trong Hệ Mặt trời. Cánh buồm mở ra khi phương tiện di chuyển quanh Mặt trời theo quỹ đạo Trái đất, bán kính của nó là $R_3=1,5\cdot 10^8$ km. Với chuyển động xa hơn, cánh buồm liên tục được định hướng vuông góc với tia nắng mặt trời, áp suất của nó trong quỹ đạo trái đất là $p=10^{-5}$ Pa.

1. Nó có thể bay khỏi Hệ Mặt trời với khối lượng bao nhiêu?
2. Với khối lượng tối đa bao nhiêu thì phương tiện có thể đi tới quỹ đạo của Sao Hỏa có bán kính là $R_M=2,3\cdot 10^8$ km?

Ảnh hưởng hấp dẫn của Trái đất và các hành tinh khác không được tính đến. Tích của khối lượng mặt trời và hằng số hấp dẫn là $M_CG=1,3\cdot 10^{11}$ km$^3/c^2$.

V. A. Danilin

F895. Một trong những giả thuyết về nguồn gốc của các nhà thiên văn học bắt nguồn từ truyền thuyết Hy Lạp cổ đại về con trai của boron của mặt trời Helus - Phaethon, bị Zeus (Jupiter) tấn công. Theo giả thuyết này, các khối đá mà hành tinh Phaethon được cho là hình thành đã đến quá gần Sao Mộc. Dưới tác động của trường hấp dẫn của Jupter, bầy đàn chia thành các khối riêng biệt - các thiên văn. Bán kính bầy đàn được ước tính là khoảng $10^4$ km; khối lượng của bầy đàn (tổng khối lượng của các thiên văn) nhỏ hơn $10^6$ lần so với khối lượng của Sao Mộc.

Bầy đàn sẽ phải di chuyển cách trung tâm Jupter bao xa trước khi bắt đầu tan rã?

V. E. Belonukkin

F896. Trong nước sốt kín có hơi nước ở nhiệt độ $100^\circ\text{C}$ và nước còn lại. Khối lượng của hơi nước là $M=100$ g, khối lượng của nước là $m=1$ g. Bình được làm nóng cho đến khi toàn bộ nước bay hơi. Nên đun nóng bình đến nhiệt độ bao nhiêu? Điều này sẽ cần bao nhiêu nhiệt? Áp suất của hơi nước bão hòa tăng 3,7 kPa khi nhiệt độ tăng $1^\circ\text{C}$. Nhiệt dung riêng của hơi nước là $r=2,25\cdot 10^6$ J/kg, nhiệt dung riêng của hơi nước là $c_V=1,38\cdot 10^3$ J/(kg K).

A. I. Buzdin

F897. Phần tích điện nằm ở vô cực trong trạng thái đứng yên, được gắn vào nửa vòng nước AB tích điện đều (Hình 5). Tỷ số vận tốc của hạt tại các điểm B và A là $v_A/v_B=n$. Tìm tỉ số gia tốc của hạt tại những điểm này.

V. T. Karpetyan

38

(Khoảng cách được đo bằng đường thẳng giữa tâm của đường thẳng và các ô mới; cạnh của ô là 1.)
Giải quyết tương tự bài toán
b) đối với hình vuông 21×21;
c) đối với ô m×n tuyến tính.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Sống đáp số. Nhưng chi tiết chứng minh được rút ra từ tính chẵn lẻ của các số m và n.

Chúng ta sẽ xem xét ba trường hợp: hình chữ nhật 2k×2l, có bốn ô trung tâm (Hình 1), (2k+1)×2l với hai ô trung tâm (Hình 2) và (2k+1)×(2l+1) với một ô trung tâm duy nhất (Hình 3). Hãy chứng minh rằng trong cả ba trường hợp, khoảng cách d cần tìm đều bằng $\sqrt{k^2+l^2}$. (Sử dụng dấu [x] cho phần nguyên của số x đáp số trong tổng bài toán) có thể viết như sau:

$$d = \sqrt{\left[\frac{m}{2}\right]^2 + \left[\frac{n}{2}\right]^2}.$$

Do đó, đáp số trong các bài toán tổng quát a) và b):

$$d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.$$

Để chứng minh đáp số, trước tiên, chúng ta phải chứng minh rằng đối với bất kỳ hoán vị nào cũng có một người lính bị trộn bởi một khoảng cách không quá d, và thứ hai, đưa ra một ví dụ về hoán vị trong đó bất kỳ người lính nào được trộn bởi khoảng cách này (hoặc lớn hơn).

Phần đầu tiên gần như có thể ước tính được: đối với bất kỳ hoán vị nào, lính trung tâm sẽ được trộn dọc theo cạnh huyền của một tam giác vuông, có các cuộn (các cạnh song song của hình chữ nhật) không vượt quá k và l, tức là ở khoảng cách không lớn hơn d=$\sqrt{k^2+l^2}$.

Phần thứ hai - một ví dụ về hoán vị - được hiển thị trong Hình 1-3. Trong trường hợp đơn giản nhất, một hình chữ nhật 2k×2l được cắt thành bốn hình chữ nhật k×l và các cặp hình chữ nhật nằm theo đường chéo (chính xác hơn là những người lính đứng trong đó) được sắp xếp lại với nhau bằng cách sử dụng các bản dịch song song. Tương tự, hình chữ nhật (2k+1)×l được cắt thành các cặp hình chữ nhật hoán vị (k+1)×l và k×l. Đối với hình chữ nhật (2k+1)×(2l+1), lính từ ô trung tâm 1 được đưa đến góc 2, lính từ ô 2 đến góc đối diện 3, và lính từ ô 3 đến giữa để đặt 1 (Hình 3); phần còn lại - đứng trong hai hình chữ nhật (k+1)×(l+1) với các góc bị loại bỏ và hai hình chữ nhật chéo k×l - được hoán đổi, như trong các tùy chọn trước đó.

Lưu ý rằng nếu “khoảng cách” được đo không trực tiếp mà bằng số lần di chuyển của quân xe (như trong điều kiện bài toán M883 của số này), thì lời giải bài toán sẽ không thay đổi theo bất kỳ cách nào và đáp số sẽ là (theo cùng một ký hiệu) số d=k+l=$\left[\frac{m}{2}\right] + \left[\frac{n}{2}\right]$.

N. B. Vasiliev, S. S. Krotov

M867. Trong một buổi học múa, 17 chàng trai và 17 cô gái xếp thành hai hàng song song tạo thành 17 cặp. Đồng thời, chiều cao của bé trai và bé gái trong mỗi pala chênh lệch không quá 10 cm. Chứng minh rằng nếu trong mỗi tộc nam và nữ có chiều cao phát triển quá mức thì trong mỗi tộc nam và nữ vẫn chênh nhau về chiều cao không quá mười cm.

Hãy để các bé trai và bé gái được xếp thành từng cặp theo thứ tự chiều cao giảm dần. Giả sử ở một trong các cặp, chẳng hạn như thứ k, chiều cao của bé trai chênh lệch với chiều cao của bé gái hơn 10 cm, chẳng hạn, bé trai (gọi là B) cao hơn bé gái (G). Khi đó B, và do đó, tất cả k chàng trai đầu tiên, đều cao hơn những cô gái theo sau G hơn 10 cm. Vì vậy, trong lần thành lập đội hình đầu tiên với k chàng trai này, chỉ những cô gái đứng trước G mới có thể trở thành chàng trai và chỉ có k—1 trong số họ. Sự mâu thuẫn.

Chúng ta hãy nhớ lại bức tượng tuyệt vời bài toán, rất giống về cách diễn đạt và ý tưởng với lời giải. Gọi các số trong bảng hình chữ nhật là m×n

39

dòng theo thứ tự tăng dần; Cần chứng minh rằng nếu ở mỗi cột chúng được sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần thì ở mỗi hàng chúng vẫn xuất hiện theo thứ tự tăng dần.

V. L. Gutenacher, N. B. Vasiliev

M868. Từ các đỉnh, các đáy của tứ diện ở các mặt bên được vẽ cao hơn. Chứng minh rằng ba đường thẳng nối hai đáy của các đường cao ở mỗi mặt đều song song với cùng một mặt phẳng. (Góc phẳng ở một đỉnh không phải là góc vuông.)

Hãy cho ba lời giải bài toán. Hai trong số đó dựa vào thực tế hữu ích sau:

nếu trong tam giác ADB (trong đó ol D không phải là đường thẳng), chúng ta nối hai đáy của các đường cao AK và BL thì tạo thành một tam giác KDL, tương tự như Danin, với DKL=DAB, DLK=DBA (Hình 1).

(Thật vậy, giả sử ADB = φ là nhọn. Khi đó đối với các tam giác đang xét, nó là phổ biến và các cạnh chứa nó tỉ lệ thuận:

$$\frac{|DK|}{|DL|} = \frac{|DA| \cdot \cos \varphi}{|DB| \cdot \cos \varphi} = \frac{|DA|}{|DB|}.$$

Trong trường hợp góc tù ADB, cách lý luận cũng tương tự.)

Đầu tiên là lời giải. Cho tứ diện ABCD và đáy của nó là ABCD. Ta hãy chứng minh rằng ba đường thẳng trong mệnh đề song song với mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu ngoại tiếp của tứ diện tại đỉnh D. Rõ ràng, mỗi mặt bên của tứ diện cắt mặt phẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của mặt này, do đó chỉ cần chứng minh rằng ba đường thẳng này song song với các tiếp tuyến tương ứng là đủ.

Ví dụ, hãy xem xét mặt ABD; gọi AK và BL là chiều cao của mặt này, DE là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của nó (Hình 2). Sau đó

$$\widehat{ABK} = \frac{1}{2} \widehat{AD} = \widehat{ADE}$$

(bình đẳng thứ nhất suy ra từ định lý về số đo góc nội tiếp trong đường tròn, đẳng thức thứ hai - từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Vậy các góc DBA, DLK và ADE có độ lớn bằng nhau nên các đường thẳng KL và DE song song.

Tính song song của chúng cũng tuân theo định lý hữu ích sau: trong bất kỳ tam giác ADB nào, bán kính DO của đường tròn ngoại tiếp và chiều cao DH tạo thành các góc bằng nhau với các cạnh bên: ADO=HDB (Hình 3).

Thứ hai lời giải. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh DA, DB, DC của tứ diện. Trên các tia DA, DB, DC vẽ các đoạn DA1, DB1, DC1 có độ dài lần lượt bằng tích bc, ca, ab.

Chứng minh các đường thẳng mô tả ở điều kiện song song với các đường thẳng A1B1, B1C1 và C1A1 (do đó song song với mặt phẳng A1B1C1).

Chúng ta hãy xem xét, như trước đây, khía cạnh ABD. Tam giác KLD và B1A1D đồng dạng vì theo (*)

$$\frac{|DK|}{|DL|} = \frac{|DA|}{|DB|} = \frac{a}{b} = \frac{ca}{bc} = \frac{|DB_1|}{|DA_1|}.$$

do đó, đường thẳng KL và A1B1 song song.

Tất nhiên, trong lời giải này cùng với bộ ba ab, bc, ca người ta có thể lấy bất kỳ bộ ba số nào tỷ lệ với nó,

40

ví dụ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}$.

lời giải thứ ba là vectơ. Sau đó, hãy để $\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$, như dễ thấy trong Hình 1,

$$\vec{LK} = \vec{BK} - \vec{BL} = b \cos \varphi \cdot \frac{\vec{a}}{a} - a \cos \varphi \cdot \frac{\vec{b}}{b} = \left( \frac{\vec{a}}{a^2} - \frac{\vec{b}}{b^2} \right) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$$

(trong đó $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab$ сos $\varphi$). Công thức tương tự cũng đúng cho hai mặt bên còn lại của tứ diện. Nhưng ba vectơ

$$\frac{\vec{a}}{a^2} - \frac{\vec{b}}{b^2}, \frac{\vec{b}}{b^2} - \frac{\vec{c}}{c^2}, \frac{\vec{c}}{c^2} - \frac{\vec{a}}{a^2}$$

tổng bằng một vectơ rỗng và do đó là đồng phẳng. Do đó, các điều kiện được mô tả là đường thẳng, song song với các vectơ này, song song với cùng một mặt phẳng.

N. V. Vasiliev, V. N. Dubrovsky, V. L. Gutenacher

M869*. Các cặp số tự nhiên liên tiếp (8, 9); (288, 289) có tính chất là mỗi số này chứa bất kỳ thừa số nguyên tố nào ít nhất là lũy thừa bậc hai.

a) Tìm một cặp số liên tiếp tương tự.
b) Chứng minh rằng có vô số cặp như vậy.

◆

Nếu cặp số $m, m+1$ có thuộc tính cần thiết (mỗi số không chứa thừa số nguyên tố lũy thừa bậc nhất), thì cặp số $4m(m+1), 4m(m+1)+1$ cũng có thuộc tính đó: số thứ nhất bằng $2^2m(m+1)$, theo giả định, và số thứ hai bằng $4m^2+4m+1=(2m+1)^2$, vì nó là một hình vuông. Áp dụng thao tác này cho cặp số (8, 9), ta được chính xác cặp $4 \cdot 8 \cdot 9=288; 289=17^2$ được chỉ định trong điều kiện. Từ cặp này, bạn có thể lấy được một cặp khác $4 \cdot 288 \cdot 289=331828; 331829=577^2$. (Tuy nhiên, độc giả chỉ ra đáp số đến bài toán a) và các số nhỏ hơn: $675=3^3 \cdot 5^2, 676=2^2 \cdot 13^2; 12167=23^3, 12168=2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2$, v.v.)

Tiếp tục làm như vậy, sử dụng thao tác

$$(m; m+1) \rightarrow (4m(m+1); 4m(m+1)+1),$$

trong đó cả hai số của cặp, rất/không, đều được trả về, chúng ta có thể xây dựng có bao nhiêu cặp số cần thiết về mặt góc cạnh.

A. V. Anzhans

◆

M870. Dọc theo một bên của hành lang vô tận có vô số phòng, được trang trí theo thứ tự số nguyên và trong mỗi phòng có một cây đàn piano. Một số lượng hữu hạn những người theo chủ nghĩa panist sống trong những căn phòng này. (Một số người panist có thể sống trong một phòng.) Mỗi ​​ngày, một số người panist sống ở các phòng lân cận - $k$th và $(k+1)$th - đi đến kết luận rằng họ đang làm phiền người kia và di chuyển đến số phòng tương ứng - $|m-k|$. Dễ dàng nhận thấy rằng với mỗi giao điểm, giá trị của $s(t)$ lại tăng lên. Thật vậy (xem Hình.), khoảng cách giữa hai giao điểm bất kỳ của những người theo chủ nghĩa panists $A$ và $B$ do giao điểm tăng lên 2 và tổng khoảng cách từ $A$ và $B$ đến bất kỳ giao điểm nào

41

nghệ sĩ piano $C$, người đã sống với một trong số họ và đối với bất kỳ nghệ sĩ piano nào khác $D$ tổng khoảng cách đến $A$ và $B$ không thay đổi. Như vậy,

$$s(t+1) \geq s(t) + 2.$$ (*)

(Thay vì tổng các khoảng cách theo cặp, như “mức độ thưa thớt” của phân bố, bạn cũng có thể lấy tổng bình phương của chúng hoặc tổng bình phương số phòng của tất cả các nghệ sĩ piano.)

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng sự phân bố giữa các phòng không thể trở nên quá “thưa thớt”, tức là có hai số $m$ và $M$, $m < M$ sao cho người chơi piano sẽ luôn ở trong các phòng có số từ $m$ đến $M$.

Để làm điều này, hãy lưu ý rằng nếu một ngày nào đó có ít nhất một nghệ sĩ piano sống trong ba phòng liền kề (với các số $k-1$, $k$ và $k+1$), thì trong tương lai, ít nhất một trong số chúng sẽ luôn có người ở. (Trên thực tế, người ta chỉ có thể rời khỏi những phòng này bằng cách di chuyển từ phòng thứ $(k+1)$ đến phòng thứ $(k+2)$ hoặc từ phòng thứ $(k-1)$ đến phòng thứ $(k-2)$; nhưng cả hai điều này chỉ có thể thực hiện được nếu một nghệ sĩ piano sống trong phòng thứ $k$, lần lượt di chuyển đến phòng thứ $(k-1)$ hoặc $(k+1)$.) nghệ sĩ piano từ phòng $k$ không được vào phòng có số lượng lớn hơn $k+3N$, trong đó $N$ là số lượng nghệ sĩ piano (sau khi di chuyển như vậy, trong mỗi rãnh $N+1$ của các phòng có số $(k, k+1, k+2)$, …, $(k+3N, k+3N+1, k+3N+2)$ phải là nghệ sĩ piano 们); vì lý do tương tự, không thể di chuyển từ phòng thứ $k$ sang phòng thứ $(k-3N)$. Vì vậy, các nghệ sĩ piano sẽ luôn ở trong các phòng được đánh số từ $a-3N$ đến $b+3N$, trong đó $a$ và $b$ ($a \leq b$) là số phòng ngoài cùng mà ban đầu các nghệ sĩ piano ở.

Từ đó, tổng $s(t)$ khoảng cách theo cặp giữa các nghệ sĩ piano không thể tăng vô thời hạn và nhờ vào (*) nên việc di chuyển sẽ dừng sau một số ngày hữu hạn.

V. G. Iltsev

F878. Hai máng xối chính, tạo thành các góc $a$ giống hệt nhau với đường chân trời, nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng (Hình 1). Từ điểm $A$ của một vùng và từ điểm $B$ của vùng khác, trượt đồng thời hai vật vào nhau mà không có vận tốc ban đầu. Thời gian chuyển động đến mặt phẳng nằm ngang của vật thứ nhất (từ điểm $A$) là $t_1$, vật thứ hai là $t_2$. Sau bao lâu kể từ khi vật bắt đầu chuyển động thì khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?

Khi các vật chuyển động, sự chênh lệch độ cao tại cùng một thời điểm sẽ luôn bằng nhau và bằng nhau (xem Hình 1) $\Delta h = h_1 - h_2$. Do đó, khoảng cách giữa các vật thể sẽ nhỏ nhất khi chúng nằm trên cùng một phương thẳng đứng, nghĩa là khoảng cách theo phương ngang giữa các vật thể sẽ bằng không. Vì vận tốc ban đầu của cả hai vật bằng 0 và góc nghiêng của quỹ đạo của chúng so với đường chân trời là như nhau, nên rõ ràng là các vật thể xuất hiện trên cùng một phương thẳng đứng tại thời điểm khi di chuyển cùng một đường, các vật thể dịch chuyển dọc theo mỗi phương thẳng đứng một lượng $\Delta h/2$. Vì vậy, thời gian $t_{\min}$, trong đó khoảng cách giữa các vật sẽ nhỏ nhất, là thời gian mà vật từ điểm ban đầu sẽ dịch chuyển độ cao một khoảng $\Delta h/2$, tức là

$$\frac{g' t_{\min}^2}{2} = \frac{\Delta h}{2} \Rightarrow t_{\min} = \sqrt{\frac{\Delta h}{g'}}$$

trong đó $g'$ là hình chiếu thẳng đứng của gia tốc của các vật, sẽ tìm thấy, sử dụng định luật II Newton: trong các hình chiếu lên trục thẳng đứng (xem Hình 2)

Hình 1.

$$mg' = mg - mg \cos^2 \alpha \Rightarrow g' = g \sin^2 \alpha.$$

42

Hãy tìm $\Delta h$:

$$h_1 = \frac{g' t_1^2}{2}, \quad h_2 = \frac{g' t_2^2}{2}, \quad \Delta h = h_1 - h_2 = \frac{g'}{2} (t_1^2 - t_2^2).$$

Như vậy,

$$t_{\min} = \sqrt{\frac{t_1^2 - t_2^2}{2}}.$$

P. M. Shikhaliev

F879. Một Baeron có khối lượng $M$, được gắn trên các lò xo có độ cứng $k$, lăn dọc theo mặt cắt ngang của đường ray với tốc độ $v_0$. Sau khi đi qua một đoạn đường thẳng nghiêng có chênh lệch độ cao $H$, tạo một góc a với đường chân trời (Hình 1), đầu vào đạt tốc độ $v_x$. Xác định giá trị của $v_x$, bỏ qua ma sát ở các bánh xe. Hãy coi rằng chu kỳ dao động trong lửa của các lò xo nhỏ hơn nhiều so với thời gian để đi qua đoạn đường nghiêng và dài hơn nhiều so với thời gian để vượt qua các vòng xoắn đi kèm với đoạn đường nghiêng và thẳng; các lò xo chỉ “lò xo” theo hướng vuông góc với mặt phẳng của ray.

Khi cỗ xe đi qua vòng tròn, sẽ xảy ra rung động. Trong trường hợp này, một phần động năng của ô tô chuyển thành năng lượng dao động, khi hết dao động sẽ biến thành cơ thể. Như vậy,

$$\frac{M v_x^2}{2} + U = \frac{M v_0^2}{2} + MgH,$$

(*)

trong đó $U$ là năng lượng rung động. Hãy xác định $U$.

Khi vượt qua vòng quay đầu tiên, tải trọng lên các lò xo giảm đi, vì lực ép bình thường trở thành $F_2 = Mg \cos \alpha$ chứ không phải $F_1 = Mg$ như trên đoạn thẳng. Khi vượt qua vòng thứ hai, tải sẽ tăng lên giá trị trước đó. Trong quá trình đi xuống dọc theo phần nghiêng, các dao động làm cho chúng tắt dần, vì vậy cả hai quá trình nên được coi là độc lập.

Chúng ta hãy xem xét một lò xo được lăn bởi một lực $F = F_1$ và gia tốc cân bằng. Chiều dài bên ngoài nhỏ hơn chiều dài của lò xo không tải $x_1 = F_1/k$. Khi tải yếu đi đến giá trị $F_2 < F_1$, dao động xảy ra xung quanh vị trí cân bằng mới tương ứng với việc lò xo lăn đến $x_2 = F_2/k$. Sau khi dao động tắt dần, lò xo được đặt ở vị trí cân bằng này. Tổng công của các lực đàn hồi của lò xo, bằng độ chênh lệch năng lượng đàn hồi ở vị trí thứ nhất và thứ hai, là

$$A_{\text{упр}} = \frac{1}{2} (F_1 x_1 - F_2 x_2) = \frac{k}{2} (x_1^2 - x_2^2) = \frac{1}{2k} (F_1^2 - F_2^2)$$

(trong Hình 2 của tác phẩm này, nó tương ứng với một bệ hình thang được bảo vệ bởi một bệ thẳng đứng). Nếu tải yếu đi trong thời gian ngắn hơn chu kỳ dao động thì ta có thể giả sử rằng trong quá trình thay đổi tọa độ lực ép pháp tuyến luôn bằng xấp xỉ $F_2$ nên công tác dụng lên các lực tải bằng

$$A_{\text{нарр}} = F_2 (x_1 - x_2)$$

(trong Hình 2 giá trị này tương ứng với diện tích của hình chữ nhật được bảo vệ theo chiều ngang). Sự khác biệt giữa hai công tính toán của năng lượng dao động được truyền đến cơ thể trong quá trình giảm dần dao động, đó là

$$U_1 = \frac{(F_1 + F_2) (F_1 - F_2)}{2k} - \frac{F_2 (F_1 - F_2)}{k} = \frac{(F_1 - F_2)^2}{2k}$$

43

(trong Hình 2 năng lượng này tương ứng với diện tích của hình tam giác được tô bóng dọc).

Khi tải trọng tăng nhanh từ $F_2$ lên $F_1$, công của các lực đàn hồi trong thời gian lớn hơn thời gian giảm chấn của bánh xe bằng diện tích hình thang được tô đậm theo phương thẳng đứng trên Hình 3. Lực tải lúc này có thể coi bằng xấp xỉ $F_1$; công thực hiện đối với các lực tải là $F_1(x_1-x_2)$ (diện tích của hình chữ nhật được tô bóng ngang trong Hình 3). Năng lượng tương đương với sự chênh lệch của những công việc này truyền vào cơ thể, tức là

$$U_2 = \frac{1}{2} (F_1 - F_2) (x_1 - x_2) = \frac{(F_1 - F_2)^2}{2k}$$

(diện tích tam giác tô đậm ngang ở hình 3).

Do đó, là kết quả của quá trình giảm tải từ $F_1$ xuống $F_2$ rồi tăng lên giá trị trước đó $F_1$, năng lượng sẽ truyền vào cơ thể

$$U = U_1 + U_2 = \frac{(F_1 - F_2)^2}{k} = \frac{(Mg(1-\cos \alpha))^2}{k}.$$

Thay giá trị này $U$ vào phương trình (*), ta tìm được $v_x$:

$$v_x = \sqrt{v_0^2 + gH - 2Mg^2(1-\cos \alpha)^2}/k.$$

Công thức này có thể áp dụng được miễn là $k$ đủ lớn để đảm bảo rằng chu kì và thời gian phân rã nhỏ so với thời gian đi xuống.

I. P. Krylov

F880. Kìm bao gồm hai phần giống hệt nhau, được nối với nhau bằng một trục tại điểm O (xem hình). Lực tác dụng lên trục là bao nhiêu nếu các đầu tự do của móng tác dụng một lực $F$? Không có tàu trong trục.

◆ Hãy xác định lực tác dụng lên trục từ một nửa chiếc kìm.

Hình vẽ thể hiện các lực tác dụng lên nửa màu đỏ (hướng của lực $F_3$ tác dụng từ trục lên nửa này được xác định duy nhất bởi hướng của lực $F_1=F$ và lực $F_2$ tác dụng lên nửa đỏ từ nửa xanh). Chúng ta sẽ tìm giá trị của lực $F_3$ bằng quy tắc mô men. Hãy viết phương trình mômen đối với điểm $A$ (xem hình):

$$2rF_3 = (l+R+2r)F_1 \Rightarrow F_3 = F_1 \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right) = F \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right).$$

Theo định luật III Newton, lực $\vec{F}'_3 = -\vec{F}_3$ tác dụng lên trục từ phía của nửa đỏ, tức là

$$F'_3 = F \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right)$$

($F'_3$ là giá trị tuyệt đối của lực $\vec{F}'_3$). Rõ ràng là từ phía của nửa màu xanh, trục cũng bị ảnh hưởng bởi lông mao, về mặt giá trị tuyệt đối. Vì thế

44

lực, mạch sai trục, bằng nhau

$$F_{cж} = F \left( 1 + \frac{I + R}{2r} \right).$$

L. G. Markovich

F881. Hai quá trình nhiệt được thực hiện trên chất khí, làm nóng chất khí từ trạng thái đồng nhất đến cùng nhiệt độ cuối cùng. Trên sơ đồ p-V, các quá trình được mô tả bằng các đường thẳng (xem hình). Trong quá trình nào khí truyền nhiều nhiệt hơn?

Theo định luật nhiệt động thứ nhất, khi một chất khí chuyển từ trạng thái $A$ ($p_0, V_0$) sang trạng thái $B$ ($p_1, V_1$)

$$\Delta Q_1 = \Delta U_1 + A_1,$$

Và

$$A_1 = \frac{p_0 + p_1}{2} \left( V_1 - V_0 \right).$$

Khi một chất khí chuyển từ trạng thái $A$ sang trạng thái $C$ ($p_2, V_2$)

$$\Delta Q_2 = \Delta U_2 + A_2, \quad A_2 = \frac{p_0 + p_2}{2} \left( V_2 - V_0 \right).$$

Vì nhiệt độ cuối cùng của khí ở trạng thái $B$ và ở trạng thái $C$ là như nhau nên $\Delta U_1 = \Delta U_2$. Để tìm ra quá trình nào lượng nhiệt truyền vào khí lớn hơn, cần so sánh các giá trị của $A_1$ và $A_2$. Hãy theo dõi điều này:

$$A_1 - A_2 = \frac{1}{2} \left( \left( p_0 V_1 - p_0 V_2 \right) + \left( p_2 V_0 - p_1 V_0 \right) \right) < 0,$$

kể từ $p_0 V_1 < p_0 V_2$, $p_2 V_0 < p_1 V_0$. Do đó, $A_2 > A_1$ và $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$, tức là trong quá trình $A \rightarrow C$ một lượng nhiệt lớn hơn được truyền vào khí.

A. I. Buzdin, S. S. Krotov

F882. Trong sơ đồ hiển thị trong hình, $R_1 = R_2 = R_3 = R$, $C_1 = C_2 = C$. Xác định cường độ dòng điện qua nguồn bằng EMF $\varepsilon$: a) tại thời điểm đầu tiên sau khi đóng công tắc $K$; b) sau một khoảng thời gian dài hơn.

Tại thời điểm đầu tiên sau khi bật chìa khóa $K$, khi tất cả các tụ điện chưa được tích điện và điện áp trên chúng bằng 0, dòng điện chạy qua điện trở $R_1$ bắt đầu tích điện vào tụ $C_1$; dòng điện sẽ không chạy qua điện trở $R_2$, cũng như không qua điện trở $R_3$ và điện áp rơi trên chúng sẽ bằng không. Vì vậy, ở thời điểm đầu tiên

$$I_1 = \frac{\varepsilon}{R_1} = \frac{\varepsilon}{R}$$

(chúng tôi coi nguồn là lý tưởng).

Sau một thời gian dài hơn, tất cả các tụ điện đều được tích điện và dòng điện ổn định sẽ chỉ chạy qua điện trở $R_1$ và $R_3$. Đó là lý do tại sao

$$I_{уст} = \frac{\varepsilon}{R_1 + R_3} = \frac{\varepsilon}{2R}.$$

S. K. Strokov