Задачи М881—М885; Ф893—Ф897

34

Задчи

М881—М885; Ф893—Ф897

М881. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равноведенной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой ее вершины.

С. Е. Рукшин

М882. Сумма трех целых чисел a, b и c равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.

Л. Д. Курляндчик, А. С. Меркуров, С. В. Фомин

М883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасть клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы a) любые две клетки на расстоянии 6 были покрыты в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линей сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должны пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)

6. любые четыре клетки, образующие фигуру в форме буквы Γ (рис. 1), были покрыты в четыре разных цвета?

А. Г. Печковский, И. В. Итенберг

М884. Неперрывная и монотонная функция f определяла на отрезке [0; 1] и принимает значения также на отрезке [0; 1]. Докажите, что ее график можно прикрыть n прямогольниками площади $1/n^2$ каждый (стороны прямогольников параллельны осем координат).

А. В. Анджанс

М885*. Для каждой натурального числа n обозначаем через p(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающее лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; рис. 2). Количество различных чисел в данном разбиении называем его разбросом.

a) Докажите, что сумма q(n) разбросов всех разбиений числа n равна $1+p(1)+p(2)+...+p(n-1)$.

6. Докажите, что эта сумма не больше $\sqrt{2n}p(n)$.

А. В. Зелевинский

Ф893. Для измерения распределения скорости ветра по высоте используется шара-зонды, которые имеют постоянную вертикальную скорость подьема. При запуске такого шара была получена зависимость угла α возвывания шара над горизонтом от времени t (рис. 3). Полагая скорость ветра у поверхности

35

Земли равной нулю, а расстояние от места запуска шара до наблюдаателя равным $L=1$ км (рис. 4), определять высоту подьема шара через 7 минут после запуска и скорость ветра на этой высоте.

В. В. Можаев

Ф894. В одном из проектов для перелетов космических аппаратов в Солнечной системе предполагалось использовать солнечный парус площадью $S=1$ км$^2$. Парус раскрывается, когда аппарат движется вокруг Солнца по земной орбите, радиус которого равен $R_3=1,5\cdot 10^8$ km. При дальнейшем движении парус постояно ориентирован перпендикулярным солнечным лучам, давление которых на земной орбите составляет $p=10^{-5}$ Pa.

1. При какой массе космического аппарата он может улететь из Солнечной системы?
2. При какой максимальной массе аппарат может достичь орбиты Марса, радиус которого равен $R_M=2,3\cdot 10^8$ km?

Гравитационное влияние Земли и других планет не учитывать. Произведение массы Солнца на gravитационную постоянную — $M_CG=1,3\cdot 10^{11}$ km$^3/c^2$.

В. А. Данилин

Ф895. Одна из гипотез о проискждении посяа астрономов восходит к древнегреческой легенде о сыне бора солнца Гелюса — Фаэтоне, пораженном Зевсом (Юпитером). Согласно этой гипотезерой каменных глыб, из которого должны была сформироваться планета Фаэтон, слишком близко подошел к Юпитеру. Под влиянием gravитационного поля Юптера рой распался на отдельные глыбы — астронды. Радиус роя по оценкам составлял примерно $10^4$ км; масса роя (суммарная масса астрондов) в $10^6$ раз меньше массы Юптера.

На каком расстоянии от центра Юптера должен был пройти рой, чтобы он начал разваливаться?

В. Е. Белонуккин

Ф896. В замкнутом соусе нахождения водыной пар при температуре $100^\circ\text{C}$ и остатки воды. Масса пара $M=100$ г, масса воды $m=1$ г. Сосуд нагревают, пока все вода не испарится. До какой температуры надо нагреть соуд? Какое количество теплла для этого потребуется? Давление насыщенного водыного пара возрастает на 3,7 кПа при повышении температуры на $1^\circ\text{C}$. Удельная теплота испарения воды $r=2,25\cdot 10^6$ Дж/кг, удельная теплоемкость водыного пара $c_V=1,38\cdot 10^3$ Дж/(кг·К).

А. И. Буздин

Ф897. Находящаяся на бесконечности в состоянии покоя заряженная часть пригивается однородно заряженным полукольным водьем AB (рис. 5). Отношение скоростей частицы в точках B и A равно $v_A/v_B=n$. Найти относение ускорений частицы в этих точках.

В. Т. Карпетян

38

(Расстояние измеряется по прямой между центрами строки и новой клеток; сторона клетки равна 1.)
Решите эту же задачу
б) для квадрата 21×21;
в) для прямолинника m×n клеток.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Жит ответом. Но детали доказательства следует от четности чисел m и n.

Мы будем рассматривать три случая: прямогольники 2k×2l, у которых имеются четыре центральные клетки (рис. 1), (2k+1)×2l с двумя центральными клетками (рис. 2) и (2k+1)×(2l+1) с единственной центральной клеткой (рис. 3). Доказем, что во всех трех случаях искомое расстояние d равно $\sqrt{k^2+l^2}$. (С использованием знака [x] для целой части числа x ответ в общей задаче в) можно записать так:

$$d = \sqrt{\left[\frac{m}{2}\right]^2 + \left[\frac{n}{2}\right]^2}.$$

Таким образом, ответ в общей задачах a) и б):

$$d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.$$

Чтобы обосновать ответ, мы должны, во-первых, доказать, что при любой перестановке найдется солдатик, смешащийся на расстояние не более d, и, во-вторых, приведи пример перестановки, при которой любой солдатик смешается на такое (или большее) расстояние.

Первая часть почти оценидна: при любой перестановке центральный солдатик смешается по гипотенузе прямогольного треугольника, у которого катаеты (параллельные стороны прямогольника) не превыходит k и l, то есть на расстояние, не больше d=$\sqrt{k^2+l^2}$.

Вторая часть — пример перестановки — показана на рисунках 1—3. В самом простом случае прямогольник 2k×2l разрезается на четыре прямогольника k×l и расположенные по диагонали пары прямогольников (точнее, стоящие в них солдатики) переставляются друг с другом с помощью параллельных переносов. Аналогично, прямогольник (2k+1)×l разрезается на пары переставляющихся прямогольников (k+1)×l и k×l. Для прямогольников (2k+1)×(2l+1) солдатик из центральной клетки 1 отправляется в угол 2, солдатик из 2 — в противоположный угол 3, a солдатик из 3 — в центр на место 1 (рис. 3); остальные — стоящие в двух прямогольниках (k+1)×(l+1) с удаленными углами и двух диагональных прямогольников k×l, — меняются местами, как и в предыдущих вариантах.

Заметим, что если «расстояние» измерять не напрямик, а по числу ходов ладьи (как в условиях задачи M883 этого номера), то решение задачи никак не изменится, а ответом будет (в тех же обозначениях) число d=k+l=$\left[\frac{m}{2}\right] + \left[\frac{n}{2}\right]$.

Н. Б. Васильев, С. С. Кротов

M867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовались 17 пар. При этом рост мальчика и девочек в каждой пале отличаются не более чем на десять сантиметров. Доказите, что если в каждой роду переростить мальчики и девочек по росту, то по-прежнему в каждой пале мальчик и девочек будут отличаться по росту не более чем на десять сантиметров.

Пусть мальчики и девочки построены в пары в порядке убывания рости. Предположим, что в одной из пар, скажем k-й, рост мальчика отличается от рости девочки больше, чем на 10 см, например, мальчик (обозначим его B) выше девочки (G). Тогда B, а значит и все первыые k мальчиков, выше следующее за G девочек больше чем на 10 см. Таким образом, при первом построении в парах с этим k мальчиками могли стать только предшествующие G девочки, а их всего k—1. Противоречие.

Напомним замечательную статую задачу, очень похожую по формулировке и идее решения. Пусть числа в прямогольной таблице m×n в каждой

39

строке стоит в порядке возрастания; надо доказать, что если в каждом столбце их переставить в порядке возрастания, то по-прежнему в каждой строке они будут стоять в порядке возрастания.

В. Л. Гутенахер, Н. Б. Васильев

M868. Из вершин основания tetraэдра в боковых гранах проведены выше. Доказите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)

Приведем три решения задачи. Два из них опираются на следующий полезный факт:

если в треугольнике ADB (в котором уол D — не прямой) соединить основания высот AK и BL, то образуется треугольник KDL, подобный даниному, причем DKL=DAB, DLK=DBA (рис. 1).

(В самом деле, пусть уол ADB=φ — острый. Тогда для рассматриваемых треугольников он общий, а содержащие его стороны пропорциональны:

$$\frac{|DK|}{|DL|} = \frac{|DA| \cdot \cos \varphi}{|DB| \cdot \cos \varphi} = \frac{|DA|}{|DB|}.$$

В случае тупого угла ADB рассуждание аналогично.)

Первое решение. Пусть ABCD — данный tetraэдр, ABC — его основание. Доказем, что три прямые из условия задания параллельны плоскости, которая касается описанной сферы tetraэдра в вершине D. Очевидно, каждая из боковых граней tetraэдра пересекает эту плоскость по касательной к описанной окружности этой грани, поэтому достаточно доказать, что эти три прямые параллельны соответствующим касательным.

Рассмотрим, например, грань ABD; пусть AK и BL — высоты этой грани, DE — касательная к ее описанной окружности (рис. 2). Тогда

$$\widehat{ABK} = \frac{1}{2} \widehat{AD} = \widehat{ADE}$$

(первое равенство следует из теоремы об измерении угла, вписанного в окружность, второе — из теоремы об угле между касательной и хордой). Итак, углы DBA, DLK и ADE равны по величины, следовательно, прямые KL и DE параллельны.

Их параллельность вытекает также из следующей полезной теоремы: в любом треугольнике ADB радиус DO описанной окружности и высота DH образуют одинаковые углы с боковым сторонами: ADO=HDB (рис. 3).

Второе решение. Пусть a, b, c — длины ребер DA, DB, DC tetraэдра. Отложим на лучах DA, DB, DC отрезки DA1, DB1, DC1, равные по длине произведением bc, ca, ab соответственно.

Доказем, что описанные в условия прямые параллельны прямым A1B1, B1C1 и C1A1 (тем самым, параллельный плоскости A1B1C1).

Рассмотрим, как и предшествует, грань ABD. Треугольники KLD и B1A1D подобны, поскольку согласно (*)

$$\frac{|DK|}{|DL|} = \frac{|DA|}{|DB|} = \frac{a}{b} = \frac{ca}{bc} = \frac{|DB_1|}{|DA_1|}.$$

следовательно, прямые KL и A1B1 параллельны.

Разумеется, в этом решение вместе тройки ab, bc, ca можно было бы взять любую пропорциональную ей тройку чисел,

40

например, $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}$.

Третье решение — векторное. Пусть $\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$, тогда, как легко видеть из рисунка 1,

$$\vec{LK} = \vec{BK} - \vec{BL} = b \cos \varphi \cdot \frac{\vec{a}}{a} - a \cos \varphi \cdot \frac{\vec{b}}{b} = \left( \frac{\vec{a}}{a^2} - \frac{\vec{b}}{b^2} \right) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$$

(где $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab$ сos $\varphi$). Аналогичная формула верна и для двух других боковых граней tetraэдра. Но три вектора

$$\frac{\vec{a}}{a^2} - \frac{\vec{b}}{b^2}, \frac{\vec{b}}{b^2} - \frac{\vec{c}}{c^2}, \frac{\vec{c}}{c^2} - \frac{\vec{a}}{a^2}$$

дают в сумме нуль-вектор и поэтому компланарны. Следовательно, описанные в условия прямы, будучи паралелны этим векторам, паралелны одной плоскости.

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский, В. Л. Гутенахер

M869*. Пары последовательных натуральных чисел (8, 9); (288, 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит любой простой множитель не менее чем во второй степени.

a) Найдите еще одну такую пару последовательных чисел.
b) Докажите, что существует бесконечного много таких пар.

◆

Если пара чисел $m, m+1$ обладает нуждным свойством (каждое из чисел не содержит простых множителей в первой степени), то и пара чисел $4m(m+1), 4m(m+1)+1$ тоже им обладает: первое число, равное $2^2m(m+1)$, по предположению, а второе, — равное $4m^2+4m+1=(2m+1)^2$, — потому, что оно является квадратом. Применяя эту операцию к пара чисел (8, 9), мы получаем как раз пару $4 \cdot 8 \cdot 9=288; 289=17^2$, указанную в условия. Из этой пары, в свою очередь, можно получить еще одну пару $4 \cdot 288 \cdot 289=331828; 331829=577^2$. (Впрочем, читатели указывали в ответе к задаче a) и меньше числа: $675=3^3 \cdot 5^2, 676=2^2 \cdot 13^2; 12167=23^3, 12168=2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2$ и др.)

Продолжая таким же образом, с помощью операции

$$(m; m+1) \rightarrow (4m(m+1); 4m(m+1)+1),$$

при которой оба числа пары, очень/no, возвращают, мы можем построить сколько уголно нужных пар чисел.

А. В. Анджанс

◆

M870. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, заимверованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живет неокоторое конечное число панистов. (В одной комнате может жить и неоколько панистов.) Каждый день какое-то два паниста, живущие в соседних комнатах — $k$-й и $(k+1)$-й, — приходит к выводу, что они мешают другую, и переселяются соответствующим номером комнат — $|m-k|$. Легко видеть, что с каждым пересечением величины $s(t)$ растет. Действительно (см. рис.), расстояние между любыми двумя пересечениями панистами $A$ и $B$ в результате пересечения увеличается на 2, на столбко же увеличается сумма расстояний от $A$ и $B$ до любого

41

пианиста $C$, жившего вместе с одним из них, а для всякого другого пианиста $D$ сумма расстояний до $A$ и $B$ не меняется. Таким образом,

$$s(t+1) \geq s(t) + 2.$$ (*)

(Вместо суммы попарных расстояний, в качестве «степеня разрежности» распределения можно взять также сумму их квадратов, или сумму квадратов номеров комнат всех пианистов.)

Докажем теперь, что распределение по комнатам не может стать слишком «разреженным», то есть существуют такие два номера $m$ и $M$, $m < M$, что пианисты всегда будут оставаться в комнатах с номерами от $m$ до $M$.

Для этого заметим, что если в какой-то день в трех соседних комнатах (с номерами $k-1$, $k$ и $k+1$) живет хотя бы один пианист, то и в дальнейшем хотя бы одна из них всегда будет заселенена. (В самом деле, покинут эти комнаты можно, лишь переселяясь из $(k+1)$-й в $(k+2)$-й или из $(k-1)$-й в $(k-2)$-й; но и то, и другое возможно, только если и в $k$-й комнате жил пианист, переселяющийся соответственно, в $(k-1)$-ю или $(k+1)$-ю комнату.) Следовательно, пианист из $k$-й комнаты не может попасть в комнату с номером, большем $k+3N$, где $N$ — число пианистов (после такого переселения в каждой из $N+1$ треок комнат с номерами $(k, k+1, k+2)$, …, $(k+3N, k+3N+1, k+3N+2)$ должны быть оставаться пианист们); по той же причине невозможно переселять из $k$-й комнаты дальнейшем в $(k-3N)$-ю. Итак, пианисты всегда будут оставаться в комнатах с номерами от $a-3N$ до $b+3N$, где $a$ и $b$ ($a \leq b$) — номера крайних комнат, первоначально занятых пианистами.

Отсюда вытекает, что сумма $s(t)$ попарных расстояний между пианистами не может неограниченно возрастать, а в силу (*) отсюда вытекает, что переселения через конечное число дней прекратятся.

В. Г. Ильцев

Ф878. Два главных желова, образующих с горизонтом одинаковые углы $a$, расположены в одной вертикальной плоскости (рис. 1). Из точки $A$ однозоно желова и из точки $B$ другого желова одновременно без начальных скоростей начальной сосальзывать два тела. Время движения до горизонтальной плоскости первого тела (из точки $A$) — $t_1$, второе — $t_2$. Через какое время после начала движения тела расстояние между ними было наименьшим?

При движении тел разность высот, на которых они будут находиться в один и тот же момент времени, всегда будет одной и той же и равной (см. рис. 1) $\Delta h = h_1 - h_2$. Следовательно, расстояние между телами будет минимальным тогда, когда они будут находиться на одной вертикали, то есть по горизонтали расстояние между телами будет равно нулю. Поскольку начальные скорости обихх тел равны нулю и углы наклона их траекторий к горизонту одинаковы, ясно, что на одной вертикали тела оказывается в тот момент, когда, проядя одинаковые пути, тела сместятся по вертикали каждой на $\Delta h/2$. Так что время $t_{\min}$, через которой расстояние между телами будет минимальным, — это время, за которой тело из начальной точки сместится по высоте на $\Delta h/2$, то есть

$$\frac{g' t_{\min}^2}{2} = \frac{\Delta h}{2} \Rightarrow t_{\min} = \sqrt{\frac{\Delta h}{g'}}$$

где $g'$ — вертикальная проекция ускорения тел, которой найдет, воспользоваться II законом Ньютона: в проекциях на вертикальную ось (см. рис. 2)

Рис. 1.

$$mg' = mg - mg \cos^2 \alpha \Rightarrow g' = g \sin^2 \alpha.$$

42

Найдем $\Delta h$:

$$h_1 = \frac{g' t_1^2}{2}, \quad h_2 = \frac{g' t_2^2}{2}, \quad \Delta h = h_1 - h_2 = \frac{g'}{2} (t_1^2 - t_2^2).$$

Таким образом,

$$t_{\min} = \sqrt{\frac{t_1^2 - t_2^2}{2}}.$$

П. М. Шихалиев

Ф879. Ваeron массы $M$, установленный на рессорах с жесткостью $k$, катися по горизонтальном участку пути со скоростью $v_0$. После прохождения прямолинейного наклонного участка пути с перепадом высот $H$, составляющего угол а с горизонтом (рис. 1), ввод приобретает скорость $v_x$. Определить значение $v_x$, пребрегая тренем в колесах. Считать, что перiod колебаний в загорана на рессорах много меньше времени прохождения наклонного участка пути и много больше времени прохождения скруленей, сопровающих наклонный и прямолинейные участки пути; рессоры «пружинят» только в направлении, перpendикулярном плоскости рельсов.

При прохождения вагоном скругленной возникают колебания. При этом часть кинетической энергии вагона переходит в энергию колебаний, которая затмет, когда колебания затухают, переходит в телло. Таким образом,

$$\frac{M v_x^2}{2} + U = \frac{M v_0^2}{2} + MgH,$$

(*)

где $U$ — энергия колебаний. Определим $U$.

При прохождения первого скругления нагрузка на рессоры уменьшается, так как сила нормального давления становится равной $F_2 = Mg \cos \alpha$, а не $F_1 = Mg$, как было на прямолинейном участке. При прохождения второго скругления нагрузка возрастает до прежней величины. За время спуска по наклонному участку колебания, вызвают затухнуть, так что оба процесса надлежит рассматривать независяство.

Рассмотримружину, скатую силой $F = F_1$ и нахождение ускорения в равновесии. Длинаружины меньше длины неагруженнойружины на $x_1 = F_1/k$. При ослаблении нагрузки до величины $F_2 < F_1$ происходит колебания около нового положения равновесия, соответствующего скатаниюружины на $x_2 = F_2/k$. После затухания колебанийружина устанавливается в этом равновесном положении. Полная работа сил упругостиружины, равная разности упругих энергий в первом и во втором положениях, —

$$A_{\text{упр}} = \frac{1}{2} (F_1 x_1 - F_2 x_2) = \frac{k}{2} (x_1^2 - x_2^2) = \frac{1}{2k} (F_1^2 - F_2^2)$$

(на рисунке 2 этой работе соответствует площадке трапеции, защищованной вертикальной). Если ослабление нагрузки произойдет за время, городашее перiodа колебаний, то можно считать, что во время изменения координаты сила нормального давления все время равна приближению $F_2$, так что работа против сил нагрузки равна

$$A_{\text{нарр}} = F_2 (x_1 - x_2)$$

(на рисунке 2 этой величины соответствует площадке горизонтального защищанного прямогольника). Разность двух вычисленных работы энергии колебаний, перешедшей в телло при затухании колебаний, то есть

$$U_1 = \frac{(F_1 + F_2) (F_1 - F_2)}{2k} - \frac{F_2 (F_1 - F_2)}{k} = \frac{(F_1 - F_2)^2}{2k}$$

43

(на рисунке 2 этой энергии соответствует площадь вертикального затрихованного треугольника).

При быстро возрастании нагрузки от $F_2$ до $F_1$ работа сил упругости за время, большее времени затухания колесный, равна площади трапеции, затрихованной на рисунке 3 вертикально. Силу нагрузки все это время можно считать равной приближению $F_1$; работа, которая совершается против сил нагрузки, — $F_1(x_1-x_2)$ (площадь горизонтального затрихованного прямогольника на рисунке 3). В телло переходит энергия, равная разности этих работ, то есть

$$U_2 = \frac{1}{2} (F_1 - F_2) (x_1 - x_2) = \frac{(F_1 - F_2)^2}{2k}$$

(площадь горизонтального затрихованного треугольника на рисунке 3).

Таким образом, в результате процессов уменьшения нагрузки от $F_1$ до $F_2$ и затем возрастания ее до прежней величины $F_1$ в телло переходит энергия

$$U = U_1 + U_2 = \frac{(F_1 - F_2)^2}{k} = \frac{(Mg(1-\cos \alpha))^2}{k}.$$

Подставив это значение $U$ в уравнение (*), найдем $v_x$:

$$v_x = \sqrt{v_0^2 + gH - 2Mg^2(1-\cos \alpha)^2}/k.$$

Эта формула применима, пока $k$ достаточно велико, чтобы обеспечить малость периода и времени затухания по сравнению со временем спуска.

И. П. Крылов

Ф880. Клещи состоит из двух одинаковых частей, скрепленных осью в точке O (см. рисунок). Какова сила, действующая на ось, если свободные концы клецей скximaют с силой $F$? Трене в оси отсутствует.

◆ Определим силу, действующего на ось со стороны одной из половинок клещей.

На рисунке показаны силы, действующие на красную половинку (направление силы $F_3$, действующей со стороны оси на эту половинку, однозначно определяется направлением силы $F_1=F$ и силы $F_2$, действующей на красную половинку со стороны синей). Значение силы $F_3$ найдем, воспользовшись правилом моментов. Запишем уравнение моментов относительно точки $A$ (см. рисунок):

$$2rF_3 = (l+R+2r)F_1 \Rightarrow F_3 = F_1 \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right) = F \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right).$$

Согласно III закону Ньютона на ось со стороны красной половинки действует сила $\vec{F}'_3 = -\vec{F}_3$, то есть

$$F'_3 = F \left(1 + \frac{l+R}{2r}\right)$$

($F'_3$ — абсолотное значение силы $\vec{F}'_3$). Понятно, что со стороны синей половинки на ось действует также же, по абсолотной величины, сilia. Так что

44

сила, схема ошибая ocь, равна

$$F_{cж} = F \left( 1 + \frac{I + R}{2r} \right).$$

Л. Г. Маркович

Ф881. Над газом совершают два тепловых процесса, нагрева его из однород и то же состояние до одной и той же конечной температуры. На р-V-диаграмме процессы изображаются прямыми линями (см. рисунок). При каком из процессов газу сообщается большее количество теплла?

Согласно первому закону термодинамики при перехождение газа из состояния $A$ ($p_0, V_0$) в состояние $B$ ($p_1, V_1$)

$$\Delta Q_1 = \Delta U_1 + A_1,$$

причем

$$A_1 = \frac{p_0 + p_1}{2} \left( V_1 - V_0 \right).$$

При перехождение газа из состояния $A$ в состояние $C$ ($p_2, V_2$)

$$\Delta Q_2 = \Delta U_2 + A_2, \quad A_2 = \frac{p_0 + p_2}{2} \left( V_2 - V_0 \right).$$

Поскольку конечная температура газа в состоянии $B$ и в состоянии $C$ одна и та же, $\Delta U_1 = \Delta U_2$. Чтобы выяснить, в каком процессе газу сообщается большее количество тепллоты, надо сравнить значения $A_1$ и $A_2$. Следаем это:

$$A_1 - A_2 = \frac{1}{2} \left( \left( p_0 V_1 - p_0 V_2 \right) + \left( p_2 V_0 - p_1 V_0 \right) \right) < 0,$$

так как $p_0 V_1 < p_0 V_2$, $p_2 V_0 < p_1 V_0$. Следовательно, $A_2 > A_1$ и $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$, то есть в процессе $A \rightarrow C$ газу сообщается большее количество тепллоты.

А. И. Буздин, С. С. Кротов

Ф882. В схеме, приведенной на рисунке, $R_1 = R_2 = R_3 = R$, $C_1 = C_2 = C$. Определить величины тока через источник с ЭДС $\varepsilon$: а) в первый момент времени после замыкания ключа $K$; б) спустя большей промежуток времени.

В первый момент времени после включения ключа $K$, когда все конденсаторы еще не заряжены и напряжение на них равно нулю, ток, который потечет через резistor $R_1$, начинает заряжать конденсатор $C_1$; ни через резistor $R_2$, ни через резistor $R_3$ ток не потечет и padения напряжения на них будут равны нулю. Поэтому в первый момент времени

$$I_1 = \frac{\varepsilon}{R_1} = \frac{\varepsilon}{R}$$

(мы считаем источник идеальным).

Спустя большей промежуток времени все конденсаторы заряжаются, и установившийся ток будет только через резistor $R_1$ и $R_3$. Поэтому

$$I_{уст} = \frac{\varepsilon}{R_1 + R_3} = \frac{\varepsilon}{2R}.$$

С. К. Строков