Избранные задачи 50-й ленинградской городской олимпиады по математике

54

Избранные задачи 50-й ленинградской городской олимпiadы

Задание юбилейной ленинградской олимпiadы включаны в «Задачник «Кванта» предыдущого и этого номеров (M876—M882 и M883 6)». Ниже мы публикуем еще несколько интересных задач этой олимпiadы. Указания к решению некоторых из них помещены в конце номера (с. 62). Задание на олимпiadу предложили С. А. Генкин (№№ 2, 13), А. Г. Гольдберг (№ 5), Ю. И. Нонин (№№ 3, 4, 15), А. С. Меркурьев (№№ 7, 10, 12, 14, 16), С. Е. Рукшиин (№№ 8, 9), Г. Перелман (№№ 11), Д. В. Фомин (№ 1), С. В. Фомин (№ 17).

1. Круг разделен на 6 секторов, в которых расположены цифры 1, 0, 1, 0, 0, 0 (в указанном порядке). Разрешается одновременно увеличивать на 1 два стойших рядом числа. Докажите, что с помощью таких операций нельзя добавиться равенства всех чисел чисел. (5 кл.)

2. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B. (5—7 кл.)

3. Найдите наименьшее целое число, которое можно треяне разобами представить в виде 13x+73y, где x и y — натуральные числа.

4. Докажите, что набор чисел (2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15) не может быть многоством длиной сторон и диагоналей пятугольника. (7 кл.)

5. Найдите числа
   $$(1+x^2)^{-1} + (1+y^2)^{-1},$$
   если известно, что они равны и $x \neq y$. (7 кл.)

6. В выпukлом пятугольнике ABCDE выполняется соответствия: $AE=AD, AB=AC, \angle CAD=\angle AEB+\angle ABE$. Докажите, что сторона CD вдвое больше медины AM треугольника ABE. (7 кл.)

7. Положительные числа $a_1,a_2,...,a_n$ и $b_1,b_2,...,b_n$ таковы, что $a_1+a_2+...+a_k=b_1+b_2+...+b_n$. Докажите, что в прямогольной таблице $k \times n$ клеток можно расставить неотрицательные числа, среди которых по крайней мере $(k-1)(n-1)$ нулей, так, что суммы чисел в строках равны $a_1,...,a_k$, а в столбцах — $b_1,...,b_n$. (8—9 кл.)

8. На сторонах AB и CD выпukлого четырехугольника ABCD даны точки E и H. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и $AE:BE=DH:CH$, то $BC \parallel AD$. (8—9 кл.)

9. Двое играют в такую игру. Первый игрок пишет какую-нибудь цифру; второй игрок приписывает к ней слева или справа еще одну цифру; (8—9 кл.)

10. На координатной плоскости даны 4 точки с целыми координатами. Разрешается заменять любую из этих точек на точку, симметрично ей относительно любой другой из этих точек. Можно ли за несколько таких операций перейти отчетверки вершин единчного квадрата (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) к точкам с координатами (0; 0). (1; 1), (3; 0), (2; —1)? (8—10 кл.)

11. Данны числа: 1 и девять нулей. Разрешается выбрать два числа и заменить каждой из средним арифметическим. Какое наименьшее число может оказаться на месте единцы после серии таких операций? (8—10 кл.)

12. Докажите, что существует такое множество $A$, состоящее из натуральных чисел, что любое натуральное число, не принадлежащее множество $A$, является средним арифметическим двух различных элементов множества $A$, а никакое число из множества $A$ этим свойством не обладает. (8—10 кл.)

13. Фишка может находиться в одной из $13 \times 13$ точек $(x, y)$, где $x$ и $y$ — целые числа, $0 \leq x \leq 12$, $0 \leq y \leq 12$. Фишка может найти из точки $(x_1,y_1)$ в точку $(x_2,y_2)$, если каждое из чисел $|x_1-x_2|, |y_1-y_2|, |y_1-y_2|$ не меньше 2 и не больше 9. Докажите, что она не может обойти все 169 точек, повышав в каждой из нихровно один раз. (8—9 кл.)

14. Разность шестизначных чисел $abcdef$ и $fdebca$ делится на 271. Докажите, что $b=d$ и $c=e$. (8—10 кл.)

15. В верхних 50-угодной признам расставлены числа 1, 2,…, 100. Докажите, что найдется два числа, стоящие в концах одного ребра, отлично несоответствует более чем 48. (10 кл.)

16. Целое число $a$ таково, что число $3a$ представимо в виде $x^2+2y^2$, где $x$ и $y$ — целые числа. Докажите, что и число $a$ представимо в таком виде. (10 кл.)

17. После нескольких операций дифференцирования и умножения на $x+1$, выполненых в любом порядке, многочлен $x^8+x^7$ превращается в $ax+b$. Докажите, что разность целых чисел $a-b$ делится на 49.

Публикацию подготовили Ю. И. Нонин, С. В. Фомин