Элементарные функции

9

Элементарные функции

Кандидат физико-mатематических наук
А. П. ВЕСЕЛОВ
Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКин

В этой статье рассматривается показательные, логарифмические и трионометрические функции. Эти функции приселяют к классу элематриных функции (в котором еще входят линейная функция $y=ax+b$, степенная $y=x^n$, а также всевозможные комбинации перечисленных функций — суммы, разности, произведение, частные и композиции). Эти функции называют так потому, что это были первые функции, которые изучались в математике, и долго базых математиков не выходил за пределы этих функций.

Мы рассмотрим два основных подхода к определению показательных, логарифмических и трионометрических функций: аксиматический и кинematический, убедимся в том, что эти подходы приводят к тем же функциям, и обсуждим их связь со кинольными определениями.

Аксиматическое определение показательной функции

Показательная функция $a^x$ — это такая функция $y=f(x)$, что выполены следующие условия:

1. $f$ определяна для всех $x$;

2. $f(1)=a>0$ ($a\neq 1$);

3. для любых $x$, $y$ выполняно соответствие

$$f(x+y)=f(x)f(y);$$

4. $f(x)$ — монотная функция.

Школьная теория показательной функции заключается в построении функции, удовлетворяющей четырем перечисленным свойствам; важно, что существует только одна функция, обладающая этим свойствами. В прочеем, в школе доказывается лишь, что 2), 3) определяют $f$ однозначно для рациональных $x$; утверждение об однозначном продолжении на все $x$ с рациональных $x$ при условии 4) приводится без доказательства (доказательство можно найти в статье Р. К. Гордина «Что такое степень», Квант, 1981, № 2).

Такие определения объекта при помощи перечисления свойства, его характеристических, называются аксиматическими. Необходимо уяснить, что аксиматическое определение показательной функции в существе не отличается от школьного определения. Соотношение (2) называется функциональным уравнением для показательной функции. Функциональные уравнения связаывают значения функции в разных точках, а их решения называют функции, которые этим соответствуют. В данном случае показательные функции являются решениями функционального уравнения (2) (а при выполнении указываемых выше дополнительных ограничений других решений нет).

Задача 1. Докажите, что в случае решения (2), определение для всех $x$, — это или

10

тождественный нуль или всюду положительная функция (и значит всюду определенная показательная функция существует лишь для неотрицательных оснований $a$).

Приятный сегодная аксиматическая подход к определению показательной функции возник не сразу. Заметательно, что показательная функция появляется впервые как решение дифференциального уравнения. Эта история заслуживает того, чтобы ее вспомнить.

Кinemатическое определение показательной функции

В самом начале XVII века Галилей (1564—1642) хотел открыть закон, по которым произходит свободное падение. Он надялся открыть этот закон чисто умозрително, руководствуясь лишь сообщениями простоты. Поэтому он предположил, что свободного падения должна быть пропорциональна проиденному пути:

$$\dot{s} = \lambda s.$$

(3)

По физическим сообщениям $\lambda > 0$ (движение ускорено) и $s(0) = 0$ (в начальной момент тело покопится). Через некоторое время Галилей с большим удивлением обнаружил, что дифференциальное уравнение (3) не может иметь решения с $s(0) = 0$, отличного от $s \equiv 0$ (невозможное движение со свойствами, которые Галилей первоначально приписали свободному падению).

Задача 2. Докажите утверждение Галилея. Указание. Пусть $\lambda > 0$; тогда скорость $\dot{s}$ возратает с увеличением $s$. Если в некоторых момент времени $t_0$ имеем: $s(t_0) = c > 0$, то $\dot{s}(t_0) = \lambda c$; $\dot{s}(t) < \lambda c$ при $t < t_0$, а значит, $t_0 > 1/\lambda$ неависимо от $c!$. Отсюда легко вывести, что $s \equiv 0$.

Это наблюдение побудило Галилея поменять предполагаемый закон на $\dot{s} = gt$, что привед его к открытию закона свободного падения, а движением по закону (3) он больше не интерресовался. Подробнее об этом можно прочитать в книге С. Г. Гиндикина «Рассказы о физике и математике» (M., «Нука», 1981).

Мы же должны вспомнить еще об одном замечательном математике — Джоне Непере, бароне Мерчистоне (1550—1617), который почти в те же годы, что и Галилей, совершенное по другим принимам исследовал движение по закону (3). Если Галилей стремился получить математическое описание реального механического явления, то Непер двигаллся прямо в противоположном направлении: он хотел дать механическую интерпретацию чисто математическим процедурам. Еще до Непера матемики пытались воспользоваться связью между аргументическим и геометрическим прогрессей для упрощения вычисления (замены умножения сложением!). Для увеличения точности требовались более «частые» прогрессии и генциальная догадка Непера состояла в том, что следует дойти в этом до конца и заменить дискретные прогрессины непрерывными величины — функциями. Расматривая для этого воображаемое движение по закону (3) и интерпретируя время как непрерывный аналог аргументической прогрессии, Непер убеждает, что тогда пусть аналогом геометрической прогрессии. Именно, если время $t$ увеличить на $k$ единицу, то пусть умножается на $q^k$ для некоторого $q$; если перейти к более мелким единицам времени, то по-прежнему сдвигам по времени $t$ отвечают преобразования по закону геометрической прогрессии.

Главное отличие подода Непера от подхода Галилея состоит в том, что он снимает ограничение $s(0) = 0$. Пусть $\lambda$ фиксировано. Из утверждения Галилея следует важное свойство движения (3). Движение по закону (3) для фиксированного $\lambda$ полностью определяется значением $s$ в любой фиксированный момент времени $t_0$. Действительно, если $s_1(t), s_2(t)$ — два движения с $s_1(t_0) = s_2(t_0)$, то для $s(t) = s_1(t) - s_2(t)$, также является решением (3), имеем: $s(t_0) = 0$, то есть $s \equiv 0$; по теореме Галилея и $s_1(t) = s_2(t)$. Далее, если $s$ — решение (3), то $s_1(t + t_0)$ — также решение, а значит, все решения (3) отличают лишь постоянным множителем. Так же, если $s$ — решение, то $s_1(t) = s(t + t_0)$ — также решение (для фиксированного $t_0$).

Пусть $S_\lambda(t)$ — такое решение (3), что $S_\lambda(0) = 1$. Возьмем $s_1(t) = S_\lambda(t + t_0)$, $s_2(t) = S_\lambda(t) S_\lambda(t_0)$. Обе эти функции будут решениями (3), принимающими одно и то же значение $S_\lambda(t_0)$ при $t = 0$, а потом должны совпадать. Мы получаем, что

11

$$S_{\lambda}(t+t_0) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(t_0).$$

Далее, функция $S_{\lambda}$ дифференцируем, значит, она непрерывна. По теореме Галлея она нигде не обращается в нуль, а значит, она всюду имеет один и тот же знак, то есть $S_{\lambda}(t) > 0$ ($S_{\lambda}(0) = 1$). В силу (3), тогда $S_{\lambda}(t)$ всюду имеет тот же знак, что и $\lambda$, то есть возрастает при $\lambda > 0$, убивает при $\lambda < 0$.

Итак, решение уравнения (3) с $s(0) = 1$ обязательно является показательной функцией. Если теперь продиференцировать (4) по $t_0$ и положить $t_0 = 0$, мы получим

$$S_{\lambda}(t) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(0).$$

Значит, показательная функция (в предположении, что она дифференцируем) является решением (3), $\lambda = S_{\lambda}(0)$. Дифференцируемость показательной функции доказывает непосредственно (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 65).

Необходимо обсуждать еще один вопрос. Мы исследовали решение (3) в предположении, что они существуют. Это предположение следует из общего факта про дифференциальные уравнения, который мы не будем здесь доказывать*). Если принять его, то мы получим показательную существование показательной функции, отличное от осуществляется выше. С другой стороны, из существования и дифференцируемости показательной функции следует разрешимость уравнения (3).

Число $e$ (непервоно число)

У нас теперь два подхода к определению показательной функции. При аксиоматическом определении показательные функции естественно различают по их основаниям $f(1) = a$. Если же исходить из уравнения (3), то в основу более естественного положить коэффициент $\lambda$. Как связаны этиCONSTANTЫ?

Прежде всего при кинематическом подходе естественного выделить показательную функцию, отвечающую $\lambda = 1$. Ее основание принято обозначать через $e$ и называть непервоным числом, а саму функцию иногда обозначают expr $t$ (по началу слова «экспонента»). Итак, для движения, произходшего по закону $\dot{s} = s$, для которого $s(0) = 1$, имеем: $s(t) = e^{\dot{s}}$ ($= \exp t$).

Исследуем число $e$. Это расстояние от начала, на котором в момент времени $t = 1$ оказывается точка. Посокльку движение проискодит со скоростью, большей 1, а начинается движение на расстоянии 1 от начала, мы получаем, что при $t = 1$ расстояние $e > 1 + 1 = 2$. Покажем, что, с другой стороны, $e < 3$ (точка не успет уйти за отметку 3). Для этого разобем путем от 1 до 3 на 8 равных частей (длина одной части 1/4). Первый отрезок точка проijdет со скоростью, не превышающее ее значения в правом конце отрезка, где, в силу (3), она равна 5/4; следовательно, время, которое потребуется на этот отрезок, не менее 1/5. Аналогично на второй отрезок уйдет не менее 1/6, на третьий — не менее 1/7 и т. д. Общее время на пути от 1 до 3 не менее, чем $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12}$, а эта сумма больше 1. Значит, точка $e$ лежит близке 3.

Если теперь разбить отрезок времени $[0, 1]$ на $n$ равных частей, то на первом отрезке времени скорость больше 1, точка проijdет за $\Delta t = 1/n$ пути, больший $1/n$ и оказывается от начала дальше, чем $1+1/n$ со скоростью, превышающее отрезке $\Delta = 1/n$ будет проijdен пути, больший $(1+1/n)/n$, и точка оказывается от начала на расстоянии больше $(1+1/n)^2$ со скоростью, большей $(1+1/n)^2$ и т. д., в момент времени $t = 1$ — на расстоянии $(1+1/n)^n$ от начала.

Из этого расужения представляется правильным, что при увеличении $n$ величины $a_n = (1+1/n)^n$ возрастает (доказите, что это действительное так!) и стремится к $e$. В учебнике «Алгебра и начала анализа 9—10» (§22, п. 113) доказывает, что

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$$

откуда, в частности, $e$ можно определить с любой точностью. Напомним, что $e = 2,718281828459045\dots$. Аналогично доказывается, что

$$e' = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n.$$

Продумайте кинематическую интерпретацию этого равенства.

Задача 3. Дайте кинематическое доказательство неравенства

12

$$e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Указание. Разбейте отрезок пути $[1, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}]$ на $(n+1)$ отрезков вида $[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{k-1}, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^k]$. Тогда при движении по $k$-му отрезку длины $\frac{1}{n+1}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$ по закону $\dot{s} = s$ скорость не превосходит $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$, а затраченное время соответственно больше, чем $1/n+1$, то есть общее время больше 1.

Вернемся к вопросу, с которой начинается наш разговор о числе $e$. Пусть $S_\lambda(t) = a^t$. Как связаны $\lambda$ и $a$? Замечая, что если $s(t)$ — решение (3) для некоторого $\lambda$, то $s(ct)$ — решение (3) с $\lambda' = c\lambda$ и тем же значением в нуле, то есть $S_{\lambda c}(t) = S(ct)$, откуда $S_\lambda(t) = a^t$, где $a = e^\lambda$.

Таким образом, связь между $a$ и $\lambda$ очень просто выражается через непровою число.

Подведем итоги рассмотрения уравнения (3). Мы доказали, что общее решение этого уравнения имеет вид $s(t) = s_0 \exp(\lambda t), s_0 = s(0)$.

Уравнение (3) называют уравнением показательного (или экспоненциального) роста (или убывания при $\lambda < 0$). Оно описывает многое процессы, встречающиеся в природе: радиоактивный распад, изменение температуры со временем и давления с высотой, законы биологического и социального развития и другие процессы. Важнейшей характерастикой показательной функции, проявляющейся в описываемых его явлениях, является быстрый рост (при $\lambda > 0$). В частности, экспоненциальный рост (при $\lambda > 0$) превосходит любой степени рост, а экспоненциальное убывание (при $\lambda < 0$) — степени убывание, именно

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^k}{\varepsilon^{\lambda t}} = 0 \quad (\lambda > 0), \quad \lim_{t \to +\infty} e^{\lambda t} t^k = 0 \quad (\lambda < 0)$$

(«Алгебра и начала анализ 9—10», § 22, п. 117).

Логарифмическая функция $\log_a x$, $a > 0, a \neq 1$

Эта функция определяется как функция, обратная к показательной функции $a^x$, $a \neq 1$, и все ее свойства неосредственно следует из этого определения.

Она определяна при $x > 0$, ее область значений — вся прямая, $\log_a x$ возрастает при $a > 1$ и убывает при $a < 1$, $\log_a 1 = 0$, но, самое главное, имеет место функциональное уравнение (называемое «основным свойством логарифма» в школе)

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y,$$

(7) которая неосредственно следует из функциониального уравнения для показательной функции (1) (почему?). Логарифмическую функцию можно также описать как номатическая: $\log_a x$ — это monotonная функция, равная 1 при $x = a$, удовлетворяющая (7) и определяющая при всех $x > 0$ (доказhte!). Отметим, что при перехождения логарифмической функции мы существенно пользовемся строгой monotonностью $a^x$ при $a \neq 1$ (это обеспечивает существование обратной функции); по этой причине исключаено $a = 1$.

Натуральный логарифм $\ln x$ определяется как функция, обратная к $e^x$, то есть как время, необходимое точке, движущейся по закону $\dot{s} = s$, чтобы попасть из 1 в $x$.

Нало сказаь, что именно логарифмическая функция, а не показательная, была целю Непера. Однако построенная им картина была несколько сложена. Он рассмотрел уравнение (3) с $\lambda = 10^{-7}$ и взял его решение с $s(0) = 10^7$, то есть $s(t) = 10^7 \exp(10^{-7} t)$; соответственно обратная функция — неперов логарифм — имела вид $t = \text{Ner} \log x = 10^7 \ln 10 + 10^7 \ln x$, и для нее не верно, что $t(x \cdot y) = t(x)t(y)$, $t(1) = 0$. К концу двадцатилетних условий по составлению таблицы логарифмов Непер чувствовал несомненно неудовлетворенность приняемой им системы. Он уже обладал идеей десятичных логарифмов, но не имел сил проводится неосредственно вычисл-

13

пня. Соответствующие таблицы составил longitudinal математик Генри Бригс, который имел возможность обсуждать идею десятичных логарифмов с Непером в его последние годы. Десятические логарифмы до сих пор иногда называют бриссовыми (им была посвящена книга Бригса «Арифметика логарифмов», вышедшая в 1624 г.). Натуральные логарифмы появились в 1619 году в книге малинвестного учтеля математики Спейделя (небольшая анонимная таблица появлась на год раны в приложении ко второму изданию книги Непера).

Из кinemатического определения логарифмов по правиламу дифференцирования обратной функции получается

$$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}.$$

Далее, указаная выше связь между λ и основанием решения $S_\lambda(t)$ означает, что $(a^t)' = \ln a \cdot a^t$, откуда

$$\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}.$$

Задача 4. Найти максимальное средние чисел вида $\sqrt[n]{n}$ (n — натуральное число).
Указание. Исследуйте на экстремум функции

$$f(x) = x^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \frac{\ln x}{x} \right)$$

или, что эквивалентно, $g(x) = \ln x/x$.

Функция $\ln x$ удобна для вычисления различных показателей процессов, описываемых уравнением (3). Так, если за характеристку роста (убывания) принять время $\tau$, в течение которого величина удавается (или уменьшается в два раза), то поскольку $e^{\lambda \tau} = 2$, получим $\tau = \frac{\ln 2}{\lambda}$ при $\lambda > 0$

и $\tau = -\frac{\ln 2}{\lambda}$ при $\lambda < 0$. В случае радиоактивного распада $\tau$ называют временем полураспада ($\lambda < 0$).

Задача 5. Срочный вклад в сберегательной кассе за год увеличивается на 3%. За сколько лет он увеличится в 2 раза?

Наконец, отметим, что в силу того, что показатель функции очень быстро растет, логарифмическая функция, направив, растетрезвчайно медленно. Она растет медленнее любой положительной степени $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0, \quad a > 0.$$

Трионометрические функции

Оба пути, которые мы обсуждали в связи с показательной функцией (активное)

Графики некоторых трионометрических функций.

симатически и кinemатически), имеются и для трионометрических функций. Однако не один из них не был источником первым. Первую естественно определять трионометрические функции через отношения сторон в треугольнике или трионометрическом круге. Правда, при этом возникают функции, принимающие числовые значения, в то время как их аргумент принимает угловые, а не числовые значения. Чтобы перейти к функциям числового аргумента, надо научиться изменять углы. Надо сказаать, что хотя трионометрика развивалась, начиная со П века до н. э., причем ей придаалась большое значение в связи с астрономическими вычислениями, сегоднянее определяние трионометрических функций появилось лишь в XVIII века (в значительной степени у Эйлера). До этого обходились всевозможными таблицами, например, хорд, отвечающих углам. Нельзя забывает, что долго для большинства математков функции не выходила за пределы алгебраических функций и не приходило в голову, что трионометрия как-то связывана с анализом.

Остановимся на кinemатическом определении трионометрических функций. Расмотрим один из самых простых законов: ускорение (или сила) пропорциональны расстоянию, или

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Это уравнение называется уравнением гармонических колбаний (он описывает движение шарика наружинке, качания мятника около положения равновесия и т. д.). Ограничимся вначале с лучем $\omega = 1$

$$\ddot{x} + x = 0.$$

Мы знаем, что решениями этого уравнения являются $\sin t$ и $\cos t$, но попытаться получить их независимое определение

14

ленине. Прежде всего надо получить аналог теоремы Галилея для (3) — теорему единственности. Надо доказать, что единственное решение (9) с $x(0)=\dot{x}(0)=0$ — это $x=0$. Обратите внимание, что нам приходит задача два условий при $t=0$, что связано с тем, что в (9) входит второй произвольная. Доказательство следует из сохранения величины $E=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+x^2)$ (проверьте, что $\dot{E}=0$ в силу уравнения (9)).

Обозначим через $s(t)$ решение (9) с $s(0)=0$, $\dot{s}(0)=1$. Исследуем свойства этого решения (которое на самом деле совпадает с sin $t$, но мы хотим вывести все свойства из уравнения (9)).

1. Пусть $c(t)=\dot{s}(t)$; тогда $c(t)$ — решение (9) с начальными условиями $c(0)=1$, $\dot{s}(0)=0$ (проверяется непредставенным дифференцированием: $\ddot{c}=\dot{s}=-\dot{s}=-c$, $\dot{c}=-s$).

2. $s(t)=-s(-t)$, $c(t)=c(-t)$ (достаточно проверить, что $x(t)=-s(-t)$) является решение (9) с теми же условиями при $t=0$, что и $s(t)$; аналогично для $c(t))$.

3. Имеют место теоремы сложения $s(t+t_0)=s(t)c(t_0)+s(t_0)c(t)$, (10) $c(t+t_0)=c(t)c(t_0)-s(t)s(t_0)$. (11) Достаточно убедиться, что левые и правые части при фиксированном $t_0$ являются решения (9) с одинаковыми начальными при $t=0$.

Из теorem сложения можно вывести уже много новых трионометрических формул (на самом деле почти все, но мы об этом еще поговорим). Например, полагая в (11) $t_0=-t$, получаем $c^2(t)+s^2(t)=1$. (12)

Из (12) следует, что $|c(t)|\leqslant 1$, $|s(t)|\leqslant 1$.

4. Можно показать, что $c(t)$ обращается в нуль при неокотором положительном значении аргумента.

Если бы это было не так, то $c(t)$ было бы положительным при $t>0$, а это означает, что функция $s(t)$ монotonно возрастает и, следовательно, при $t>0$ принимает положительное значение. Зафиксируем неокоторый момент времени $t=t_0>0$, при этом $s(t_0)=s_0>0$. Равенство $c(t)=-s(t)$ означает, что скорость убывания $c(t)$, начная с момента $t_0$, больше $s_0$, и, следовательно, $c(t)$ обратится в нуль не позднее, чем через время $c(t_0)/s(t_0)$, что противоречит предположению о положительной счедущей задачи.

Задача 6*. Пусть $s(t)$ и $c(t)$ — функции, которые: 1) определяет при всех $t$; 2) $s(0)=0$, $c(0)=1$; 3) удовлетворяет функцию уравнения (10) и (11); 4) непрерывны. Тогда $c(t)=\cos \omega t$, $s(t)=\sin \omega t$ для неокоторого действительного числа $\omega$.

Указание. Воспользоваться тем фактом, что непрерывная функция полностью определяется свойства значения в точках вида $t=\frac{m}{2^k}t_0$ ($m, k$ — целые числа, $t_0$ — произвольное функцию действительное число, не равное нулю).