Задачи

29

Задание

1. Можно ли в 400-значном числе 84198419…8419 вычеркнуть несколько цифр в начале и в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр равная 1984?

2. Расставьте в клетки таблицы 4×4 числа, не равные 0, так, чтобы сумма чисел в углах каждой квадрата 2×2, 3×3 и 4×4 клетки была равна 0.

3. В ряду выписаны числа 1 2…100. Двое играющих по очереди всталют между ними знаки +, — и × (очередной знак можно ставить на любое свободное место). Докажите, что игрок, делаюший первый (а значит, и последний) ход, может добиться, чтобы окончательный результат был нечетным числом.

4. 175 Шалтаев стоит дороге, чем 125 Болтаев, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на покупку 3 Шалтаев и 1 Болтая рублей не хватит, если каждой Шалтей и каждой Болтей стоит целое число копеек.

5. Звенья AB и CD шарнирного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; при этом AB=CD и BC=AD. Докажите, что AO=CO и BO=DO.

Эти задания предлагались в 5—7 классах наибольной 50-й ленинградской олимпиде. Их авторы: А. Г. Гольдберг, С. Л. Генкин, С. В. Фомин.