Простой приём в непростых задачах

25

найти такое значение $Q_T$, которое отвечало бы условиям

$$\frac{Q-Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(1)

где $d$ — простой делитель в колонке найdenного значения $Q_T$.

В строке $R=27$ условию (1) отвечает табличные значения $Q_T=38$ в колонках делитель $d=89$ и $d=43$. Это и есть простые множители заданного числа $(89 \times 43=3827)$.

Проанализируем теперь число 5251. При делении его на 100 получаем частное $Q=52$ и остаток $R=51$. Для чисел с $R>49$ берем вместе $R$ во входе таблицы его «приведенное» значение $R'=100-R$, т. е. в данном случае $R'=100-51=49$. При этом вместе условия (1) требуется соблюдение условий

$$\frac{Q'+Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(2)

где $Q'=Q+1$. В данном случае $Q'=52+1=53$.

В строке $R=49$ условию (2) отвечает $Q_T=36$, в колонке делителя $d=89$ $(53+36=89)$ и $Q_T=6$ в колонке делителя $d=59$ $(53+6=59)$. Таким образом, простые множители данного числа $89 \times 59=5251$.

Число 51620. После деления его на 20 остается проанализировать число 2581. Здесь $R=81$. Следовательно, $R'=100-81=19$, $Q=25$. Следовательно, $Q'=25+1=26$.

Условию (2) здесь obtueют $Q_T=63$ в колонке делителя $d=89$ и $Q_T=3$ в колонке делителя $d=29$. Итак, $89 \times 29 \times 20=51620$.

Отметим, что общим множителем для всех трех чисел является простое число 89.

С помощью таблицы нетрудно определить, что упомянутые выше число 10607 — простое. Действительно, в строке $R=07$ нет ни одного значения $Q_T$, которое при вычитании его из $Q=106$ удовлетворило бы условиям (1).

В. С. Хитрук

Простоящий в непростых задачах

С формулой квадрата суммы или разности двух чисел знаком шестиклассник. Нетрудно научиться выделять из алгебраического выражения полный квадрат, «узнавать» его, а затем извлекаать корень. Эти действия часто помогают при решении конкретных задач. Конечно, приведенные ниже задачи допускают и другие способы решения, однако умеют использовать указынных примеров позволяют абитриенту «сэкономить» так необходимое на экзамене времени.

Упрощение выражений

Пример 1 (МГУ, механизм, 1978). Разность $\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}-\sqrt{40\sqrt{2}+57}$ является целым числом. Найти это число.

В книге Ю. В. Нестеренко, С. Н. ОLEXНИКА, М. К. Потапова «Задачи вступительных экзаменов по математике» (М., Наука, 1980) авторы обозначают искому число через $x$, находят, что $x$ есть одно из чисел 10 или —10 и сравнием уменышаемого и вычитаемого приходят к выводу, что $x=-10$ (с. 132).

Этот же пример решим, выделяя полный квадрат, этот пример пригодится нам впоследствии.

$$A=\sqrt{40\sqrt{2}+57}=\sqrt{25+40\sqrt{2}+32}=\sqrt{(5+4\sqrt{2})^2}=5+4\sqrt{2},$$

$$B=\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}=\sqrt{|(5-4\sqrt{2})^2|}=-5+4\sqrt{2}.$$

Таким образом, $B-A=-10$.

Пример 2 (МГУ, механизм, 1969; КПИ, 1980). Упростить:

$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$$

Решение:

$$A=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}+1-1}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}+1-1}=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|.$$

Очевидно, что $x \geqslant 1$;

а) при $2 \geqslant x \geqslant 1$, имеем

26

$$A = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2;$$
6) при $x \geqslant 2$
$$A = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2\sqrt{x-1}.$$
Пример 3 (КПИ, 1980). Упростить:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1}.$$
Решение:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2}{3}.$$
Решение уравнения
При решении irrationalных уравнений не следует торопиться возводить в квадрат, стоит посмотреть — нельзя ли его выделить?
Пример 4 (КПИ, 1979). Решить уравнение:
$$\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5} + \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} = 7\sqrt{2}.$$
Решение:
Имеем
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 2\sqrt{2x-5} + 1) + \sqrt{2x-5} + 6\sqrt{2x-5} + 9) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{2x-5}+3)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\sqrt{2x-5}+1| + |\sqrt{2x-5}+3|).$$
Итак, заданное уравнение эквивалентно уравнению
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 1 + \sqrt{2x-5} + 3) = 7\sqrt{2}$$
или $2\sqrt{2x-5} = 10$, откуда $x = 15$.
Пример 5 (КГУ, экон. фак. 1978). Решить уравнение:
$(\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}})^{2x} + 2^{2x+3} = 144.$
Решение:
Имеем
$$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+2\sqrt{3}} + 1 = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1;$$
аналогично $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$. Поэтому заданное уравнение примет вид
$$4^x + 8\cdot 4^x = 144, x = 2.$$
Пример 6 (МГУ, 1978, филфак). Число $\alpha$ подобрано так, что уравнение $\sqrt{x-\sqrt{3}} + \alpha^2 x^2 + 2\alpha x(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = 6\sqrt{2}-9$ имеет решение. Найти решение.
Решение: Обозначим $x_1$ корень уравнения. Тогда $x_1 \neq 0$ и $\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + \alpha^2 x_1^2 + 2\alpha x_1(\sqrt{6}-\sqrt{3}) - 6\sqrt{2}+9 = 0$, или
$$\alpha^2 + 2\alpha \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right) + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + 9 - 6\sqrt{2}}{x_1^2} = 0.$$
Выделим полный квадрат относительно чисел $x_1$ и $\alpha$. Имеем
$$\left(\alpha + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right)^2 + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}}}{x_1^2} = 0.$$
Так как каждое слагаемое не отрицательно, то $x_1 = \sqrt{3}$, при этом $\alpha = 1 - \sqrt{2}$.
Пример 7. Решить уравнение $\sin^2 x + \sin^2 y = \sin x \sin y + \sin x \sin y - 1.$
Решение: Данное уравнение эквивалентно такому:
$(\sin^2 x - 2 \sin x + 1) + (\sin^2 y - 2 \sin y + 1) + (\sin^2 x + \sin^2 y - 2 \sin x \sin y) = 0$, или $(\sin x - 1)^2 + (\sin y - 1)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 0$, откуда $x = \sin y = 1$, $x = \sin y$. Таким образом, решение уравнения будет любая пара вида
$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in Z.$$
Упражнения

1. (МГУ, 1979, экон. фак.) Решить уравнение: $\log_{3x+7}(9+12x+4x^2) + \log_{2x+3}\times(6x^2+23x+21) = 4.$
2. (КГУ, 1978, химфак.) Решить уравнение: $(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^{2x} + 2^{2(x+1)} = 320.$
3. (МГУ, 1965, механит) Найти все пары чисел, которые удовлетворяют уравнению
   $$\cos x + \cos y - \cos(x+y) = \frac{3}{2}.$$
4. (КГУ, 1973, механит) Решить неравенство $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} - \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} \geq 3.$
5. (МГУ, 1982, биофак) Найти наиболее и наиболее значения функции
   $$y(x) = x + \sqrt{(x^2+6x+9)(x^2+2x+1)}$$
   на отрезке $[-4; -\frac{5}{4}].$

И. А. Кушинр