Phương trình sóng

27

Nhà vật lý người Anh Thomas Endris đã mang lại sự rõ ràng cuối cùng cho vấn đề này. Năm 1869, ông công bố kết quả thí nghiệm kéo dài nhiều năm của mình. Giống như Van Marum, Endries nghiên cứu hành vi của chất khí khi thể tích của nó giảm và áp suất tăng. Nhưng nếu Van Marum chỉ tiến hành thí nghiệm ở nhiệt độ phòng thì Endries lại tiến hành thí nghiệm ở nhiều nhiệt độ khác nhau.

Trong Hình 3, các đường liền nét thể hiện các đường cong mà Endris thu được. Ông cũng quan sát thấy sự xuất hiện của chất lỏng ở áp suất tương ứng với mặt cắt ngang của đường cong. Nhưng khi nhiệt độ ngày càng tăng, những áp suất này tăng dần và chiều rộng của các phần nằm ngang ngày càng nhỏ hơn, cho đến khi ở nhiệt độ nào đó, ký hiệu là $T_k$ trong Hình 3, phần nằm ngang trên đường cong biến mất hoàn toàn. Đồng thời, ranh giới giữa chất lỏng và hơi cũng biến mất - điều mà Cagnard de Latour đã quan sát thấy.

Trên nhiệt độ này, được Endris gọi là nhiệt độ tới hạn, chất này không thể ở dạng lỏng. Hơi lỏng và bão hòa phía trên nó chỉ có thể được quan sát thấy trong vùng áp suất và thể tích được giới hạn bởi đường đứt nét trong Hình 3. Nếu nhiệt độ khí cao hơn $T_k$ thì cần phải làm mát để đốt cháy nó.

Sau công trình của Endris, người ta thấy rõ rằng các chất khí “vĩnh viễn” không hề cố định chút nào. Chỉ là nhiệt độ tới hạn của chúng thấp hơn nhiều so với nhiệt độ phòng. Kể từ thời điểm đó, cuộc đấu tranh đốt cháy khí “vĩnh cửu” chuyển thành cuộc đấu tranh để đạt được nhiệt độ thấp. Phải mất thêm 40 năm nữa người ta mới có thể đốt cháy tất cả các loại khí mà không có ngoại lệ. Vì vậy, vào năm 1877, nitơ ($T_k = 126,3$ K) và oxy ($T_k = 154,8$ K) đã bị đốt cháy. Năm 1898, người ta thu được hydro lỏng ($T_k = 33,2$ K). 10 năm sau, vào năm 1908, khí cuối cùng, helium ($T_k = 5,2$ K), chuyển sang dạng lỏng. Điều này đánh dấu sự khởi đầu phát triển của một trong những lĩnh vực quan trọng nhất của khoa học vật lý – vật lý nhiệt độ thấp.

Do đó, đối với các chất mà chúng ta biết là chất khí, nhiệt độ phòng cao hơn nhiệt độ tới hạn của chúng. Đó là lý do tại sao chúng ở dạng khí. Ngược lại, đối với những chất mà chúng ta quen ở dạng lỏng, nhiệt độ phòng thấp hơn nhiệt độ tới hạn của chúng.

Phương trình sóng

Sóng, như đã biết, là quá trình lan truyền các rung động trong không gian. Để sóng trong môi trường có thể truyền đi, các điểm của môi trường phải được nối với nhau bằng liên kết có khả năng gây dao động, tức là bằng liên kết đàn hồi. Hình 1 cho thấy một loạt các điểm được kết nối với nhau như vậy. Nếu một trong các điểm, ví dụ như điểm $O$, bắt đầu dao động thì dao động của nó sẽ di chuyển theo hướng $r$.

Cho điểm $O$ dao động dọc theo trục $X$ theo định luật

$$x = x_m \sin \omega t. \tag{1}$$

Ở đây thời gian $t$ được tính từ thời điểm điểm $O$ ở vị trí cân bằng. Rung động của nó lan sang các điểm khác không phải ngay lập tức mà ở một tốc độ nhất định $v$. Điều này có nghĩa là trong một đơn vị thời gian, dao động phải đạt đến một điểm trong chuỗi nằm cách điểm $O$ ở khoảng cách bằng $v$. Khoảng cách mà dao động lan truyền trong thời gian bằng một chu kỳ $T$ dao động được gọi là bước sóng $\lambda$ (“Vật lý 10”, trang 81). Nó theo sau đó

$$\lambda = vT, \text{ или, так как } T = \frac{1}{v}, \quad v = \lambda v.$$

Bất kỳ điểm nào trong chuỗi của chúng ta (xem Hình 1), ngay khi có sóng tới nó, sẽ bắt đầu dao động với cùng tần số với điểm $O$, tức là nó sẽ lặp lại các dao động này. Nhưng hãy lặp lại với một chút độ trễ - xét cho cùng, đến một điểm nằm cách $O$ ở khoảng cách $r$, dao động sẽ xảy ra sau một khoảng thời gian bằng $r/v$. Do đó, để có tọa độ $x$ của một điểm ở khoảng cách $r$ chúng ta phải viết

$$x = x_m \sin \omega \left( t - \frac{r}{v} \right). \tag{2}$$

28

Phương trình (2) được gọi là phương trình sóng. Nó cho phép bạn tìm độ dịch chuyển $x$ từ vị trí cân bằng của bất kỳ điểm nào (nằm ở bất kỳ khoảng cách nào $r$) bất kỳ lúc nào. Trong một thời điểm nhất định, nó có thể cung cấp một bức ảnh chụp vị trí của tất cả các điểm của chuỗi so với trục $X$. Phương trình sóng cho thấy tất cả các điểm thực sự dao động theo cùng một cách (tất cả đều dao động dọc theo trục $X$ và đều có cùng biên độ và tần số dao động). Chỉ có các pha dao động là khác nhau - độ chênh lệch pha dao động của hai điểm, khoảng cách giữa chúng là $\Delta r$, là $\omega \Delta r/v$.

Đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu trình bày phương trình sóng khác đi một chút. Chúng ta hãy viết lại phương trình (2) dưới dạng

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{\omega r}{v} \right).$$

Chúng ta hãy thay số hạng thứ hai trong ngoặc thay vì tốc độ sóng $v$ giá trị $\lambda$ bằng nó và cùng với $\omega$ chúng ta viết $2\pi v$. Sau đó chúng tôi nhận được

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{2\pi r}{\lambda} \right).$$

Từ biểu thức này, rõ ràng tọa độ $x$ của bất kỳ điểm nào ở khoảng cách $r$ tính từ nguồn sóng phụ thuộc vào giá trị $r/\lambda$, tức là phụ thuộc vào số lượng bước sóng phù hợp ở khoảng cách $r$. Ví dụ: nếu $r=\lambda$, thì độ trễ pha sẽ bằng $2\pi$, nghĩa là pha dao động của điểm này sẽ giống với pha dao động của điểm $O$. Theo cách tương tự, nếu $r=2\lambda$, $3\lambda$, v.v., thì độ lệch pha sẽ bằng $4\pi$, $6\pi$, v.v., nghĩa là trong trường hợp này các pha sẽ giống nhau. Do đó, các điểm sóng nằm cách nhau một khoảng bằng bước sóng, nói chung là hai bước sóng

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right).$$

Điều kiện đạt được của Pozny (châm ngôn) có dạng

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = 2\pi k,$$

ở đâu $k=0, 1, 2, \dots,$

Ở đâu

$$r_1 - r_2 = k\lambda = 2k \frac{\lambda}{2}$$

• các dao động sẽ được khuếch đại (nghĩa là biên độ của các dao động phức tạp sẽ bằng tổng biên độ của các dao động cộng thêm) nếu độ chênh lệch đường đi $r_1 - r_2$ của sóng đến nơi “gặp nhau” bằng một số chẵn nửa số nửa. Theo đó, các mức tối thiểu được tăng cường -

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = (2k+1)\pi,$$

hoặc

$$r_1 - r_2 = (2k+1) \frac{\lambda}{2}$$

• các dao động sẽ yếu đi (biên độ thu được sẽ bằng chênh lệch biên độ dao động trong hai sóng), nếu chênh lệch đường truyền sóng bằng một số nửa số chẵn.