Уравнение волны

27

Окончательную ясность в этот вопрос внес английский физик Томас Эндрис. В 1869 году он опубликовал результаты своих многолетних опытов. Как и Ван Марум, Эндрис изучал поведение газа при уменьшении его объема и увеличении давления. Но если Ван Марум провел опыт только при комнатной температуре, то Эндрис проводил опыты при самых разных температурах.

На рисунке 3 сплошными линиями показаны кривые, полученные Эндрисом. Он тоже наблюдается появление жидкости при давлениях, которые соответствуют горизонтальные участки кривых. Но с увеличением температуры эти давления постепенно повышались, а ширина горизонтальных участков становились все меньше, пока при некоторых температуре, обозначающей на рисунке 3 через $T_k$, горизонтальный участок на кривой не исчезал совсем. При этом исчезала и граница между жидкостью и паром — то, что наблюдается еще Каньяр де Латур.

Выше этой температуры, называемой Эндрисом критической температурой, вещество жидким быть не может. Жидкость и насыщенный пар над ней могут наблюдается лишь в той области давления и объема, которая на рисунке 3 ограничена штириховой линии. Если же температура газа выше $T_k$, то для его сжжения обязательно охлаждение.

После работы Эндриса стало ясно, что и «постоянные» газы вовсе не постоянны. Проство их критические температуры много ниже комнатных. С этого времени борба за сжжение «постоянных» газов превращалась в борббу за получение низких температур. Потребовалось еще 40 лет, прежде чем удалось сжжить все без исключения газы. Так в 1877 году были сжжены азот ($T_k = 126,3$ К) и кислород ($T_k = 154,8$ К). В 1898 году был получен жидкий водород ($T_k = 33,2$ К). Еще через 10 лет, в 1908 году, был превращен в жидкость последний газ — гелий ($T_k = 5,2$ К). Этим было положено начало развития одной из важнейших областей физической науки — физики низких температур.

Таким образом, для веществ, обусловных известиных нам как газообразные, комнатная температура выше их критической температуры. Поэтому они и газообразны. Наоборот, для веществ, которые мы привыклисить жидкими, комнатная температура ниже их критических температуры.

Уравнение волны

Волна, как известно, это процесс распространения колебаний в пространстве. Чтобы волна в среде могла распространяться, точки среды должны быть связаны между собой слиами, способными вызывать колебания, то есть слиами упругости. На рисунке 1 показан ряд таких связанных между собой точек. Если одна из точек, например точка $O$, начинает колебаться, то ее колебания переедают в направлении $r$.

Пусть точка $O$ колебляется вдоль оси $X$ по закону

$$x = x_m \sin \omega t. \tag{1}$$

Здесь время $t$ отсчитывается от момента, когда точка $O$ находится в положении равновесия. Ее колебания переедают другим точкам не мгновенно, а с некоторой скоростью $v$. Это значит, что за единицу времени колебание должно до точки в ряду, расположенной от точки $O$ на расстоянии, численном равном $v$. Расстояние же, на которой колебание распространяется за время, равное одному периоду $T$ колебаний, называется дилиной волны $\lambda$ («Физика 10», с. 81). Отсюда следует, что

$$\lambda = vT, \text{ или, так как } T = \frac{1}{v}, \quad v = \lambda v.$$

Любая точка в нашем ряду (см. рис. 1), как только до нее должен волна, начинает колебаться с той же частотой, что и точка $O$, то есть будет повторять эти колебания. Но повторять с некоторым запозданием — ведь до точки, находящейся от $O$ на расстоянии $r$, колебание должна через промежуток времени, равный $r/v$. Поэтому для координаты $x$ точки на расстоянии $r$ мы должны написать

$$x = x_m \sin \omega \left( t - \frac{r}{v} \right). \tag{2}$$

28

Уравнение (2) называется уравнением волны. Оно позволяет найти смесение $x$ от положения равновесия любой точки (находящейся на любом расстоянии $r$) в любой момент времени. Для данного момента времени оно дает как бы фотографию положений всех точек ряда относительно оси $X$. Уравнение волны показывает, что все точки действительно совершают одинаковые колебания (все колебются вдоль оси $X$, и у всех одинаковые амплитуд и частота колебаний). Неодинаковы только фазы колебаний — разность фаз колебаний двух точек, расстояние между которых равно $\Delta r$, составляет $\omega \Delta r/v$.

Иногда уравнение волны удобнее представить несколько иначе. Перепишем уравнение (2) в виде

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{\omega r}{v} \right).$$

Подставим во второй член в скобках вместо скорости волны $v$ равную ей величины $\lambda$, а вместе $\omega$ напишем $2\pi v$. Тогда получим

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{2\pi r}{\lambda} \right).$$

Из этого выражения видно, что координата $x$ любой точки на расстоянии $r$ от источника волны зависит от величины $r/\lambda$, то есть от числа длины волн, укладывающихся на расстоянии $r$. Если, например, $r=\lambda$, то отставление по фазе будет равно $2\pi$, а это значит, что фаза колебаний этой точки будет такая же, как и точки $O$. Точно так же, если $r=2\lambda$, $3\lambda$ и т. д., то сдвиг фазы будет равен $4\pi$, $6\pi$ и т. д., то есть и в этом случае фазы будут одинаковыми. Таким образом, точки волны, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, двум длиам волн, вообще

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right).$$

Позному условие усиления (максимов) имеет вид

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = 2\pi k,$$

где $k=0, 1, 2, \dots,$

откуда

$$r_1 - r_2 = k\lambda = 2k \frac{\lambda}{2}$$

— колебания будет усилены (то есть амплитуд сложного колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний), если разность хода $r_1 - r_2$ волн до места «встречи» равна четному числу получлен. Соответственно усилене минимов —

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = (2k+1)\pi,$$

или

$$r_1 - r_2 = (2k+1) \frac{\lambda}{2}$$

— колебания будет ослаблены (результующая амплитуд будет равна разности амплитуд колебаний в двух волнах), если разность хода волн равна четному числу получлен.