Экспериментальный тур олимпиады по физике

52

Дач dan в статье В. А. Орлова и А. Г. Ростомяна «Экспериментальный тур оlimппады по физике», помещенной в этом же номере журнала.

Для всех участников оlimппады хорошо подарком была культурно-позначательная программа, тщательно продуманная радишными хозяйами. В программу вошли: праздник «День физики», вечера в школа, экскурсии в Бiopакан и встреча с учеными Бiopаканской астрофизической общеватории, экскурсия в Звартноц и Эчмнадзин, посещение музеев и театров. Многим особенно запомнился день, когда состоялась поездка на озеро Севан, а затем на Оlimппейскую спортивную базу в Цахкадзоре. Специально для ребят был включен подъемник, и все преследуемый долны представа с высоты птичнего полета.

Утром 17 апреля участники оlimппады встречались с членами редколлегии журнала «Квант». Было задано много вопросов, высказаны различные пожелания и предложения по работе журнала. Наболее активные участники встречи были нагружены книгами серии «Библиотечка «Квант» с авторфамами авторов.

В тот же день состоялось торжественное закрытие XVIII Всесоюзной оlimппады по физике и победительям были вручены нагradы. Имена призеров, получивших дипломы I, II и III степени, приведены на странице. Специальный призредолегии и редактиции журнала «Квант» — подшивка «Кванта» за прошленный год с авторфамом главного редактора академика И. К. Кикона — была вручена девятикласснику из Находки С. Чередниченко. По итогам Всесоюзной оlimппады была формирована команда Советского Союза для участия в Международной оlimппаде по физике.*)

Статья о XV Международной физической оlimппаде школьников, которая проходила летом этого года в Швеции, будет опубликована в следующем номере журнала. (Прим. ред.)

В заключение желаем всем хорошо учеть и успев в покорении вершин физики.

Экспериментальный тур оlimппады по физике

Кандидат педагогических наук
В. А. ОРЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук
А. Г. РОСТОМЯН

В подготовке экспериментальных заданий заключительного типа XVIII Всесоюзной оlimппады школьников по физике принял участие преподавателя и научные сотрудники Ереванского государственного университета, Ереванского физического института и Института физических исследований АН Армянской СССР. Большую организационную помощь оказали работники Ереванского института усовершенствования учительей и Министерства просвещения Армении.

Приведем условия всех экспериментальных заданий и варианты их решения, предложенные участниками оlimппады.

8 класс

Задание 1. Определите отношение масс сосудов.

Оборудование: два произных сосуда из одинакового материала (стекла), ведро с водой, липкая лента для отметки уровней воды, груша для переливания воды.

На первом этапе решения заданий нужно было выразить отношение масс сосудов через отношение определенных объемов, а на втором этапе — найти метод определения этого отношения без использования линейки.

В один из сосудов (назовем его перым) наливаем такое количество воды, чтобы припускали этого сосуда в ведро с водой он погружался до краев, но не тонул (рис. 1). В соответствии с условиями плавания тел имеем

$$m_1 g + q_0 V_0 g = q_0 (V_0 + V_1 + V_c) g,$$

где $m_1$ — масса первого сосуда, $q_0$ — плотность воды, $V_0$ — объем воды в сосуде, $V_1$ — объем сосуда, не заполненный водой, $V_c$ — объем стекла, из которого изготовлен сосуд. Отсюда следует:

$$m_1 = q_0 (V_1 + V_c) = q_0 (V_1 + m_1 / q_c) = \frac{V_1}{1/q_c - 1/q_c},$$

где $q_c$ — плотность стекла. Аналогично для массы второго сосуда получим

$$m_2 = \frac{V_2}{1/q_c - 1/q_c}.$$

Следовательно, отношение масс

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2}.$$

Отношение объемов $V_1/V_2$ можно определить разными способами. Например, предварительно отметим липкой лентой уровни жидкости в сосудах в опытах по рисунку 1, наполним сосуд водой полностью, а из второго сосуда воды вылем. С помощью груши перелом из первого сосуда во второй объем $V_1$ и отметим уровень

53

вода в нем. Повторяем такое переливание, каждый раз отмещая новый уровень, до тех пор, пока во втором сосуде не помещится максимальное целое число объемов $V_1$. Проведем эту же процедуру, переливяя объемы $V_2$ из второго сосуда в первый. Таким образом первый сосуд будет проградирован по $V_2$, а второй — по $V_1$. Теперь, взяв из первого сосуда некоторый объем $n_1V_2$ жидкости, перелива его в пустой второй сосуди и определяем его значение по шкале второго сосуда: $n_1V_2=n_2V_1$. Тогда искомое отношение масс

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1}{n_2}.$$

О. Волков (Горький), получивший высшую оценку за решение этой задачи, определял относение $V_2/V_1$ следующим образом: с помощью груши он должен в воду в меньший (первый) сосуд до краев (от уровня $V_0$), а затем переливал этот допитый объем воды $V_1$ во второй сосуд столько раз, сколько было надо до его полного наполнения (от уровня $V_0$). Число таких переливаний и равно искомому относению $V_2/V_1$.

Абсолютный победитель олимпiadы по 8 классу М. Свердлов (Минск) решил задачу ичесе. Опуская в ведро с водой сначала большой сосуд, а затем сразу два сосуда (один в другом) и подерживая их в вертикальном положении, с помощью липкой ленты он отмещал объемы погруженной части большого сосуда (рис. 2). Из уравнения равновесия $m_2=\varrho_0V_2$ и $m_1+m_2=\varrho_0(V_1+V_2)$ получается $m_2/m_1=V_2/V_1$. Затем, наливая воду в большей сосуд до верхней отметки и переливая объем воды $V_1$ в пустой меньший сосуд, отмещался уровень воды в нем. Далее вода из объема $V_2$ отливалась порциями по $V_1$ с помощью меньшего сосуда с меткой и считалось эти порций.

Во всех случаях искомое относение масс сосудов получалось приближительно равным третьем.

Максимальное число баллов за эту задачу, кроме названных выше участников, получили А. Курmic (Рига) и Н. Адезарян (Ереван).

Задание 2. Определите сопротивления трех резисторов.

Оборудование: батарейка, два резистора с заданным сопротивлением $R_1=1$ кОм и $R_2=1,3$ кОм, три резистора с неизвестными сопротивлениями $R_3$, $R_4$ и $R_5$, миллиампертр с неизвестными пределами измерения, соединительные провода.

Решение задачи сводилось, по существу, к градировке шкалы миллиамперметра в омах, подключая его в схему, приведенную на рисунке 3. Используя два эталонных сопротивления $R_1$ и $R_2$, можно было получить две точки на шкале миллиамперметра. Так как точки оказались близкими друг к другу, можно было считать участок шкалы, прилегающий к этим точкам, приближительно линейным. Используя это, легко найти сопротивление $R_3$ неизвестного резистора, подключив его последовательное с первым резистором и определяив их общее сопротивление $R_1+R_3$:

$$R_1+R_3=1200\text{ Ом}, \Rightarrow R_3=200\text{ Ом}.$$

Аналогично определяется сопротивление $R_4$, только этот резistor нужно было подключить параллельно резистору с сопротивлением $R_2$ и определять сопротивление $R_2R_4/(R_2+R_4)$:

$$\frac{R_2R_4}{R_2+R_4}=1200\text{ Ом}, \Rightarrow R_4\approx 20\text{ Ом}.$$

Сопротивление $R_5$ определяется непосредственно, используя линейность шкалы около выделенного участка:

$$R_5=1,5\text{ КОм}.$$

Большинство решивших задачи инчете. Измерив силу тока $I_1$ и $I_2$, соответствующего резисторам $R_1$ и $R_2$ (в условиях единицах), и учитывая, что сопротивление батарейки и амperметра много меньше сопротивления этаонных резисторов, расчитываюсь напряжение батарейки (в условиях единицах), а затем по закону Ома определялись сопротивления $R_1+R_3$, $R_2R_4/(R_2+R_4)$ и $R_5$, откуда расчитывались сопротивления $R_3$ и $R_4$.

Лучшие результаты при выполнении этого задания показали Н. Адезарян (Ереван), Н. Матульёнис (Вильнюс), Г. Николашвили (Тбилис), А. Санников (Ленинград), М. Свердлов (Минск).

9 класс

Задание 1. Определите неизвестную емкость конденсатора.

Оборудование: конденсатор неизвестной емкости $C_x$, конденсатор с заданной емкостью $C_0$ ($C_x>C_0=2\text{ мкФ}$), батарейка, два резистора, сопротивления которых превышает $10^3\text{ Ом}$, два переключателя, миллиампертр и соединительные провода.

Большая часть участников пытались оценить неизвестную емкость непосредственно, сравнивая баллистические отбросы стрелки миллиампертра при подключении к прибору конденсаторов емкости $C_0$ и $C_x$, заряженный до напряжения батарейки. Однако в связи с тем, что емкость конденсатора $C_0$ мала, отброс стрелки миллиампертра был настолько малым, что погрешность измерения достигла 500 %. Такое решение оценивалось невысоко.

10. Жестков (Алма-Ата) и В. Барзикин (п. Черноголовка Московской обл.) все же использовали метод баллистического отброса, причем так, что оба отброса давал конденсатор большей емкости $C_x$ (так что погрешность измерения не выходила за допустимые пределы), заряженный до разного напряжения. Составлялась схема, приведенная на рисунке 4. Сначала конденсатор емкости $C_x$ заряжался до напряжения батарейки, и измерялся баллистический отброс стрелки $I_0$, соответствующий заряду $q_0$. Затем с помощью переключателя $K_2$ часть заряда

54

снималась на конденсатор емкостью $C_0$. Легко показать, что после $n$ переключений на неизвестном конденсаторе остается заряд $q_n = (C_x / (C_x + C_0))^n q_0$. Откуда следует:

$$\frac{C_x}{C_x + C_0} = \sqrt[n]{\frac{q_n}{q_0}} = \sqrt[n]{\frac{I_n}{I_0}}, \quad C_x = \frac{C_0}{1 / \sqrt[n]{\frac{I_n}{I_0}} - 1}.$$

где $I_n$ — отброс стрелки миллиамперметра после $n$ переключений ключа $K_2$.

Еще одно интересное решение нашел И. Линдуен (Ленинград). Им была собрана схема по рисунку 5. Предварительно определяли отношение сопротивления резисторов: $R_2/R_1 = 2$, он заряжал конденсатор емкостью $C_x$ с помощью $n$ подключений заряженного конденсатора емкостью $C_0$. При этом подбиралось такое число переключений ключа $K$, чтобы при подключении миллиамперметра ток через него не шел. Это означает, что напряжение на неизвестном конденсаторе достигла значения $U_n = U_0 R_1 / (R_1 + R_2) = U_0 / 3$. Несложно показать, что $U_n = U_0 (\alpha^n - 1) / \alpha^n$, где $\alpha = 1 + C_0 / C_x$, отсюда

$$C_x = \frac{C_0}{\sqrt{3/2} - 1}.$$

Метод, предложенный Линдуеном, дает хорошо точность, только если сопротивления резисторов определяются с малой погрешностью. Определение отношения $R_2/R_1$ с помощью отношения сил токов, изменяемых миллиамперметром, дает погрешность порядка 10%, что приводит к погрешности $\sim 100\%$ при расчете неизвестной емкости $C_x$. Существенно повышить точность изменений можно было, переставив резисторы местами и повторив опыт еще раз.

После $n$ переключений ключа $K_2$ в схеме, приведенной на рисунке 6, направление на неизвестном конденсаторе уменьшается от значения $U_0$ до $U_n$:

$$U_n = \beta^n U_0,$$

Отсюда

$$\beta^n = \frac{U_n}{U_0} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}.$$

Поменяв резисторы местами, после $n$ переключений, в результате которых показания миллиамперметра, как и в предыдущем опыте, будут равны нулю, получим

$$U_m = \beta^m U_0,$$

откуда

$$\beta^m = \frac{U_m}{U_0} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}.$$

Очевидно, что

$$\beta^n + \beta^m = 1, \beta < 1.$$

Решим это уравнение графически. Для этого построим графики зависимости $\beta^n(\beta)$ и $1 - \beta^m(\beta)$ (рис. 7). Точка пересечения графиков дает значение для $\beta$, а значит и для $C_x$:

$$C_x = C_0 \frac{\beta}{1 - \beta}.$$

И наконец, само лучшее решение предложил В. Петров (Москва). Сначала неизвестный конденсатор заряжается до напряжения батарейки $U_0$, а затем разряжается последовательным

55

подключением к нему конденсатора с емкостью $C_0$, заряженного до напряжения $U_0$ (рис. 8). При достаточно большом числе переключителя неизвестный конденсатор может перезарянить до напряжения $U_0$ (рис. 9). Полная разрядка конденсатора ($U=0$) фиксируется в тот момент, когда при замыкании ключа $K_1$ ток через миллиметр не идет. Пусть к этому моменту было совершено $n$ переключителя. Если вначале на конденсatore был заряд $Q$ и после каждого переключителя заряд изменяется на $\Delta Q_{cp}$, то

$$n = \frac{Q}{\Delta Q_{cp}} = \frac{C_x U_0}{C_0 U_0 + C_0 U_0 / 2},$$

откуда получаем

$$C_x = \frac{3}{2} n C_0.$$

Этот метод дает погрешность измерений меньше 5 %.

Задание 2. Исследуйте экспериментальное колебания эруза, подвешенное на двух нитях (маятик с бифильярным подвеском), при постоянном уеле $\gamma$ (рис. 10): а) найдите параметр, однозначно определяющий период колебаний этого эруза, путем сравнения с колебаниями математического мятника (эруза на длиной нити); б) определите зависимость перiode колебаний эруза от найденного параметра.

Оборудование: магнит к бифильярным подвеском, математический мятник, линейка и миллиметровая бумага для построения графиков.

Изменя по очереди различные параметры ($l_1, l_2, d$) бифильярного мятника и добавясь каждый раз синхронного колебания бифильярного и математического мятников, можно заменить, что длина $l$ математического мятника совпадает с отрезком $L$ вертикали, проведенной из груза до подвеска (см. рис. 10). Серия таких оптовок показывает, что параметр $L$ однозначно определяет период колебаний бифильярного подвеска.

Затем нужно было экспериментально найти зависимость перiode $T$ колебаний бифильярного мятника от параметра $L$. Поскольку ни часов, ни секундомера не было, в качестве этаона времени следовало использовать математический мятник. Не изменяя длины математического мятника ($T_0=$CONST), изменялся период колебаний бифильярного мятника при разных значениях $L$ в единицах $T_0$, для чего при каждом значении $L$ подчитывалось число колебаний $N_0$ математического мятника за некоторый промежуток времени и число $\Delta N$ попытки совпадения состояний колебаний общих мятников за это время:

$$\frac{T}{T_0} = \frac{v_0}{v} = \frac{v_0 t}{v t} = \frac{N_0}{N} = \frac{N_0}{N_0 + \Delta N}.$$

Построив графикзависимости $T/T_0$ от $L$ и $(T/T_0)^2$ от $L$, можно было убедиться в том, что $T \sim \sqrt{L}$.

Рис. 10.

За эту задачу максимальное число баллов получили В. Барзыкин (п. Черноголовка Московской области), Г. Григорьев (Киев), А. Севастянов (Северодвинск), Л. Фельдман (Саратов), Д. Ян (Ереван).

10 класс

Задание 1. Определите отношения масс эрузов и жесткости пружин.

Оборудование: два разных эруза, две разные пружины, штатив.

Поскольку в данной работе не предполагается использовать числовые часов и линейки, нужно было частоту собственных колебаний одного груза, подвешенного на одной пружине, использовать в качестве этаона для определения частоты собственных колебаний второго груза, подвешенного на второй пружине:

$$\frac{v_{11}}{v_{22}} = \frac{N_{11}}{N_{22}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2} \frac{m_2}{m_1}},$$

где $k_1$ и $k_2$ — жесткости пружин, $m_1$ и $m_2$ — массы эрузов, $N_{11}$ и $N_{22}$ — число колебаний первой и второй колебательных систем за одно и то же время $t$ (первое число в индексе показывает номер пружины, второе — номер эруза).

Для нахождения исходных отношений $k_1/k_2$ и $m_1/m_2$ необходимо еще одно уравнение. Его можно получить, поменяя грузы местами и повторив опять:

$$\frac{v_{12}}{v_{21}} = \frac{N_{12}}{N_{21}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2} \frac{m_1}{m_2}}.$$

Из полученных выражений следует:

$$\frac{k_1}{k_2} = \frac{N_{11} N_{12}}{N_{22} N_{21}}, \frac{m_1}{m_2} = \frac{N_{12} N_{22}}{N_{21} N_{11}}.$$

Подсчитать число колебаний одной системы $N_{11}(N_{12})$ и число $\Delta N_1(\Delta N_2)$ совпадений фаз колебаний общих систем, получаем расчетеные формулы:

$$\frac{k_1}{k_2} = \frac{N_{11} N_{12}}{(N_{11} + \Delta N_1)(N_{12} + \Delta N_2)},$$

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{N_{12}(N_{11} + \Delta N_1)(N_{12} + \Delta N_2)}{(N_{12} + \Delta N_2)N_{11}},$$

где $\Delta N_1$ и $\Delta N_2$ равны ±1, ±2, ±3, … Выбор знака «+» или «-» определяется из учета операции или отставания фазы второй системы от первого на ±2π, ±4π, ±6π, …

Лучшие решения представили А. Алексеев (Ленинград), А. Дешковский (Баранович), В. Каральник (Алма-Ата), И. Курников (Гатчина).

Задание 2. Определите экспериментальное положение главных фокусов оптической системы двух линз $L_1$ и $L_2$, расположенных на расстоянии $L = 10$ см друг от друга. Проверьте для этой системы применимость формулы Ньютона $x_1 x_2 = F^2$, где $x_1$ — расстояние от предмета do переднего фокуса, $x_2$ — расстояние от заднего фокуса do изображения.

Оборудование: собирающая линза $L_1$, рассеивающая линза $L_2$, вспомогательная собирающая линза $L$, батарейка, лампочка, экран, линейка, лупа для рассматривания изображений, миллиметровая бумага для построения графиков.

Положение главных фокусов оптической системы можно найти, направив параллельный пучок света вдоль главной оптической оси системы. Для этого лампочки устанавливаются в главном фокусе вспомогательной линзы.