Избранные школьные задачи

32

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Пусть K, M, N — соответственное основания высот AK, BM, CN остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
   a) треугольники AMN, BNK и CKM подобны треугольнику ABC (и между собой), при этом для каждой из них коэффициент подобия равен косинусу их общего с треугольником ABC угла;

6. AK, BM, CN — биссектрисы углов треугольника KMN.

2. a) Восьмой член геометрической прогрессии равен 10. Найди произведение всех ее членов от первого до пятнадцатого включительно.

6. Найди сумму
   $$x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots + nx^n$$

3. Пусть в треугольнике ABC точка M делит сторону AB в отношении m:n, считая от вершины B, а точка N делит сторону BC в отношении p:q, считая от вершины B. Докажите, что отношение площадей треугольника BMN и BAC равно $\frac{m}{m+n} \cdot \frac{p}{p+q}$.
4. В арфметической прогрессии
   $$S_m = S_n$$
   Найди $S_{m+n}$ (через $S_k$ обозначена сумма первых k членов прогрессии).
5. a) Пусть хорды AB и CD одной окружности пересекаются в точке E. Докажите, что $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

6. Пусть из точки E, лежащей вне окружности, проведены к ней касательная EA (A — точка касания) и секущая EBC (B и C — точки окружности). Докажите, что $EA^2 = EB \cdot EC$.

7. Могут ли две противоположные грани четырехугольной парами быть перпендикулярными основанию?
8. a) Верно ли, что сумма двух разциональных чисел равна
   $$\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{6\pi}{5} = -\frac{1}{2}$$
   Преобразуйте в произведение следующие суммы:

6. $\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \dots + \sin (n\alpha)$;
7. $\sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \sin^2 3\alpha + \dots + \sin^2 (n\alpha)$.

Десять класс
11. Пусть шар касается всех ребер tetraэдра. Докажите, что суммы длин пар его скрещивающих ребер равны.
12. Пусть плоскость пересекает боковые ребра tetraэдра так, что отношения длины соответствующих ребра равны соответствующим a/b, c/d, e/f. Докажите, что объемы отсеченного и искодного tetraэдров относится как $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}$ (сравните с задачей 3).
13. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника. Докажите, что:
a) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{3}{2}$;
6) $\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\beta}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2} \leq \frac{1}{8}$.
14. Постройте графики функций:
a) $y = \cos(\arccos x)$;
6) $y = \cos(3\arccos x)$;
b) $y = \arcsin(\sin x)$.
15. Пусть все плоские углы при одной из вершин tetraэдра примыли. Докажите, что эта вершина, точка пересечения медиан противоположной еггине и центр описанного около tetraэдра шара лежат на одной прямой.
Публикацию подготовил Ж. М. Работ