Три решения одной задачи

29

Математика 8,9,10

Публикуемая ниже заметка «Об одном способе решения некоторых уравнений» представляет возможность дедеции в каждой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указанных классов.

Об одном способе решения некоторых уравнений

Рассмотрим следующую задачу:

1. Решите уравнение
   $$(2x-1)\sqrt{x-2}=7\sqrt{2}.$$
   (1)

Традиционное возведение обеих частей в квадрат приводит к кубическому уравнению
$$4x^3-12x^2+9x-100=0,$$
и большимство решающих пробут найти другой способе уравнения задачи.

Наверное, многие договорались, что можно попытаться найти один из корней уравнения, приравняя соответствующие множители:
$$\begin{cases} 2x-1=7, \\ \sqrt{x-2}=\sqrt{2}, \end{cases}$$
откуда $x=4$.

К сожалению, передко на этом останавливаются и выписывают ответ. В итоге решения содержит грубейшую ошибку, несмотря на правильный ответ: мы «угадали» (единистенный) корень уравнения, но не доказали, что больше корней нет.

В данном случае легко доказать, что других корней уравнения (1) не имеет, так как при $x>4$ имеем $2x-1>7$, $\sqrt{x-2}>\sqrt{2}$ и левая часть больше правой, а при $x<4$ (из области определения уравнения) $2x-1<7$, $\sqrt{x-2}<\sqrt{2}$, поэтому левая часть меньше правой.

Еще раз подчерким, что решение состоит из двух частей:

1. мы «угадываем» корень (или корни) уравнения;
2. доказываем, что больше корней уравнение не имеет.

Заметим, что примененный для решения (1) способ уравнения корней пригоден и в случае, когда вместо произведения в уравнения взята сумма. Например, в такой задаче:
2. Решите уравнение:
$$2x+\sqrt{x-2}=8+\sqrt{2}.$$

Число множителей (слагаемых) в подобных задачах может быть и большим; при этом неокоторые из множителей следует положить равными 1, как, например, в следующей задаче:
3. Решите уравнение:
$$(2y-1)\sqrt{y-2}\sqrt{y-3}=7\sqrt{2}.$$
Отметим, что способы угадавания корней могут быть разными. Рассмотрим, например, следующую задачу:
4. Решите уравнение:
$$2a+\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}=9+\sqrt{2}.$$
(2)

Естественно предположить, что $\sqrt{a-2}=\sqrt{2}$, откуда $a=4$. После этого легко проверить, что при $a=4$
$$2a+\sqrt{a-3}=2\cdot4+\sqrt{1}=9.$$

Докажем теперь (аналогично задаче 1), что других корней уравнения (2) не имеет:

1. При $a>4$ имеем $2a>8$, $\sqrt{a-2}>\sqrt{2}$, $\sqrt{a-3}>1$, поэтому левая часть больше правой;
2. при $a<4$ (из области определения уравнения) левая часть меньше правой.

В. Е. Ольхов

Три решения одной задачи

Часто следует так, что мы не довоим своих рассуждений до конца и отказывемся от идеи, которые у нас возникют. В данной задаче на примере одной задачи показывается, как разные идеи, далеко друг от друга в начальных стадиях, могут привести к целю, если проявить настоящийость в понисках решения.

Задча. Построите прямуюольный треугольник по zипотенуze и bicсекtrице прямого уела.

Задча на вид сравнительно простая, но решить ее «с ходу» не удалось.

Как известно, решение задача на построение состоит из 4 пунктов: 1) анализ,

30

2. построение, 3) доказательство, 4) исследование. Мы начем с исследование, общего для всех трех способов решения задач. Пусть $c, l_c, m_c, h_c$ — длины соответствующего гипotenузы и проведенных из вершины прямого угла биссектрисы, медианы и высоты. В прямогольном треугольнике имеем $m_c = c/2 = R$, где $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Биссектриса $CD$ угла $C$ (рис. 1) проходит через точку $K$ — середину дуги $AB$. Поэтому (если $|AC| \neq |BC|$) она лежит между медианой и высотой, и ее проекция на гипotenузу меньше, чем проекция медианы на гипotenузу. Отсюда вытекает неравенство $h_c \leq l_c \leq m_c = c/2$ (равенства достигаются для равноведренного треугольника). Поэтому при $l_c > c/2$ решений нет, при $l_c \leq c/2$ решение существует и единственно.

Отметим, что при $l_c = c/2$ треугольник — равноведренный, в этом случае построение и доказательство оченьный. В дальнейшем мы будем предполагать, что $l_c < c/2$ (и треугольник равноведренный).

Первая идея. Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит в середине энотенузы, а биссектриса прямого угла проходит через середину дуги (полукругжности) $AB$, не содержащей точки $C$. Будем рассматривать треугольник вписанным в окружность. Тогда, возможно, удаться найти зависимость между даними и элементами, возникающими на чертеже, вытекающие из свойств треугольника, вписанного в окружность.

Аналіз. Пусть треугольник $ABC$ искомый. Опишем вокруг него окружность (см. рис. 1). Пусть $M$ и $K$ — точки пересечения окружности и ее diamетра,

$$\begin{align*} \perp &= \perp \\ M &= M \\ K &= K \end{align*}$$

перpendикулярного $AB$. Тогда дуги $AK$ и $KB$ равны, поэтому $CK$ — биссектриса угла $C$. Треугольник $MCK$ — прямоугольный. Очевидно, что для решения задачи достаточно выразить длину отрезка $CK$ через $c$ и $l_c$.

Треугольники $MCK$ и $KOD$ подобны по двум углам. Обозначим длину отрезка $DK$ через $x$. Тогда

$$\frac{|CK|}{|KM|} = \frac{|OK|}{|DK|} \text{ или } \frac{l_c + x}{c} = \frac{c/2}{x},$$

откуда $x^2 + l_c x - c^2/2 = 0$. Поэтому,

$$x = -l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$$

(ясно, что подходит только положительный корень уравнения). Далее

$$|CK| = l_c + x = l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}. \tag{1}$$

Построение. Построим отрезок $d = \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$ как гипotenузу прямого треугольника с катетами $l_c/2$ и $c/\sqrt{2}$, затем отрезок $l_c/2 + d$. После этого построим прямой треугольник $CMK$ по гипotenузе $|MK| = c$ и катету $|CK| = l_c/2 + d$ проведем окружность диаметра $MK$ и построим диаметр $AB$ этой окружности, перpendикулярный диаметр $MK$. Треугольник $ABC$ искомый (см. рис. 1).

Доказательство. По построению $|AB| = c, MK$ и $AB$ — взаимно перpendикулярные diamетры, поэтому $AK = KB = 90^\circ, ACK = KCB = 45^\circ$, то есть $CK$ — биссектриса (прямого) угла $C$. Осталось показать, что $|CD| = l_c$, где $D$ — точка пересечения отрезков $CK$ и $AB$.

Проведем доказательство методом от противного. Пусть, например, $|CD| = f > l_c$. Тогда в треугольнике $ABC$ длина гипotenузы равна $c$, а биссектрисы $CD - f$, поэтому согласно (1)

$$|CK| = \frac{f}{2} + \sqrt{\frac{f^2}{4} + \frac{c^2}{2}} > \frac{l_c}{2} +$$

$$+ \sqrt{\frac{l_c^2}{4} + \frac{c^2}{2}} = |CK|$$

(по построению), противоречие. Аналогично рассматривается случай $|CD| = f < l_c$.

При изложении второго и третього способов решения задачи мы ограничим только анализ. Построение и доказательство проведите самостояльно.

Вторая идея. А не связан ли искомый треугольник с другими треугольниками, имеющими с ним общие элементы,