Об одном способе решения некоторых уравнений

29

Математика 8,9,10

Публикуемая ниже заметка «Об одном способе решения некоторых уравнений» представляет возможность дедеции в каждой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указанных классов.

Об одном способе решения некоторых уравнений

Рассмотрим следующую задачу:

1. Решите уравнение
   $$(2x-1)\sqrt{x-2}=7\sqrt{2}.$$
   (1)

Традиционное возведение обеих частей в квадрат приводит к кубическому уравнению
$$4x^3-12x^2+9x-100=0,$$
и большимство решающих пробут найти другой способе уравнения задачи.

Наверное, многие договорались, что можно попытаться найти один из корней уравнения, приравняя соответствующие множители:
$$\begin{cases} 2x-1=7, \\ \sqrt{x-2}=\sqrt{2}, \end{cases}$$
откуда $x=4$.

К сожалению, передко на этом останавливаются и выписывают ответ. В итоге решения содержит грубейшую ошибку, несмотря на правильный ответ: мы «угадали» (единистенный) корень уравнения, но не доказали, что больше корней нет.

В данном случае легко доказать, что других корней уравнения (1) не имеет, так как при $x>4$ имеем $2x-1>7$, $\sqrt{x-2}>\sqrt{2}$ и левая часть больше правой, а при $x<4$ (из области определения уравнения) $2x-1<7$, $\sqrt{x-2}<\sqrt{2}$, поэтому левая часть меньше правой.

Еще раз подчерким, что решение состоит из двух частей:

1. мы «угадываем» корень (или корни) уравнения;
2. доказываем, что больше корней уравнение не имеет.

Заметим, что примененный для решения (1) способ уравнения корней пригоден и в случае, когда вместо произведения в уравнения взята сумма. Например, в такой задаче:
2. Решите уравнение:
$$2x+\sqrt{x-2}=8+\sqrt{2}.$$

Число множителей (слагаемых) в подобных задачах может быть и большим; при этом неокоторые из множителей следует положить равными 1, как, например, в следующей задаче:
3. Решите уравнение:
$$(2y-1)\sqrt{y-2}\sqrt{y-3}=7\sqrt{2}.$$
Отметим, что способы угадавания корней могут быть разными. Рассмотрим, например, следующую задачу:
4. Решите уравнение:
$$2a+\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}=9+\sqrt{2}.$$
(2)

Естественно предположить, что $\sqrt{a-2}=\sqrt{2}$, откуда $a=4$. После этого легко проверить, что при $a=4$
$$2a+\sqrt{a-3}=2\cdot4+\sqrt{1}=9.$$

Докажем теперь (аналогично задаче 1), что других корней уравнения (2) не имеет:

1. При $a>4$ имеем $2a>8$, $\sqrt{a-2}>\sqrt{2}$, $\sqrt{a-3}>1$, поэтому левая часть больше правой;
2. при $a<4$ (из области определения уравнения) левая часть меньше правой.

В. Е. Ольхов

Три решения одной задачи

Часто следует так, что мы не довоим своих рассуждений до конца и отказывемся от идеи, которые у нас возникют. В данной задаче на примере одной задачи показывается, как разные идеи, далеко друг от друга в начальных стадиях, могут привести к целю, если проявить настоящийость в понисках решения.

Задча. Построите прямуюольный треугольник по zипотенуze и bicсекtrице прямого уела.

Задча на вид сравнительно простая, но решить ее «с ходу» не удалось.

Как известно, решение задача на построение состоит из 4 пунктов: 1) анализ,