Задачи М891—М895; Ф903—Ф907

35

Задчи

М891 — М895, Ф903 — Ф907

М891. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равноведенный.

А. А. Муратов

М892. a) Докажите, что среди чисел $2^m+2^k$, а также среди чисел $3^m+3^k$ бесконечно много квадратов, а среди чисел $4^m+4^k$, $5^m+5^k$ и $6^m+6^k$ нет ни одного квадрата целого числа (здесть $m$ и $k$ — натуральные числа, $m \neq k$).

6)* Есть ли квадраты среди чисел $7^m+7^k$?

А. И. Зайчик

М893. Каждый два из $n$ блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый их этих проводов покрыть в один из $n-1$ цветов так, чтобы от каждой блока отходило $n-1$ проводов разного цвета, если $n=6$; 6) $n=13$?

В. Б. Алексеев

М894. a) Сумма пяты неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяты попарных произведений соединенных чисел не превысодлина 1/5.

6)* По кругу расставлено $n \geqslant 4$ неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что сумма всех $n$ попарных произведений соединенных чисел не превысодлина 1/4.

С. Б. Гашков, А. Н. Драницников

М895*. Докажите, что площадь сечения куба плоскостю, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади куба. Расмотите случан, когда это сечение a) треугольник, 6) четырехугольник. В) Докажите, что в случае a) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше площади куба.

С. Б. Гашков, И. Ф. Шарыцин

Ф903. На верхней образуующей главного цилиндра радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, укреплена гибкая невесомая вервка длины $l$ (рис. 1). К другому концу вервки прикреплен небольший груз. Определить:

1. длину свисающей части вервки в положении равновесия груза;
2. период малых колебаний груза в вертикальной плоскости, параллельной оси цилиндра.

С. С. Кротов

36

Ф904. Сферу радиуса $R$, составленную из двух одинаковых плотности пригнанных тонкостенных полусферм массы $m$ каждый, наполняют жидкость с плотностью $\rho$.

1. Какую вертикальную силу надо приложить к нижней полусферме, чтобы жидкость не выливаясь, если верхняя сфера закреплена (рис. 2)?
2. С какой силой надо сжимать левую и правую полусферры (рис. 3), чтобы жидкость не выливаясь?

Л. Г. Маркович

Ф905. Тонкостенный заполенный газом цилиндр массы $M$ с высотой $H$ и площадью основания $S$ плавает в воде (рис. 4). В результате потери термического в нижней части цилиндра его глубина погружения увеличилось на $\Delta H$. Каково было начальное давление газа в цилиндре? Атмосферное давление $p$, температура не меняется.

О. Ю. Никшина

Ф906. Проводник, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику постоянного напряжения $U$. Сопротивление проводника меняется в зависимости от температуры по закону $R = R_0(1 - \mu t)$, где $R_0$ — сопротивление при $t = 0^\circ C$, $\mu > 0$. Определить установившуюся температуру проводника, если температура окружающей среды равна $0^\circ C$, а тепловая мощность, выделяемая проводником в окружающей среду, равна $W = b \cdot \Delta t$, где $\Delta t$ — разность температур проводника и среды. Изменением размеров проводника из-за теплового расширения пренебречь.

Р. Ю. Винокур

Ф907. Два металлических шара массы $m$ каждый с радиусами $r$ и $2r$ помещены в электрическое поле, направенно которой направлена от большого шара к меньшему и равна $E$. Расстояние между центрами шаров равно $R_0 = 4r$. Большой шар несет заряд $q\left(k \frac{q}{r^2} \ll E\right)$, малый шар не заряжен. Шарыотпускают. Время между первым и вторым соударенными шаров равно $t$. Найти время между $n$-ым и $(n+1)$-ым соударениями и пути, которые проидут шары между этим соударениями. Чему равно среднее ускорение шаров за достаточно большой промежуток времени? Соударения считать абсолотно упругими.

А. А. ЛанUDEC

Problems
M891 — M895; P903 — P907

M891. A circle touches two sides of a triangle and two of its medians. Prove that this triangle is isosceles.

A. A. Muratov

M892. a) Prove that there are infinitely many squares of integers among the numbers $2^m + 2^k$ and also among the numbers $3^m + 3^k$, but there are no squares