Họ viết thư cho chúng tôi

58

(làm từ vật liệu đồng nhất) càng thấp càng tốt?

khóa học III

1. Xe chứa 60 container gồm 3 loại: loại thứ nhất nặng 0,5 tấn mỗi chiếc, loại thứ hai - 0,4 tấn, loại thứ ba - 0,3 tấn. Giá của một container mỗi loại lần lượt là 800.700 và 600 rúp. Tổng trọng lượng container là 25 tấn. Tìm tổng chi phí của họ.

2. Trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC, lấy các điểm K, L, M sao cho AK:KB = BL:LC = CM:MA = 2. Diện tích tam giác ABC lớn hơn diện tích tam giác KLM bao nhiêu lần?

Naimpit

Biên tập viên của tạp chí đã nhận được một lá thư từ giáo viên V. G. Baul của Đại học quốc gia Moscow. Anh ấy thu hút sự chú ý của chúng ta đến một cụm từ trong bài báo “Bài toán để so sánh các số” («Kvant», Số 2, trang 25): “một con số khổng lồ như vậy (chúng ta đang nói về con số 1986) … không máy tính nào trên thế giới có thể tính toán được”.

Bức thư chứa một chương trình với sự trợ giúp của một máy tính gia đình để tính tất cả 6550 chữ số của số 1985^{1986}, hơn 1986^{1985}, trong ba phút. Đây là 400 chữ số đầu tiên của nó:

$$1985^{1986} = 6060536781938122129935577405810$$
$$1706803770967881670988684242464519852023$$
$$0657158223690545643526062929121017582677$$
$$5818575294168144641015796954620596573211$$
$$7143114344139374724738173374162794987109$$
$$0083837446931844413747934279943692567389$$
$$8510929687523512431089566356226432328533$$
$$9041459720048602306720872973869468440323$$
$$2104009956095155438800528759632404326846$$
$$1137926434459089798584173784903023136766$$
$$345497636...$$

Đáp số, gợi ý, lời giải

Một chút về nhiệt kế và nhiệt kế của Ferdininade

Trong nhiệt kế thứ hai, sự giãn nở nhiệt của nước đóng vai trò quan trọng. Vì chất độn nhiệt này chứa đầy nước và bịt kín nên khi đun nóng, nước có thể nở ra, chỉ chiếm chỗ của không khí trong hình nón (không khí không thể chống lại áp suất của nước, vì độ nén của nước nhỏ hơn nhiều lần so với không khí). Kết quả là, khi nhiệt độ tăng lên, lực đẩy của các mạch chia thành các mạch giảm đi và chúng chìm xuống đáy.

Đáp số cho câu hỏi thứ hai. Nhược điểm của việc sử dụng nhiệt kế nước ở nhiệt độ gần 0°C là do sự giãn nở nhiệt bất thường của nước.

Khối phụ trợ

1. 2 cung $\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sin \gamma}\right)$ (xem hình 1). Đáp số có ​​thể được viết dưới dạng arccos ($\text{ctg}^2 \gamma$).
2. 60° (xem hình 2).
3. arccos $\frac{18-\sqrt{2}}{20}$ (xem hình 3).
4. arctg $\left(\frac{\sqrt{37+\sqrt{6}\sqrt{2}}}{2}\right)$. Khoảng cách hai trường hợp (hình 4).
5. $\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{6}\sin \varphi}$. Thật thuận tiện khi định vị khối tứ diện SABC như trong hình 5: các đoạn AC và BD hướng dọc theo các cạnh của hình lập phương phụ, đỉnh S liền kề với mặt bên.

59

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học

Tùy chọn 1

1. {2; 2/9, Gợi ý. Theo định lý Vieta 5x₂ = a + 3, 4x₂² = 2a.
2. x₁ = π/12 + kπ/6; x₂ = (-1)ᵉπ/24 + nπ/4 (k, n ∈ Z).
3. 3. Gợi ý. Gọi MN là đường trung bình của hình thang ABCD, N là trung điểm của AB. Chứng minh rằng hai tam giác AMN và BMN là cân (|AN| = |NM| = |BN|), và AMB = 90°.
4. ] - ∞; -2 log₅ 2] ∪ [-log₅ 3; 0] ∪ log₅ 3; +∞.
5. √(2/11-4√2). Gợi ý. Gọi M và N là giao điểm của mặt phẳng β với các cạnh BD và BC, K là trung điểm của CD, L là giao điểm của MN và BK. Tam giác BMN tạo thành một phần men của diện tích mặt BCD. Xác định các giá trị của |BL|. Chứng minh rằng khoảng cách cần tìm bằng chiều cao của tam giác ABL rơi từ đỉnh B.

Tùy chọn 2

1. Số đầu tiên lớn.
2. {(1; 2), (-1; 6), (√2; 4-√2), (-√2; 4+√2)}.
3. 3:1. Gợi ý. Vẽ đường thẳng qua N song song với các đáy; để nó cắt AM tại điểm L. Sử dụng các tam giác đồng dạng BMK và KLN, chứng minh rằng |ML| = 3 |KM| = 3/4 |Sáng|.
4. x₁ = -π/32 + kπ/4; x₂ = π/40 + nπ/5 (k, n ∈ Z),
5. arctan 2√13/3. Gợi ý. Cho mặt phẳng π cắt các đường thẳng CC’ và BC lần lượt tại các điểm K và P. Xác định |CK| và |CP|. Chứng minh rằng góc KLC của tam giác vuông KLC, trong đó ‘CL’ là đường cao hạ xuống từ đỉnh C trong tam giác DPC, là góc cần tìm.
   Vật lý
   Tùy chọn 1
6. F_min = F/1 - S₂/S₁.
7. Q = C₂(C₁ + C₃)/C₁ + C₂ + C₃/2. Gợi ý. Khi đặt điện áp, các tụ điện có tổng điện tích q = C₂U và được mắc song song.
8. Xem lời giải bài toán F978 từ “Bài toán Kvant” sẽ được xuất bản sau.
9. Người quan sát đứng trên Trái Đất sẽ nhìn thấy Thời gian Mặt Trời t sẽ tác động đến Trái Đất quay một góc α (hình 6):
   t = α/ω = BOA/2π/T ≈ √2h/R/2π/T ≈ 15 phút
   (ở đây h = 10 km, R = 6,4·10³ km, T = 1 ngày). Bằng cách thay R bằng R cos φ, chúng ta có thể tính đến vĩ độ φ.
10. Khi một khối được đặt trên hai con lăn, lực ma sát tác dụng lên nó từ con lăn nêm B (hình 7) có xu hướng làm khối quay theo chiều kim đồng hồ. Kết quả là áp lực lên con lăn bên phải (thấp) sẽ lớn hơn ở bên trái (trên). Do đó, trong trường hợp thứ nhất lực ma sát sẽ nhỏ hơn trong trường hợp thứ hai. Nếu khối bắt đầu trượt thì do trọng tâm di chuyển sang phải nên phản lực N và do đó lực ma sát F_TP tác dụng lên con lăn bên trái sẽ giảm và ở con lăn bên phải sẽ tăng lên. Đó là lý do tại sao khối sẽ không thể dừng trong trường hợp đầu tiên mà sẽ dừng ở trường hợp thứ hai.

Tùy chọn 2

1. R_V = R²/r.
2. Với l < F lời giải không, với F < l < R + F khoảng cách d = lF/(l - F), với l > R + F có hai lời giải (hình 8): d₁ = lF/(l - F) và d₂ = (l - R)F/(l - R - F).
3. ω = √2k(1 - √2/3)/(M - m).
4. Xem lời giải bài toán F982 từ “Bài toán Kvant” sẽ được xuất bản sau.
5. Khi lắc, do bề mặt tiếp xúc của nước nóng với không khí trong bình tăng lên đáng kể, không khí nóng lên nhanh chóng dẫn đến áp suất của nó tăng lên. Ngoài ra, sự bay hơi của nước tăng mạnh và áp suất hơi nước đáng chú ý được thêm vào áp suất không khí. Kết quả là quả bóng phồng lên. Do đó, không khí và hơi nước ngưng tụ, áp suất tăng lên và quả bóng co lại về kích thước. Sau đó, mọi thứ được lặp lại, nhưng ở nhiệt độ thấp hơn nên ít rõ rệt hơn.

60

Đại học bang Kiev
họ. T. G. Shevchenko

Toán học
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. $\frac{3}{2}\left(1-\ln \frac{3}{2}\right)$. 2. $x=\pm \frac{3\pi}{2}+4k\pi$ ($k\in\mathbf{Z}$).
2. $\frac{a^4 r}{2\sqrt{3}\left(a^2-12r^2\right)}$.
3. 2 tại $a=0, |a|>2$;
   3 tại $|a|=2, |a|=\sqrt{3}$;
   4 lúc $0<|a|<\sqrt{3}, \sqrt{3}<|a|<2$.
4. $-\frac{1}{2}\leq a<0$.

Tùy chọn 2

1. $y_{\min}=\frac{1}{4}, y_{\max}=\frac{1}{2}$.
2. $x=(-1)^k \frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
3. 17, 10, 3 và 8, 10, 12.
4. $\left[\frac{1}{8};\frac{1}{4}\right]\cup\left[2;4\right]$.
5. 2 arctg 3.

Tùy chọn 3

1. $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
2. $y_{\min}=-2, y_{\max}=18$.
3. $-\infty; \log_{9/4}\frac{7}{9}\left[\cup\right]\log_{9/4}\frac{15}{14}; \infty$.
4. $a=-1, a=3$.
5. $\frac{125}{32}v$.

Tùy chọn 4

1. $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

2. $x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbf{Z}$.

3. $-1-\frac{1}{\sqrt{2}}; -1\left[\cup\right]-1; -1+\frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. $y_{\min}=y(-1)=-2$.

5. $90^\circ$.

Tùy chọn 5

1. $x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}, k\in\mathbf{Z}$.
2. Trên các khoảng $]-\infty; -1[$ và $]2; \infty[$, hàm số tăng và trên khoảng $]-1; 2[$ hàm số giảm.
3. $\frac{26}{15}$. 4. $x\in]-\infty; -3[$.
4. $\arcsin \frac{p-s}{s}$.
   Bài toán thi vấn đáp
5. a) cấp số nhân có giá trị $\frac{1}{3}$; 6) cấp số nhân với giá trị $\frac{1}{27}$ và số hạng đầu tiên $\frac{4}{3}\pi r_1^3$; c) $\frac{6}{13}$.
6. $\{(x; y; 0), x\in R, y\in R; (1; 2; 3)\}$.
7. Nếu $b\leq 2a$ thì bất đẳng thức không có lời giải. Đối với $b>2a$ lời giải các bất đẳng thức tạo thành khoảng $\left[\frac{b}{2}; b-a\right]$. Đặc biệt, đây sẽ là khoảng [1; 5], nếu $a=-3, b=2$.
8. $]0; 3]\cup[4; 5]$.
9. a) nửa mặt phẳng; 6) một tập hợp các đoạn thẳng $y=x+n, n\in\mathbf{Z}$, có điểm cuối là các dòng $y=0$ và $y=1$.
10. Diện tích nhỏ nhất là hình tam giác liền kề với đáy nhỏ hơn của hình thang. Tam giác kề cạnh đáy lớn của hình thang có diện tích $\frac{b^2}{a^2}S$. Các hình tam giác liền kề với các cạnh của hình thang có kích thước bằng nhau. Diện tích của mỗi cái là $\frac{b}{a}S$.
11. $r\frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}; r\frac{1-\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}$.
12. $\arccos\left(\text{ctg}\frac{\pi}{n}\text{tg}\frac{\alpha}{2}\right)$.
13. 2 arcsin $\frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}$.
14. $\left[0; \frac{3}{2}\right]\cup[3; 6]$.
15. $y_{\max}=y(2)=3, y_{\min}=y(0)=-1$.
16. $x=5, x=k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
17. 4. KHÔNG.
18. $a\geqslant\frac{3}{2}$.

Vật lý
Khoa Vật lý

1. $\tau_0=\frac{s}{g\tau}-\frac{\tau}{2}=4c; s_0=\frac{g\tau_0^2}{2}=80$ m.

62

6. xem hình 13; c) xem hình 14.

8. a) {(625; 3); (125; 4)}; 6) {(4; 1)}.

Vật lý

1. $F = 4/3mg$ tg $\alpha$.
2. $\alpha > 60^\circ$.
3. $H_1 = 5/3R; H_2 = 5/2R$.
4. $v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2}$;
   $v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2}$.
5. $E_T = mgh\mu$ tg $\alpha$.
6. $A = kx^2/2 = 15$ J.
7. Chu kỳ bình sẽ giảm $\sqrt{\rho_1/\rho_2} \approx 1,8$ lần.
8. $H_{\max} = \sigma_{\pi p}/(\rho g) \approx 167$ m; $\varepsilon_{\max} = \sigma_{\pi p}/E = 0,001$.
9. $t_B = t_1 + \frac{C(t_1 - t_2)}{c_B m} = 32,5^\circ\text{C}$ (ở đây $c_B = 4200$ J/(kg K) là nhiệt dung riêng của nước).

Trường học yêu thích bài toán
(xem «Kvant» số 4)

1. -1. Gợi ý. Bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh, hãy chuyển biểu thức này thành dạng
   $$\frac{1}{2}(2x - y + 1)^2 + \frac{1}{2}(3y + 1)^2 - 1.$$
   Giá trị nhỏ nhất là -1 và đạt được ở $x = -\frac{2}{3}, y = -\frac{1}{3}$.
2. 167166500. Lời giải. Chúng ta hãy chuyển số tiền này bằng đẳng thức $k(k + 2) = \frac{(k + 2)^3 - k^3 - 8}{6}$:
              $$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + 999 \cdot 1001 = \frac{3^3 - 1^3 - 8}{6} + \frac{5^3 - 3^3 - 8}{6} + \frac{7^3 - 5^3 - 8}{6} + \dots + \frac{1001^3 - 999^3 - 8}{6} = \frac{1001^3 - 1^3 - 500 \cdot 8}{6} = \frac{1002999000}{6} = 167166500.$$
3. 76. Gợi ý. 1001 = 7 11 13 nên mọi thừa số của 1001 là 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.
4. a) $\sqrt{r_1^2 + r_2^2};$ 6) $\sqrt{P_1^2 + P_2^2}$. Lời giải. Hãy đặt $a = BC, b = AC, c = AB$. Tam giác ACD và BCD đồng dạng với tam giác ABC và hệ số tương tự lần lượt là $b/c$ và $a/c$.
   a) Nếu $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì $r_1 = br/c$ và $r_2 = ar/c$.
   Vì vậy $r_1^2 + r_2^2 = (br/c)^2 + (ar/c)^2 = \frac{b^2 + a^2}{c^2}.r^2 = r^2$.

6. Nếu $P$ là chu vi của tam giác ABC thì $P_1 = bP/c$ và $P_2 = aP/c$; do đó $P_1^2 + P_2^2 = (bP/c)^2 + (aP/c)^2 = \frac{b^2 + a^2}{c^2}P^2 = P^2$.

5. $2a^2$. Gợi ý. Đặt $MA = x, MB = y, MC = z$, trong đó $M$ là một điểm của đường tròn ngoại tiếp, tìm tổng $x^2 + y^2 + z^2$, áp dụng định lý cosine ba lần.
6. $x_1 = x_2 = \dots = x_{10} = 1$. Lời giải. Tổng của tất cả các phương trình bằng $55x_1 + 55x_2 + \dots + 55x_{10} = 550$, do đó $x_1 + \dots + x_{10} = 10$. Sự khác biệt giữa phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất là $9x_1 - x_2 - \dots - x_{10} = 0$. Cộng hai phương trình này, ta được $10x_1 = 10$, tức là $x_1 = 1$. Tương tự, chúng tôi tìm thấy $x_2, \dots, x_{10}$.
7. Lời giải. Hãy áp dụng một phần herabenity cho $xyz$ và cắt tất cả các số hạng ở vế trái. Bất đẳng thức sẽ có dạng
   $$\frac{1}{z^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} - \frac{1}{yz} - \frac{1}{xz} - \frac{1}{xy} \geq 0,$$
   đó là
   $$\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{x}\right)^2 + \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^2 + \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{z}\right)^2\right] \geq 0.$$
8. Gợi ý. Vận dụng định lý cosine và tính chất phân giác của một tam giác.
9. Gợi ý. Nếu bạn cắt một hình tam giác song song với hai cạnh đối diện thì mặt cắt ngang sẽ tạo thành hình bình hành (xem hình 15). Nếu mặt phẳng này di chuyển từ cạnh này sang cạnh khác thì một cặp cạnh sẽ tăng từ 0 lên $b$ và cặp cạnh còn lại sẽ giảm từ $a$ xuống 0 (a và b là độ dài của các cạnh được chọn). Điều này có nghĩa là trong một khoảng thời gian nào đó

63

Trong một tình huống khủng khiếp, độ dài của tất cả các cạnh của hình bình hành sẽ bằng nhau, nghĩa là hình bình hành sẽ trở thành hình thoi.

10. $x = \frac{2\sqrt{2} + 1}{2}$. Gợi ý. Viết lại phương trình này ở dạng $t^2 - 1 = [t]$, trong đó $t = \frac{2x - 1}{2}$ và thay thế bằng $t < 1$ và $t \geq 2$ đẳng thức là không thể. Vì vậy, $1 \leq t < 2$. Trong trường hợp này, $[t] = 1$ và phương trình trở thành $t^2 = 2$.

11. $\{(0; 0), (3; 3), (-3; -3), (\sqrt{5}; -\sqrt{5})$,
    $(-\sqrt{5}; \sqrt{5}), \left(\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}\right)$,
    $\left(\frac{-\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}; \frac{-\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}\right)$,
    $\left(\frac{-\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}; \frac{-\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}\right)\}$. Gợi ý.

Bằng cách cộng và trừ các phương trình của hệ, bạn sẽ có được hệ
$$\begin{cases} (x + y)(x^2 - xy + y^2 - 9) = 0, \\ (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 5) = 0, \end{cases}$$

tương đương với một bộ bốn hệ, mỗi hệ đều có thể giải được dễ dàng.

12. $|BD| = \frac{|BC| + |AB| - |AC|}{2}$. Gợi ý.

Lợi dụng thực tế là các đoạn tiếp tuyến vẽ thành đường tròn từ một điểm, nằm giữa điểm này và các điểm tiếp tuyến, đều bằng nhau.

Có thể chứng minh $D$ là điểm tiếp tuyến trên cạnh $BC$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

13. $\left\{\frac{5}{4}; \frac{5}{3}\right\}$. Gợi ý. Bình phương cả hai vế của phương trình và thực hiện đổi biến $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

14. $(mn(m + 1)(n + 1))/4$. Gợi ý. Có thể chọn một cặp đường ngang

Hình 17.

$(m(m + 1))/2$ cách; tương tự, có thể chọn một cặp đường thẳng đứng theo $(n(n + 1))/2$ cách.

15. Mặt phẳng $A'C'D$ (xem hìnhok 16) phải nằm ngang. Gợi ý. Diện tích hình chiếu trực giao của hình song song $ABCDA'B'C'D'$ trên mặt phẳng nằm ngang bằng hai lần hình chiếu của tam giác $A'C'D$.

Lượng tử dành cho học sinh nhỏ tuổi
(xem «Kvant» số 4)

1. Sau lần vượt biển đầu tiên, du khách vẫn còn 2/3 chặng đường phải đi; sau lần chuyển đổi thứ hai, anh ta còn 2/3 phần còn lại để đi, tức là 2/3 2/3 2/3 = 8/27 của toàn bộ đường đi. Như vậy, 32 km là 27/8 của toàn bộ hành trình. Từ đây toàn bộ hành trình là 108 km.

2. 12·5 = 60 bài toán được in mỗi năm. Đến đầu năm 1970, 0 bài toán đã được in nên đến đầu năm đánh số $K$ sẽ có 60·(K - 1970) bài toán được in. Nếu $K$ là năm mong muốn thì 60·(K - 1970) < K, và 60·(K + 1 - 1970) > K. Do đó

$$60 \cdot 1969 < 59K < 60 \cdot 1970,$$

đó là

$$2002 \frac{22}{59} < K < 2003 \frac{23}{59}.$$

Số nguyên duy nhất thỏa mãn là số 2003. Như vậy, sự kiện này (số toán học bài toán trong “Bài toán «Kvant»” bằng với năm của