Нам пишут

58

(сделанной из однородного материала) был как можно ниже?

III курс

1. В вагоне находится 60 контейнеров трех типов: контейнеры первого типа весит 0,5 тонны каждый, второго типа — 0,4 тонны, третьего типа — 0,3 тонны. Стоимость одного контейнера каждого типа — соответствен 800,700 и 600 рублей. Общий вес контейнеров — 25 тонн. Найдите их общую стоимость.

2. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки K, L, M так, что AK:KB = BL:LC = CM:MA = 2. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника KLM?

Наимпит

В редактию журнала поступило письмо от преподавателя МГУ В. Г. Баула. Он обращает наше внимание на фразу из статьи «Задачи на сравнение чисел» («Квант», № 2, с. 25): «такое огромное число (речь идет о числе 1986) … не может вычислить ни одна ЭВМ в мире».

В письме содержится программа, с помощью которого отечественная ЭВМ за три минуты вычислила все 6550 цифр числа 1985^{1986}, больше чем 1986^{1985}. Вот его первые 400 цифр:

$$1985^{1986} = 6060536781938122129935577405810$$
$$1706803770967881670988684242464519852023$$
$$0657158223690545643526062929121017582677$$
$$5818575294168144641015796954620596573211$$
$$7143114344139374724738173374162794987109$$
$$0083837446931844413747934279943692567389$$
$$8510929687523512431089566356226432328533$$
$$9041459720048602306720872973869468440323$$
$$2104009956095155438800528759632404326846$$
$$1137926434459089798584173784903023136766$$
$$345497636...$$

Ответы, указания, решения

Немного о термометре и о термоскопе Фердининада

Во втором термоскопе важную роль играет тепловое расширение воды. Поскольку этот термопополностью заполнен водой и запаян, то при нагревании вода может расшираться, лишь занимая место воздуха в колбочках (воздух не может противостать натику воды, так как скимаемость у воды во много раз меньше, чем у воздуха). В результате при повышении температуры уменьшается вытalkивающая сила, делящегося на сосудики, и они опускаются на дно.

Ответ на второй вопрос. Недобство использования водыного термометра при температуре, близки к 0°С, связано с аномалией теплового расширения воды.

Вспомогательный куб

1. 2 arccos $\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sin \gamma}\right)$ (см. рис. 1). Ответ может быть записан в виде arccos ($\text{ctg}^2 \gamma$).
2. 60° (см. рис. 2).
3. arccos $\frac{18-\sqrt{2}}{20}$ (см. рис. 3).
4. arctg $\left(\frac{\sqrt{37+\sqrt{6}\sqrt{2}}}{2}\right)$. Расстояние два случая (рис. 4).
5. $\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{6}\sin \varphi}$. Теграэдр SABC удобно расположить так, как показано на рисунке 5: отрезки AC и BD направлены вдоль ребер вспомогательного куба, вершина S приладжит боковой грани.

59

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика

Вариант 1

1. {2; 9/2}, Указание. По теореме Виета 5x₂ = a + 3, 4x₂² = 2a.
2. x₁ = π/12 + kπ/6; x₂ = (-1)ᵉπ/24 + nπ/4 (k, n ∈ Z).
3. 3. Указание. Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD, N — середина AB. Докажите, что треугольники AMN и BMN равнобедренные (|AN| = |NM| = |BN|), а AMB = 90°.
4. ] - ∞; -2 log₅ 2] ∪ [-log₅ 3; 0] ∪ log₅ 3; +∞.
5. √(2/11-4√2). Указание. Пусть M и N — точки пересечения плоскости β с ребрами BD и BC, K — середина CD, L — точка пересечения MN и BK. Положить треугольника BMN составляет поливну площади грани BCD. Определите величины |BL|. Докажите, что искомое расстояние равно высоте треугольника ABL, опущенной из вершины B.

Вариант 2

1. Первое число большие.
2. {(1; 2), (-1; 6), (√2; 4-√2), (-√2; 4+√2)}.
3. 3:1. Указание. Проведите через N прямую, параллельную основаниям; пусть она пересечет AM в точке L. Используя подобные треугольников BMK и KLN, докажите, что |ML| = 3 |KM| = 3/4 |AM|.
4. x₁ = -π/32 + kπ/4; x₂ = π/40 + nπ/5 (k, n ∈ Z),
5. arctg 2√13/3. Указание. Пусть плоскость π пересекает прямые CC’ и BC в точках K и P соответственно. Определите |CK| и |CP|. Докажите, что угол KLC прямогольного треугольника KLC, где ‘CL’ — высота, опущенная из вершины C в треугольнике DPC, является искомым.
   Физика
   Вариант 1
6. F_min = F/1 - S₂/S₁.
7. Q = C₂(C₁ + C₃)/C₁ + C₂ + C₃/2. Указание. При установке наряжении конденсаторы имеют общий заряд q = C₂U и соединены паралельно.
8. См. решения задачи Ф978 из «Задачника «Кванта», которое будет опубликовано позже.
9. Наблюдатель, стоящий на земле, увидит Солнечное время t, которое затрагит Земля для поворота на угол α (рис. 6):
   t = α/ω = BOA/2π/T ≈ √2h/R/2π/T ≈ 15 мин
   (здесь h = 10 km, R = 6,4·10³ km, T = 1 сутки). Заменив R на R cos φ, можно учесть широту φ.
10. Когда брусокkladут на два ролика, сила трения, действующая на него со стороны заклининого ролика B (рис. 7), стремится повернуть брусок по часовой стрелке. В результате сила давления на правый (низкий) ролик будет больше, чем на левый (верхний). Поэтому в первом случае сила трения будет меньше, чем во втором. Если брусок начал сокальзывать, то благодаря тому, что центр тяжесте смышается вправо, сила реакции N, а значит, и сила трения F_TP, действующая на левый ролик, будет уменьшаться, а на правый — увеличаться. Вот почему брусок в первом случае не сможет остановиться, а во втором — остановится.

Вариант 2

1. R_V = R²/r.
2. При l < F решения нет, при F < l < R + F расстояние d = lF/(l - F), при l > R + F имеются два решения (рис. 8): d₁ = lF/(l - F) и d₂ = (l - R)F/(l - R - F).
3. ω = √2k(1 - √2/3)/(M - m).
4. См. решения задачи Ф982 из «Задачника «Кванта», которое будет опубликовано позже.
5. При взбалтийнии из-за существенного увеличения поверхности соприкосовения горячего воды с воздухом в колбе проискот быстрый разогрев воздуха, что приводит к увеличению его давления. Кроме того, резко увеличается испарение воды и к давлению воздуха добавляется заметное давление воды паров. В результате этого шарик разудвается. Поэтому воздуха, пар конденсируется, давление умешается, шарик сокращается в размере. Далее все повторяется, но при меньшей температуре, поэтому является выражено слабее.

60

Киевский государственный университет
им. Т. Г. Шевченko

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. $\frac{3}{2}\left(1-\ln \frac{3}{2}\right)$. 2. $x=\pm \frac{3\pi}{2}+4k\pi$ ($k\in\mathbf{Z}$).
2. $\frac{a^4 r}{2\sqrt{3}\left(a^2-12r^2\right)}$.
3. 2 при $a=0, |a|>2$;
   3 при $|a|=2, |a|=\sqrt{3}$;
   4 при $0<|a|<\sqrt{3}, \sqrt{3}<|a|<2$.
4. $-\frac{1}{2}\leq a<0$.

Вариант 2

1. $y_{\min}=\frac{1}{4}, y_{\max}=\frac{1}{2}$.
2. $x=(-1)^k \frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
3. 17, 10, 3 и 8, 10, 12.
4. $\left[\frac{1}{8};\frac{1}{4}\right]\cup\left[2;4\right]$.
5. 2 arctg 3.

Вариант 3

1. $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
2. $y_{\min}=-2, y_{\max}=18$.
3. $-\infty; \log_{9/4}\frac{7}{9}\left[\cup\right]\log_{9/4}\frac{15}{14}; \infty$.
4. $a=-1, a=3$.
5. $\frac{125}{32}v$.

Вариант 4

1. $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

2. $x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbf{Z}$.

3. $-1-\frac{1}{\sqrt{2}}; -1\left[\cup\right]-1; -1+\frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. $y_{\min}=y(-1)=-2$.

5. $90^\circ$.

Вариант 5

1. $x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}, k\in\mathbf{Z}$.
2. На промежутках $]-\infty; -1[$ и $]2; \infty[$ функция возраствает, а на промежутке $]-1; 2[$ убывает.
3. $\frac{26}{15}$. 4. $x\in]-\infty; -3[$.
4. $\arcsin \frac{p-s}{s}$.
   Задачи устного экзамена
5. а) геометрическую прогрессию со значением $\frac{1}{3}$; 6) геометрическую прогрессию со значением $\frac{1}{27}$ и первым членом $\frac{4}{3}\pi r_1^3$; в) $\frac{6}{13}$.
6. $\{(x; y; 0), x\in R, y\in R; (1; 2; 3)\}$.
7. Если $b\leq 2a$, то неравенство не имеет решений. При $b>2a$ решение неравенства образуют интервал $\left[\frac{b}{2}; b-a\right]$. В частности, это будет интервал [1; 5], если $a=-3, b=2$.
8. $]0; 3]\cup[4; 5]$.
9. а) полуплоскость; 6) множество отрезков прямых $y=x+n, n\in\mathbf{Z}$, с концами на прямых $y=0$ и $y=1$.
10. Наименьшую площадь имеет треугольник, прилегающий к меньшему основанию трапеции. Треугольник, прилегающий к большему основанию трапеции, имеет площадь $\frac{b^2}{a^2}S$. Треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики. Площадь каждой из них равна $\frac{b}{a}S$.
11. $r\frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}; r\frac{1-\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}$.
12. $\arccos\left(\text{ctg}\frac{\pi}{n}\text{tg}\frac{\alpha}{2}\right)$.
13. 2 arcsin $\frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}$.
14. $\left[0; \frac{3}{2}\right]\cup[3; 6]$.
15. $y_{\max}=y(2)=3, y_{\min}=y(0)=-1$.
16. $x=5, x=k\pi, k\in\mathbf{Z}$.
17. 4. Нет.
18. $a\geqslant\frac{3}{2}$.

Физика
Физическая факультет

1. $\tau_0=\frac{s}{g\tau}-\frac{\tau}{2}=4c; s_0=\frac{g\tau_0^2}{2}=80$ м.

62

6. см. рисунок 13; в) см. рисунок 14.

8. а) {(625; 3); (125; 4)}; 6) {(4; 1)}.

Физика

1. $F = 4/3mg$ tg $\alpha$.
2. $\alpha > 60^\circ$.
3. $H_1 = 5/3R; H_2 = 5/2R$.
4. $v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2}$;
   $v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2}$.
5. $E_T = mgh\mu$ tg $\alpha$.
6. $A = kx^2/2 = 15$ Дж.
7. Перiod колбаный уменьшится в $\sqrt{\rho_1/\rho_2} \approx 1,8$ раза.
8. $H_{\max} = \sigma_{\pi p}/(\rho g) \approx 167$ м; $\varepsilon_{\max} = \sigma_{\pi p}/E = 0,001$.
9. $t_B = t_1 + \frac{C(t_1 - t_2)}{c_B m} = 32,5^\circ\text{C}$ (здесь $c_B = 4200$ Дж/(кг·К) – удельная тепломкость воды).

Избранные школьные задачи
(см. «Квант» № 4)

1. -1. Указание. Выделением полного квадрата преобразуйте данное выражение к виду
   $$\frac{1}{2}(2x - y + 1)^2 + \frac{1}{2}(3y + 1)^2 - 1.$$
   Наименьшее значение равно -1 и достигается при $x = -\frac{2}{3}, y = -\frac{1}{3}$.
2. 167166500. Решение. Переншем данную сумму, воспользовавшись равенством $k(k + 2) = \frac{(k + 2)^3 - k^3 - 8}{6}$:
              $$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + 999 \cdot 1001 = \frac{3^3 - 1^3 - 8}{6} + \frac{5^3 - 3^3 - 8}{6} + \frac{7^3 - 5^3 - 8}{6} + \dots + \frac{1001^3 - 999^3 - 8}{6} = \frac{1001^3 - 1^3 - 500 \cdot 8}{6} = \frac{1002999000}{6} = 167166500.$$
3. 76. Указание. 1001 = 7 · 11 · 13, поэтому все делители числа 1001 – это 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.
4. a) $\sqrt{r_1^2 + r_2^2};$ 6) $\sqrt{P_1^2 + P_2^2}$. Решение. Положим $a = BC, b = AC, c = AB$. Треугольники ACD и BCD подобыны треугольнику ABC, причем коэффициенты подобняя равны, соответственно $b/c$ и $a/c$.
   a) Если $r$ – радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, то $r_1 = br/c$ и $r_2 = ar/c$.
   Поэтому $r_1^2 + r_2^2 = (br/c)^2 + (ar/c)^2 = \frac{b^2 + a^2}{c^2}.r^2 = r^2$.

6. Если $P$ – перimetр треугольника ABC, то $P_1 = bP/c$ и $P_2 = aP/c$; поэтому $P_1^2 + P_2^2 = (bP/c)^2 + (aP/c)^2 = \frac{b^2 + a^2}{c^2}P^2 = P^2$.

5. $2a^2$. Указание. Положим $MA = x, MB = y, MC = z$, где $M$ – точка описанной окружности, найдите сумму $x^2 + y^2 + z^2$, применить три раза теорему косинусов.
6. $x_1 = x_2 = \dots = x_{10} = 1$. Решение. Сумма всех уравнений равна $55x_1 + 55x_2 + \dots + 55x_{10} = 550$, откуда $x_1 + \dots + x_{10} = 10$. Разность второго и первого уравнений равна $9x_1 - x_2 - \dots - x_{10} = 0$. Складывая эти два уравнения, получаем $10x_1 = 10$, то есть $x_1 = 1$. Аналогично находим $x_2, \dots, x_{10}$.
7. Решение. Подаим часть herabенства на $xyz$ и пересечем все слагаемые в левую часть. Неравенство примет вид
   $$\frac{1}{z^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} - \frac{1}{yz} - \frac{1}{xz} - \frac{1}{xy} \geq 0,$$
   то есть
   $$\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{x}\right)^2 + \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^2 + \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{z}\right)^2\right] \geq 0.$$
8. Указание. Воспользовайте теорему косинусов и свойством биссектрисы угла треугольника.
9. Указание. Если рассечить треугольную параллельную двум противоположным ребрам, то всечении получится параллелограмм (см. рисунок 15). Если дивит эту плоскость от одного ребра к другому, то одна пара сторона будет увеличивать от 0 до $b$, а другая пара сторона будет уменьшаться от $a$ до 0 (a и b – длины выбранных ребер). Значит, в некотором проме-

63

Жуточном положении длины всех сторон параллелограмма сделаются одинаковыми, то есть параллелограмм сделается ромбом.

10. $x = \frac{2\sqrt{2} + 1}{2}$. Указание. Перепище данное уравнение в виде $t^2 - 1 = [t]$, где $t = \frac{2x - 1}{2}$, и заменьте, что при $t < 1$ и $t \geq 2$ равенство невозможно. Таким образом, $1 \leq t < 2$. В этом случае $[t] = 1$, и уравнение принимает вид $t^2 = 2$.

11. $\{(0; 0), (3; 3), (-3; -3), (\sqrt{5}; -\sqrt{5})$,
    $(-\sqrt{5}; \sqrt{5}), \left(\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}\right)$,
    $\left(\frac{-\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}; \frac{-\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}\right)$,
    $\left(\frac{-\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}; \frac{-\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}\right)\}$. Указание.

Складывая и вычитая уравнения системы, получите систему
$$\begin{cases} (x + y)(x^2 - xy + y^2 - 9) = 0, \\ (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 5) = 0, \end{cases}$$

равносильную совокупности четырех систем, каждой из которых уже легко решается.

12. $|BD| = \frac{|BC| + |AB| - |AC|}{2}$. Указание.

Воспользовитесь тем, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, заключенные между этой точкой и точками касания, равны.

Можно доказать, что $D$ — это точка касания со стороны $BC$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

13. $\left\{\frac{5}{4}; \frac{5}{3}\right\}$. Указание. Возведите обе части уравнения в квадрат и сделайте замену переменных $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

14. $(mn(m + 1)(n + 1))/4$. Указание. Пару горизонтальных линей можно выбрать

Рис. 17.

$(m(m + 1))/2$ способами; аналогично, пару вертикальных линей можно выбрать $(n(n + 1))/2$ способами.

15. Плоскость $A'C'D$ (см. рис.ок 16) должна быть горизонтальной. Указание. Площадь ortogonalной проекции параллелипеда $ABCDA'B'C'D'$ на горизонтальной плоскости равна удвоенной проекции треугольника $A'C'D$.

Квант для младших школьников
(см. «Квант» № 4)

1. После первого перехода туристу осталось пройти 2/3 пути; после второго перехода ему осталось пройти 2/3 остатка, то есть 2/3·2/3·2/3 = 8/27 всего пути. Таким образом, 32 км составляют 8/27 всего пути. Отсюда весь путь равен 108 км.

2. В год печатается 12·5 = 60 задач. К началу 1970 года было напечатано 0 задач, поэтому к началу года с номером $K$ будет напечатано 60·(K - 1970) задач. Если $K$ — искомый год, то 60·(K - 1970) < K, а 60·(K + 1 - 1970) > K. Отсюда

$$60 \cdot 1969 < 59K < 60 \cdot 1970,$$

то есть

$$2002 \frac{22}{59} < K < 2003 \frac{23}{59}.$$

Единственное целое число, удовлетворяющее — это число 2003. Таким образом, это событие (номер математической задачи в «Заданнике «Кванта» равен году вы-