Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

51

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-mатематический, физический и экономический факультет)

1. Известно, что $x_1=4x_2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-(a+3)x+2a=0$. Найдите $a$.
2. Решите уравнение
   $$\sin 2x+\cos 6x=1-2\cos^2\left(5x+\frac{\pi}{4}\right).$$
3. В трапеции ABCD с основанием AD и BC bicсектораса угла BAD проходит через середину M стороны CD. Известно, что $|AB|=5$, $|AM|=4$. Найдите длину отрезка BM.
4. Решите неравенство
   $$\frac{9-5^2}{3\cdot 5^2}-2\cdot 5^2+1 \leq 4.$$
5. Через вершину A правильно террадра ABCD параллельно ребру CD проведена плоскость β, которая делит террадр на две части равных объемов. Найдите расстояние от вершины B до плоскости β, если ребро террадра равно 1.

Вариант 2
(геолого-геофизический факультет и факультет естественных наук)

1. Определите, какое из двух чисел больше: $7\cdot\sqrt{7}$ или
   $$2\left(\frac{5}{4}\log_8 49-\frac{1}{2}\log_1/4 7\right).$$
2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2x^2+(y-4)^2=6, \\ 4x-xy=2. \end{cases}$$
3. Точки M и N выбраны соответствно на основании BC и боковой стороны CD трапеции ABCD. Приемые AM и BN пересекаются в точке K, причем $|AK|=3|KN|$, $|KN|=2|BK|$. Найдите отношение $|CN|:|ND|$.
4. Решите уравнение
   $$\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos 9x.$$
5. В кубе ABCD’A’B’C’D’ точка M — середина ребра C’D’, точка N выбрана на ребре AB так, что $|AN|=2|NB|$. Через вершину D и точки M и N проведена плоскость π. Определите величины другого угла между плоскостью π и плоскостью грани ABCD куба.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Каждай варит состояние из пяти задач трех типов.
Первые три задачи — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительных сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в неприняющей или условенной физической ситуации.

Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо попытаться рассматривать физическое явление, сформировать простую (так как нужно только оценка) физического модели этого явления, выбрать разумные числовые значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующей реальности. В тексте задачи подчеркивалось, что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи величины и их числовые значения.

Пятая задача — это задача-демонстрация, в которой надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно попытаться явления и среды различных факторов выделить главный.

На решение задачи давалось пять часов, начиная с завершення демонстрации.
Ниже после текста каждой задачи в скобках указан средний процент решивших ее.

Вариант 1

1. В цилиндр сечением $S_1$ налита несжимаемая жидкость, поверх которой помещен поршень (рис. 1). Внутри этого поршня имеется цилиндрическая вставка сечением $S_2$. Сила трения между поршнем и вставкой может достигать величины F; между поршнем и стенками цилиндрира треня нет. С какой минимальной силой нужно надавить сверху наставку, чтобы выдавить ее из поршня? Силу также не учитывать. (46 %)
2. В схеме, изобравенной на рисунке 2, направление на конденсатор емкости $C_2$ равно U, а конденсатор емкости $C_1$ не заряжены. Ключ K попеременно переключают в положения A и B. Определите, какое количество теплоты выделяется после очень большого числа переключающей. (39 %)
3. Стержень AC (рис. 3), на котором закреплены два одинаковых грузика B и C, подвешен за точку A к очень длинной нити DA (DA>>AC). Стержень удерживают в горизонтальном положении, при котором нить была вертикальной, а затем отпустили. Какой будет скорость точки A в момент, когда стержень будет прохождение низшее положение? Массой стержня и нити пребрежчь, $AB=l$, $BC=2l$. (16 %).
4. Пассажир летящшего на высоте 10 км самолета видит восходящей Colнце. Оцените, через какое время увидит Colнце наблюдаемый, стоящий на земле под самолетом. (67 %)
5. На наклонной плоскости на равных расстояниях друг от друга размещены три ролик. Крайние ролик们 легко проворачивают, средний — закреплен. Когда брусок кладут на средний и нижний ролик, он съезжает. Когда его кладут на верхний и средний — он не съезжает. Объясните явление. (33 %)