Энергия электрического поля

21

ученых тоже оказались сходными: и ту, и другую издатель ведущего немецкого физического журнала отказылся пубlikовать, считая их слишком «теоретическими».

Потенциальная энергия впервые появилась в работе Гельмгольца под именем «силы напряжения». Однако автор не дал этому понятие наглядной физической интерпретации, и поэтому вокруг него разгорелись споры. Суть проблемы оченьясно сформировал А. Пуанкаре: «…чтобы матерIALизовать энергию, нужно ее локализовать; в отношении кинетической энергии — это просто〈она приписьвается движущему телу〉, но не так дело обстоит с энергийной потенциальной. Где локализовать потенциальную энергию, вызванную прияжением двух небесных тел? В одном из двух? В общем? В промежутном пространстве?».

Предлагались различные решения этой проблемы. Г. Герц, например, считал необходимым … вообще отказылся от понятия «потенциальной энергии» и пытался свести этот вид энергии к кинетической энергии скрытых движений частц тела. Однако эта попытка оказалась неудачной. Позднее было выясено, что потенциальная энергия является мерой взаимодействия и что глубокая и полная интерпретация этого понятия невозможна без привлечения представления о поле. (Этот вопрос подробно обсуждается в следующей заметке на примере электростанческого взаимодействия заряженных тел. — Примеч. ред.)

Так постепенное развитие понятей механики привело ученых к идеям, далеко выходящим за рамки этого раздела физики. Взамное обогащение различных областей физической науки — характерная черта ее истории.

Энергия электростаного поля

Как известно («Физика 9», § 55), чтобы зарядить конденсатор, необходимо совершить неоторудую работу. Эта работа требуется для преодоления сил электростанческого прияжения, возникших при разделении положительных и отрицательных зарядов. За счет совершенной работы в конденсаторе запасается потенциальная электростанческая энергия

$$W = \frac{1}{2} U Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2,$$

где $U$ — разность потенциальных между обкладками, $C$ — емкость конденсатора, $Q$ — заряд на его обкладках.

Ясно, что для того чтобы зарядить любое удиненное тело, то есть создать в нем избыток зарядов одного знака, также следует совершить определенную работу. В этом случае она совершается против сил электростанческого отталкивания, которые действуют между одномmemными зарядами, накопливающимся на теле. Вычислим эту работу.

Рассмотрим удиненный проводник. Пусть нам уже удалось сосредоточить на нем заряд $q$. Потенциаль создавемого этим зарядом электростаного поля на бесконечности условия считать равным нулю, а потенциаль само-proводника обозначим через $\varphi(q)$. Теперь будем переосить на проводник из бесконечности дополнительный малый заряд $\Delta q$. Для этого потребуется совершить работу

$$\Delta A = \varphi(q) \Delta q.$$

Понятно, что потенциаль электростаного поля всегда пропорционален величине созданного этого поле заряда. В данном случае потенциаль проводника пропорционален заряду на нем:

$$\varphi(q) \sim q,$$ или $$\varphi(q) = \frac{1}{C} q.$$

Входящая в коэффициент пропорционалности величины $C$ называется емкость удиненного проводника. Она зависит от формы, размеров проводника и диэлектрической проницаемости окружающего среды.

Построим график линейной зависимости $\varphi$ от $q$ (рис. 1). Работа $\Delta A$, совершаемая при переосении заряда $\Delta q$ из бесконечности на проводник, на этом графике представляется плоскую затрихованного столбика. Полная же работа $A$ по зарядке удиненного проводника до заряда $Q$ определяется суммой площадей всех аналогических столбков, то есть площадь фигуры под графиком удинимости $\varphi$ от $q$. В данном случае — площадь треугольника. Поэтому работа по зарядке удиненного провод-

22

ника, равная запасаемой им потенциальной электростатической энергии, определяется формулой

$$A = W = \frac{1}{2} \varphi(Q) Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} C(\varphi(Q))^2.$$

Формула (2) по виду совпадает с формулой (1), однако входящие в нее величины имеют несколько иной смысл: $\varphi(Q)$ — это потенциальную интегральную прободника, а не разность потенциальов ($U$) между обкладками конденсатора, $C$ — емкость прободника, а не конденсатора.

Но где именно запасается энергия? На этот вопрос существует два равновравных ответа. Первый основывает на том, что запасенная энергия — это энергия взаимодействия зарядов, находящся на прободнике. Согласно второй точке зрения носителем запасенной энергии является электрическое поля, так что энергия распределена в окружающей проводник пространстве. В случае плоского конденсатора созданное им электрическое поле однородно, и сосредоточено в области между пластинами. Тогда легко показать («Физика 9», § 55), что плотность энергии — энергия, приходящая на единицу объема, — определяется выражением

$$w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2},$$

где $E$ — напряжение поля, $\varepsilon$ — диэлектрическая пропищемость среды внутри конденсатора.

Оказывается, этой же формулой можно воспользоваться для подсчета полной энергии электрического поля и в общем случае, когда поле неоднородно. Так, например, в пространстве вокруг зарядного тела напряжение электрического поля уменьшается по мере удаления от

Puc. 1.

Puc. 2.

тела. Тем не менее в любом месте пространства мы всегда можем выбрать такой небольшой объемчик $\Delta V$, что напряжение поля в нем практически не изменяется. Тогда, согласно формуле (3), мы можем вычислить соответствующее плотность энергии и найти, что в выбранном объемчик заключена энергия

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V.$$

Если теперь весь объем, где имеет электрическое поле, разбить на маленькие объемчики, подсчитать указываным способом энергию каждого из них, а затем все просуммировать, то мы получим полную энергию электрического поля. Как это ни удивительно, но для полной энергии получится уже известное выражение (2).

Красивым примером, показывающим плотность такого подхода вычисления энергии, может служить задача о нахождении силы отталкивания между двумя половинками заряденной проводящей сферы, находящейся в вакууме.

Прежде всего вспомним, что поле внутри проводящей сферы, как и внутри любого проводника («Физика 9», § 44), равно нулю. Вне сферы напряжение поля также же, как у точного заряда, равного заряду сферы и нахождения в ее центре:

$$E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2},$$

где $Q$ — заряд сферы, $r$ — расстояние от ее центра до расматриваемой точки. $Y$ повреждности сферы радиусом $R$, таким образом, напряжение поля оказывается равной

$$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}.$$

Давайте теперь мысленно разрежем сферу пополам и позволяет использовать силу отталкивания $F$ отдельным одну половинку от другой на малое расстояние $\Delta x$. Совершенная при этом работа

$$\Delta A = F \Delta x$$

равна уменьшению полной энергии электрического поля, запасенной, как мы знаем, во всем окружающей сфере пространстве. Действие