Задачи М981—М985; Ф993—Ф997

28

Задчи

M981—M985; Ф993—Ф997

M981. Докажите, что число 11…1 (1986 единиц) имеет по крайней мере a) 8, 6) 28 различных делителей.

Л. Д. Курляндчик

M982. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB₁A₂, BCB₁C₂, CAA₁C₂. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

Н. Азамов (ученик 8 класса)

M983. В турнире с учасием 16 теннисистов каждой двое играют одну партию.

a) Приведите пример распределения результатов партии, при котором любых 10 участников можно расставить по кругу так, чтобы каждый выигral у своего левого соседа.

6. Докажите, что если условие a) выполнено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

К. П. Кохась

M984. Через произвольную точку K квадрат ABCD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны AB и CD в точках P и Q. Докажите, что отличная от K точка пересечения окружностей, проходящих через точки K, B, P и K, D, Q, лежит на диагонали BD (рис. 1).

В. Н. Дубровский

M985. Углом между двумя прямыми, пересекающими в точке Q, называется угол между их лучами с вершиной O, не превысющий 90°. Сколькими способами через точку O в пространстве можно проведги три прямые l₁, l₂, l₃ так, чтобы углы между l₂ и l₃, l₃ и l₁, l₁ и l₂ соответствовали равнялись данными числам α₁, α₂, α₃? (Две точки прямых l₁, l₂, l₃ и l₁′, l₂′, l₃′ считаются одинаковыми, если они «конгруэнтны», то есть если существует поиметрия относительно плоскости, переводящие l₁ в l′′ для всех i=1, 2, 3.)

Предстоящие епсесение: ответ зависит от величины α₁, α₂, α₃; например, для α₁=α₂=α₃=30° он не такой, как для α₁=α₂=α₃=70°.

А. В. Гончаров

29

Ф993. Через неподвижное, горизонтальное закрепленное бревно переброшена ввервка. Чтобы удерживать груз массы $m=6$ кг, подвешенный на этой ввервке, необходимо тянуть второй конец ввервки с минимальной силой $F_1=40$ Н (рис. 2). С какой минимальной силой $F_2$ надо тянуть ввервку, чтобы груз начал подниматься?

А. И. Буздин

Ф994. Спутник исследует планету, плотность которого $q$, движясь по круговой орбите с периодом обращения $T$ и фотографируя ее поверхность. Какая часть площей планеты остатется неизследанной?

В. В. Дорин

Ф995. В запаянном капитляре находится жидкость плотности $q$. При нагревании капитляра на малое $\Delta T$ оказывась, что граница $AB$ между жидкостью и ее паром (рис. 3) не сдугается. При этом давление пара возросло на $\Delta p$. Как изменилась плотность жидкости?

Л. Г. Маркович

Ф996. В пролетном масс-спектрометре источник испускает стусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно (рис. 4) и пролетают через первый датчик ($\Delta I_1$), находящийся на расстоянии $L$ от сетки (С). За сеткой по нормали к ней на частицы действует электрическая сила $F$. Частцы поворачиваются, вылетают через сетку назад и пролетают через второй датчик ($\Delta I_2$), находящийся на том же расстоянии $L$ от сетки. Меняя режим работы источника, изменяют время между сравнительными датчиков и находят наименьшее время проleta т. Какова масса частиц? (Начальная скорость зависит от напряжения источника, но точное значение ее неизвестно.) Как можно найти массы частиц, если источник испускает одновременное несколько сортов частиц с разными массами?

И. И. Воробьев

Ф997. Известно, что светящийся след падающего meteorита по мере приближения к Земле становится ярче. Однако в верхних слоях атмосферы он сохраняет значительное долще, чем у Земли. Почему?

А. С. Бутов

Problems

M981 — M985; P993 — P997

M981. Prove that the number 11…1 (1986 ones) has at least a) 8, b) 28 different divisors.

L. D. Kurlyandchik

M982. The squares $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$ are constructed on the exterior of sides $AB$, $BC$, $CA$ of triangle $ABC$. Prove that the perpendiculars at the midpoints of the segments $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ intersect in one point.

N. A. Azamov (8th form pupil)

M983. Sixteen tennis players play in a round robin tournament (each pair playing once). a) Give an example of the results of such a tournament where

31

+∠AEM) = -\frac{1+3}{1-1\cdot3} = 2, следовательно, ∠CFN = ∠AME, и треугольники подобыны по двум углам.

Приведем еще одно, чисто геометрическое решение. Очевидно, что AM:MC=AE:CD=1:3, AB:AC=√2/2, следовательно,

AE:AM = (\frac{1}{3}AB) : (\frac{1}{4}AC) = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Аналогично, CN : NA = CF : AB = 1 : 2 и

CN:CF = (\frac{1}{3}AC) : (\frac{1}{2}CD) = \frac{2\sqrt{2}}{3},

то есть AE:AM = CN:CF; отсюда вытекает подобие треугольников.

Эта задача построена на соответствии arctg1 + arctg2 + arctg 3 = π/2; оно же использется и в задаче, приведенной на рисунке 2,— попробyte решить ее чисто геометриски!

А. П. Савин, В. Н. Дубровский

M962. Докажите, что ни для какого многочлена P(x) с целыми коэффициентами не могут найти такие различные целые числа x1, x2, …, xn (n ≥ 3), для которых выполнялись бы равенства P(x1) = x2, P(x2) = x3, …, P(xn-1) = xn, P(xn) = x1.

◆

Покажем, что если целые числа x1, …, xn удовлетворяют равенствам из условий задачи, то среди них найдет одинаковые.

Мы используем такую лемму: если P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, b и c — различные целые числа, то P(b) — P(c) делится на b−c. При этом будет выполняться неравенство |b−c| ≤ |P(b)−P(c)|; только это следствие и попадбится для решения задачи.

Поскольку P(x1) = x2, P(x2) = x3, по лемме |x1−x2| ≤ |x2−x3| ≤ |x3−x4| ≤ … ≤ |xnx1| ≤ |x1−x2|, а значит, |x1−x2| = |x2−x3| = … = |xn−x1|.

Если n ≥ 3, отсюда следует, что среди чисел x1, x2, …, xn найдет равные: можно считать, что x1 — наименьшее из этих чисел; тогда

x2−x1 = |x1−x2| = |xn−x1| = xn−x1,

то есть xn = x2.

Докажем следующее. Из равенства, приведенного на полях, ясно, что число b^k−c^k при любом натуральном k делится на b−c. Пусть P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n; тогда число P(b)−P(c) = a1(b−c) + a2(b^2−c^2) + … + a(n(b^n)) также делится на b−c.

◆

Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.

Пусть отрезки AB и CD параллельны, а отрезки AC и BD пересекаются в точке P (рис. 1). Тогда множество точки X, лежащих внутри APB и CPD, таких, что треугольники XAC и XBD равновелики, есть прямая, соединяющая отрезков AB и CD.

Для доказательства проведем точку X при мую, параллельную AB и CD; пусть она пересекает (Окончание см. на с. 34)

M963. Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.