Khối bốn chiều

3

khối bốn chiều

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. DUZHIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. RUVTSOV

“Chúng ta hãy xem xét một khối lập phương bốn chiều…”, “Chúng ta hãy xác định một không gian con sáu chiều trong không gian mười chiều…” Các tác giả thường gặp những cụm từ này và nhiều cụm từ khác trong đó trong tài liệu khoa học, đã nghe chúng ở nhiều cuộc hội thảo, tự mình thốt ra, tóm lại, họ đã quen với việc không ngạc nhiên về chúng. Nhưng một ngày nọ chúng tôi nghĩ:
“Nhưng thời đại không còn xa nữa khi những từ “khối lập phương bốn chiều”, “chiều thứ tư” hoàn toàn xa lạ ngay cả với hầu hết các nhà toán học, và gây ra sự hoang mang và tò mò cho những người không chuyên, trong bối cảnh họ quan tâm đến “Bigfoot”, “gián bay” và những thứ giả khoa học khác.” Cuộc đối thoại sau đây đã nảy sinh giữa các tác giả:

A₁: Khối lập phương bốn chiều? Tất nhiên là chuyện vặt! Nó phải được định nghĩa đơn giản là một tập hợp con của không gian bốn chiều sử dụng các công thức khái quát hóa các công thức trường học. Chỉ có công thức!

A₂: Theo đó, điều này sẽ giúp bạn có thể định nghĩa chính thức khối lập phương bốn chiều là gì, nhưng nó sẽ khó hiểu và không rõ ràng. Hình khối bốn chiều được mô tả dễ dàng như một hình hình học, tương tự như hình vuông trên mặt phẳng hoặc hình lập phương trong không gian ba chiều. Dự kiến, phát triển, mặt cắt - đó là cách duy nhất!

Sau khi tranh luận một thời gian ngắn, các tác giả quyết định cố gắng thống nhất quan điểm của họ, tuy nhiên, bắt đầu từ khía cạnh trực quan của vấn đề.

Làm thế nào để “nhìn thấy” anh ấy

Để tưởng tượng một khối bốn chiều, trước tiên, rất hữu ích khi nhìn vào khối ba chiều tổng quát, cũng như “khối hai chiều” (hình vuông) và “khối một chiều” (đoạn) trong đường kính - như chúng được hiển thị trong Hình 1, a, b, c.

Sau khi nghiên cứu những hình này, bạn có thể cố gắng hiểu hình 2, đại diện cho một khối lập phương bốn chiều. Giống như mặt (hai chiều) ABCD của hình lập phương ba chiều, ngạc nhiên song song với chính nó (hình 1,a) đến vị trí A’B’C’D’, quét hình khối ba chiều, “mặt ba chiều” ABCDEFGH, ngạc nhiên song song với chính nó về vị trí

Hình 1. Vậy hình lập phương ba chiều được lấy từ một hình vuông, hình vuông từ một đoạn thẳng, một đoạn từ một điểm.

Hình 2. Và do đó, một khối bốn chiều được lấy từ một khối ba chiều.

4

Vị trí $A'B'...H'$, “quét sạch” một khối lập phương bốn chiều. Bạn có nhìn thấy anh ấy không?
Tất nhiên, bản vẽ kết quả của một khối bốn chiều là có điều kiện; nó tạo ra một hình ảnh méo mó về nó. Nhưng ngay cả hình 1,a cũng cho hình ảnh méo mó của hình lập phương tổng quát trên mặt phẳng. Trên thực tế, cả hai bản vẽ đều có cùng bản chất: chúng hiển thị hình ảnh của các khối ba chiều và bốn chiều với hình chiếu song song lên một mặt phẳng.
Sự khác biệt duy nhất là chúng ta có thể “nâng lên không gian” một hình ảnh phẳng của một khối lập phương ba chiều bằng sự thành công trong suy nghĩ của mình, nhưng chúng ta không còn khả năng tưởng tượng ra “bốn chiều” như vậy nữa.

Chà, nếu chúng ta không thể nhìn rõ khối lập phương bốn chiều đang chuyển động, hãy thử mở nó ra.

Làm thế nào để triển khai nó
Để tưởng tượng sự phát triển của khối bốn chiều, trước tiên hãy nhìn vào sự phát triển của khối ba chiều và hai chiều (hình 3). Chúng ta thấy rằng sự phát triển của hình vuông là một chiều và bao gồm bốn đoạn; Sự phát triển của khối lập phương là hai chiều và bao gồm sáu hình vuông. Tương tự, sự phát triển của khối bốn chiều là ba chiều và bao gồm tám khối ba chiều (hình4).

Giống như một khối lập phương ba chiều có thể được dán từ một tấm lưới (xem hình 3.6) bằng cách xác định các đỉnh $G_1 \equiv G_2 \equiv G_3$, $H_1 \equiv H_2 \equiv H_3$, $E_1 \equiv E_2$ và $F_1 \equiv F_2$ (và các cạnh tương ứng), một khối bốn chiều có thể thu được từ mạng của nó (xem hình 4) bằng cách “dán” các đỉnh được chỉ định bởi cùng các chữ cái nhưng khác nhau các số, ví dụ $M_1 \equiv M_2 \equiv M_3 \equiv M_4$ hoặc $I_1 \equiv I_2$; trong trường hợp này, không chỉ các đỉnh (và các cạnh tương ứng) được dán mà còn cả các mặt hai chiều, chẳng hạn như $M_3O_3P_3Q_3 \equiv M_4O_4P_4Q_4$.

Hình 4 đáng để xem xét kỹ hơn. Có thể coi đây là mô hình của một loại nhà tám gian. Ngôi nhà này được nhà văn khoa học viễn tưởng người Mỹ R. Heinlein mô tả trong truyện “The House That Till Built”. Trong “chuyến đi” do các anh hùng của Heinlein thực hiện xuyên qua ngôi nhà tuyệt vời, họ đã gặp phải tình huống sau đây. Khi họ di chuyển theo một hướng nhất định, lần lượt đi qua căn phòng này, rồi đến căn phòng thứ năm trên

5

con đường của họ hóa ra lại là con đường mà họ đã đến. Ví dụ: nếu di chuyển “từ dưới lên trên”, bạn đi qua bốn căn phòng tạo thành cơ sở trung tâm của quá trình quét, thì bạn sẽ thấy mình đang ở trong một căn phòng ở “tầng một”. Thật vậy, “mái nhà” của ngôi nhà, có thể nhìn thấy từ các đỉnh được chỉ định, được dán vào “sàn” của căn phòng phía dưới. Trên thực tế, bất cứ khi nào bạn đi qua ranh giới của các phòng, tuyến đường sẽ tự động rẽ 90°, do đó, chẳng hạn như đường đứt nét $M_4AEK_3M_3$ không phải là đường thẳng mà xuất hiện dưới dạng đường viền của một hình vuông. Thực tế này rất dễ hiểu khi xem xét các đường dẫn tương tự về sự phát triển của khối lập phương ba chiều và trên bề mặt của chính khối lập phương đó (hình 3). Nếu bạn hiểu ý tưởng dán một khối lập phương bốn chiều khi nó đang mở ra, bạn sẽ không ngạc nhiên khi một trong những anh hùng trong câu chuyện của Heinlein, nhảy ra khỏi cửa sổ của một trong những căn phòng, thấy mình… lại ở trong nhà!

Làm thế nào để thiết kế nó

Có một cách phổ biến khác để mô tả khối lập phương bốn chiều, được trình bày ở hình 5.6. Tám mặt ba chiều được thể hiện ở đây bằng một khối bên trong (nhỏ), một khối bên ngoài (lớn) và sáu paramit cắt cụt nối các mặt tương ứng của các khối nhỏ và lớn. hình này có được bằng cách chiếu tập trung một khối lập phương bốn chiều lên một “mặt phẳng ba chiều” nào đó. Ý nghĩa của hình này rất dễ hiểu nếu chúng ta cũng xem xét hình 5,a, mô tả hình chiếu tâm của khối lập phương ba chiều lên mặt phẳng từ một điểm nhất định.

Theo hình 5, cách thuận tiện nhất là đếm số lượng các loại phần tử cấu thành khác nhau của một khối bốn chiều.

Hình 5. Hình ảnh của các hình khối hai chiều và bốn chiều trong hình chiếu trung tâm.

Hình 6. “Các khối nhỏ” trong hệ tọa độ của chúng.

6

Hình 7. Khối bốn chiều trong hệ tọa độ bốn chiều.
0  x 1, 0  y  1, 0  z  1, 0  t 1. Khối lập phương bốn chiều trong hệ tọa độ x, y, z, t của không gian bốn chiều được mô tả trên hình 7, trong đó mỗi đỉnh được chỉ định tọa độ (để tiết kiệm không gian, không có dấu ngoặc đơn và dấu phẩy).

Tuy nhiên, định nghĩa như vậy sẽ không làm hài lòng người đọc kén chọn. Anh ta hỏi: hệ tọa độ trong không gian bốn chiều là gì? Và nói chung, không gian bốn chiều là gì?

Để trả lời câu hỏi cuối cùng, trước tiên chúng ta hãy nhớ - tất nhiên là bạn đã đoán được rồi! - Không gian ba chiều là gì? Đây là tập hợp tất cả các bộ ba số có thể có (x; y; z), trong đó x, y và z là các số thực (tọa độ của một điểm), trong đó khoảng cách được xác định theo công thức
$$|MN| = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}$$
(xem sách giáo khoa của A.V. Pogorelov “Hình học 6-10”, trang 204). Hóa ra cụm từ trước có thể được coi là một định nghĩa về không gian ba chiều: từ định nghĩa này, người ta có thể rút ra tất cả các nguyên tắc cơ bản của phép đo lập thể bằng cách sử dụng đại số nguyên tố. Như vậy, định nghĩa mặt phẳng là tập hợp các điểm thỏa mãn một phương trình tuyến tính có dạng
$$Ax + By + Cz + D = 0,$$
(1)
Chẳng hạn, không thể chứng minh rằng qua ba điểm tân tuyến bất kỳ M, N, P đều đi qua một và chỉ một mặt phẳng, tức là mặt phẳng có phương trình
$$((y_P - y_M)(z_N - z_M) - (z_P - z_M)(y_N - y_M)) \times (x_M - x) + ((z_P - z_M)(x_N - x_M) - (x_P - x_M)(z_N - z_M))(y_M - y) + (x_P - x_M)(y_N - y_M) - (y_P - y_M)(x_N - x_M))(z_M - z) = 0$$
(2)
(xem “Hình học 6-10”, trang 212).

Bây giờ định nghĩa tiếp theo sẽ tùy ý tự nhiên. Không gian bốn chiều là tập hợp cả bốn số (x; y; z; t), trong đó x, y, z, t là các số thực mà khoảng cách được xác định theo công thức
$$|MN|^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2$$
(3)

Xác định một mặt phẳng trong không gian bốn chiều không đơn giản như vậy. Thực tế là có cả các mặt phẳng hai chiều tổng quát và các “mặt phẳng” ba chiều được gọi là zigerplanes. Từ quan điểm xác định các mặt phẳng bằng các phương trình, siêu phẳng là một dạng tương tự chính xác của mặt phẳng tổng quát trong không gian ba chiều. Trong phương trình (1) của mặt phẳng khai báo ba biến x, y, z, bạn có thể gán giá trị tùy ý, khi đó giá trị của biến thứ ba sẽ được xác định duy nhất từ ​​phương trình. Như vậy,

Hình 8. Các phần của hình lập phương, song song với các mặt.

7

tập hợp tất cả lời giải của phương trình này được mô tả bởi hai tham số tùy ý, nghĩa là nó có hai chiều. Vì lý do tương tự, tập hợp tất cả lời giải của một phương trình tuyến tính trong không gian bốn chiều $Ax+By+Cz+Dt+E=0$ bản thân nó là ba chiều. Tương tự như trường hợp ba chiều, vectơ có tọa độ $(A; B; C; D)$ bị siêu phẳng đã cho phân bố quá mức và được gọi là vectơ pháp tuyến của nó.

Làm thế nào để tóm tắt nó
Người đọc hiểu định nghĩa trước đó có thể dễ dàng xác định định nghĩa của khối $n$ cho bất kỳ $n \geq 1$ nào. Để làm điều này, trước tiên anh ta sẽ định nghĩa không gian $n$ chiều là tập hợp các bộ $n$ số $(x_1; x_2; ...; x_n)$, khoảng cách giữa chúng được tính theo công thức

$$|AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + ... + (a_n-b_n)^2},$$

và sau đó là khối $n$ là tập hợp các điểm của không gian $n$ chiều mà các bất đẳng thức $0 \leq x_1 \leq 1, 0 \leq x_2 \leq 1, ..., 0 \leq x_n \leq 1$ đúng.

Làm thế nào để cắt nó
Thật thuận tiện khi tưởng tượng các hàm bốn chiều sử dụng các phần của chúng bởi một họ các siêu phẳng song song với nhau (các siêu phẳng song song với nhau nếu vectơ pháp tuyến của chúng thẳng hàng). Ý nghĩa của cách xây dựng này có thể được hiểu bằng cách xem xét các phần của vật thể ba chiều bằng các mặt phẳng thông thường (hình 8, trong đó thể hiện một phần của hình lập phương của mặt phẳng $y=h$). Các phần của khối lập phương bốn chiều của mặt phẳng $t=h$ trông giống nhau - hãy nhớ hình 2!

Để hiểu rõ hơn về hình học của một khối bốn chiều, hãy xem xét câu hỏi khó bài toán sau: mô tả một nhóm các phần siêu phẳng của nó, vuông góc với đường chéo chính. Nếu chúng ta lấy đường chéo nối các đỉnh $(0; 0; 0; 0)$ và $(1; 1; 1; 1)$, thì phương trình của các siêu phẳng này sẽ có dạng $x+y+z+t=h$, trong đó $h$ là một hằng số nào đó.

Hãy nhìn vào bài toán ba chiều theo cách tương tự. Một khối lập phương ba chiều có thể được biểu diễn dưới dạng giao điểm của hai quãng tám được xác định bởi hệ bất đẳng thức

$$\begin{cases} x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ z \geq 0 \end{cases}$$

và $$\begin{cases} x \leq 1, \\ y \leq 1, \\ z \leq 1 \end{cases}$$

(hình9). Mọi mặt phẳng có dạng $x+y+z=h$ cắt mỗi góc trong số hai quãng tám này dọc theo một tam giác đều. Hãy theo dõi sự thay đổi trong cấu hình này khi $h$ thay đổi từ 0 thành $\sqrt{3}$. Tại thời điểm ban đầu $(h=0)$ một trong các hình tam giác chỉ bao gồm một điểm. Sau đó, kích thước tuyến tính của nó tăng theo tỷ lệ $h$, đồng thời tam giác thứ hai giảm dần, vẫn là một đỉnh làm sẵn có hệ số âm. Bắt đầu từ thời điểm các đỉnh của tam giác nhỏ hơn “xuyên thủng” các cạnh của tam giác lớn hơn, giao điểm của chúng sẽ tạo thành một hình lục giác. Hình lục giác này trở nên đều đặn khi so sánh kích thước của các hình tam giác. Tiếp theo, quá trình được mô tả được lặp lại theo thứ tự ngược lại.

Tương tự, hình lập phương bốn chiều biểu thị giao điểm của hai phần của không gian bốn chiều, được phân biệt bằng hệ bất đẳng thức $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, t \geq 0$ và $x \leq 1, y \leq 1, z \leq 1, t \leq 1$. Dễ dàng chứng minh rằng siêu phẳng $x+y+z+t=h$ cắt từng phần này dọc theo một hình tứ giác đều. Tuy nhiên, trong số các bộ tứ này, $h$ tăng khi tăng, trong khi bộ tứ kia giảm. Tập mong muốn là giao điểm của hai tứ diện như vậy và có thể là một điểm, một tứ diện hoặc một tứ diện cắt cụt (đặc biệt, nếu kích thước của cả hai tứ diện trùng nhau, chúng ta sẽ thu được một bát diện đều tại giao điểm; nó được mô tả trên hình 3 trên trang thứ tư của trang bìa «Kvant» Số 6 cho năm 1985).

Chúng tôi hy vọng rằng độc giả đã quen thuộc với khái niệm khối lập phương bốn chiều đến mức họ có thể tự vẽ những phần này.