Bài toán M986—M990; F998—F1002

33

Nhiệm vụ

M986 — M990, F998 — F1002

M986. Chứng minh rằng với mọi số dương $a$ và $b$ thì bất đẳng thức sau đúng:
$$2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} \geq 5\sqrt{ab}.$$

M987. $2m$ các đội tham gia giải đấu. Ở vòng đầu tiên, một số cặp $m$ gặp nhau, ở vòng thứ hai - các cặp $m$ khác. Chứng minh rằng sau đó có thể chọn được $m$ đội, trong đó chưa có hai đội nào đấu với nhau.
M. Bona (sinh viên thể dục, Hungary)

M988. Từ một điểm $O$ trên mặt phẳng vẽ vectơ $n$ có ​​độ dài đơn vị. Chứng minh rằng nếu với một số $k < n/2$ có ít nhất $k$ vectơ ở cả hai phía của mỗi đường thẳng đi qua $O$ thì độ dài tổng của tất cả các vectơ $n$ không vượt quá $n - 2k$.
P. A. Kaluzin

M989. Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ mà số $a - 1$ là tổng của hai $a$; $6$)* ba ước của số $a$ (không nhất thiết phải khác nhau; số ước bao gồm 1).
C)* Chứng minh rằng với mọi $n$ chỉ có hữu hạn số tự nhiên $a$ sao cho $a - 1$ là tổng của $n$ ước tự nhiên của $a$ (không nhất thiết phải khác nhau).
V. V. Batyev

M990. Cho ba đường thẳng cắt nhau trong không gian, không song song với cùng một mặt phẳng. Có bao nhiêu hình song song có các đường thẳng $a$ dọc theo các cạnh của chúng?
6) chúng có đi theo các cạnh hoặc đường chéo của khuôn mặt không?
c) có 6 đỉnh song song?
V. N. Dubrovsky

F998. Gorpolykh đi xuống từ một ngọn núi cao với tốc độ cố định là $v$. Ngọn núi tạo thành một góc $a$ với đường chân trời và dần dần biến thành một mặt cắt ngang. Người trượt tuyết nên nghiêng người như thế nào để tránh bị ngã trong quá trình chuyển tiếp? Giả sử rằng quá trình chuyển đổi đang diễn ra nhanh chóng. Khối lượng của người trượt tuyết là $M$. Bỏ qua sự tuân thủ không khí.
A. N. Semenov

F999. Một túi có khối lượng $m_1$, được nối bằng một sợi dây cứng không trọng lượng với một túi có khối lượng $m_2$, trượt dọc theo một mặt ngang nhẵn. Sợi dây nối các túi đi qua lớp không

34

trách nhiệm lớn trong bảng (hình 1). Chiều dài của sợi dây là $L$, chiều cao của bàn là $H$ và $H < L$. Hỏi độ cao của túi $m_2$ sau khi chạm sàn là bao nhiêu nếu tại thời điểm ban đầu toàn bộ sợi dây nằm trên bàn và các túi không chuyển động?

G. L. Kotkin

Trong số bài toán được độc giả của chúng tôi gửi đến Cuộc thi “F1000”, bài toán được công nhận tốt hơn.

F1000. Dòng điện $I$ chạy dọc theo đường viền được tạo bởi bốn cạnh của khối lập phương (hình 2) tạo ra một từ trường có cảm ứng $B_0$ ở trung tâm của khối lập phương. Tìm độ lớn và hướng của vectơ cảm ứng từ trường được tạo ra ở tâm khối lập phương bởi dòng điện $I$ chạy dọc theo đường viền có sáu cạnh (hình 3).

M. M. Tsypin

Tác giả của bài toán này - M. M. Tsypin - đã được trao Bằng tốt nghiệp «Kvant».

F1001. Một quả cầu kim loại không nhiễm điện được đặt trong điện trường đều. Khi sân tắt, lượng tín hiệu $Q$ được giải phóng trong quả bóng. Lượng tín hiệu nào sẽ được giải phóng trong quả bóng thứ hai có bán kính lớn?

S. S. Krogov

F1002. Nguồn sáng điểm nằm cách màn hình một khoảng $L$. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự $F > (L/4)$, song song với màn, di chuyển giữa nguồn và màn. Tại vị trí nào của thấu kính thì đường kính của điểm nhìn thấy trên màn là nhỏ nhất?

D. Yu. Grigoriev

Problems

M986—M990; P998—P1002

M986. Prove the following inequality for arbitrary positive numbers $a$ and $b$:

$$2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{b} \geq 5\sqrt[5]{ab}.$$

M987. $2m$ teams participate in a tournament. In the first round $m$ pairs of teams meet, in the second — $m$ other pairs. Prove that after that it is possible to choose $m$ teams no two of which have met before.

M. Bona (gymnasium student, Hungary)

M988. $n$ unit vectors in the plane have the common origin $O$. Prove that if for some $k < n/2$ there are no less than $k$ vectors on both sides of any line passing through $O$, then the length of the sum of the $n$ vectors is no greater than $n-2k$.

P. A. Kalugin

M989. Find all the natural numbers $a$ for which the number $a-1$ is the sum of a) two; b)* three divisors of the number $a$ (not necessarily distinct).

c)* Prove that for any $n$ there exists only a finite number of natural numbers $a$ such that $a-1$ is the sum of $n$ natural divisors of the number $a$ (not necessarily distinct; the number 1 is counted among the divisors).

V. V. Batyrev

36

M967. Chúng ta hãy biểu thị bằng σ(n) tổng của tất cả các ước tự nhiên của n (bao gồm 1 và n) và bằng φ(n) số lượng các số nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với nó. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
σ(n) + φ(n) ≥ 2n.

Đặt 1 = d₁ < … < dₖ = n - tất cả các ước của số n.
Trong các số tự nhiên không vượt quá n, số bội của dᵢ bằng n/dᵢ nên tổng số các số không nguyên tố cùng nhau với n, bằng n - φ(n), không lớn hơn tổng
$$\frac{n}{d_2} + \frac{n}{d_3} + ... + \frac{n}{d_k} = d_{k-1} + d_{k-2} + ... + d_1 = \sigma(n) - n$$
(với n/d₁ = dₖ, n/d₂ = dₖ-1, …). Như vậy,
n - φ(n) ≤ σ(n) - n,
từ đó rút ra bất đẳng thức đang được chứng minh.
Lưu ý rằng đối với số nguyên tố p, ước tính của chúng tôi là chính xác:
$$\sigma(p) = p + 1, \quad \varphi(p) = p - 1, \quad \sigma(p) + \varphi(p) = 2p.$$
V. F. Lev

M968. Ba đa giác trong không gian được đặt sao cho các mặt phẳng của chúng cắt nhau tại một điểm O.
a) Chứng minh rằng có một mặt phẳng mà các hình chiếu lên ba đa giác này có diện tích bằng nhau.
b) Sẽ có bao nhiêu mặt phẳng như vậy được chiếu qua điểm O?

Hình 1.

Chúng ta hãy liên kết đa giác M với vectơ $\vec{m}$, vuông góc với mặt phẳng của đa giác và có chiều dài bằng diện tích của đa giác. Khi đó, diện tích hình chiếu của M lên bất kỳ mặt phẳng α nào bằng chiều dài của hình chiếu $\vec{m}$ lên đường thẳng a vuông góc với α (diện tích của M trong quá trình chiếu được nhân với cosin của góc giữa α và mặt phẳng M, và chiều dài của vectơ $\vec{m}$ với cosin của góc giữa vectơ và đường thẳng a, nhưng các góc này rõ ràng bằng nhau; xem hình 1).

Let us plot from point O the vectors $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$ and $\vec{m}_3$, corresponding to the data of the polygon; their ends and point O do not lie in the same plane. Due to the above, the condition of problem a) is satisfied by the plane passing through the ends of these vectors; the plane of their projection onto the line perpendicular to it coincides. Và vì hình chiếu dài của hai vectơ bất kỳ $\vec{m}$ và $\vec{n}$ lên một đường thẳng bằng nhau khi và chỉ khi hình chiếu $\vec{m}$ trùng với hình chiếu $\vec{n}$ hoặc - $\vec{n}$, nên chúng ta có thể dựng tương tự thêm 3 mặt phẳng như vậy, thay thế ba vectơ $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$, $\vec{m}_3$ $\vec{m}_2$, or vector $\vec{m}_3$, or both together in opposite directions (hình 2). It is clear that these 4 planes are not parallel in pairs, and any plane that satisfies condition a) must be parallel to one of them. Như vậy, nó thổi vào bài toán 6) - 4 mặt phẳng.
A. Onukyan, N. M. Sedrakin

M969. Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c > 0:
$$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} \geq \frac{a + b + c}{3}.$$

Lưu ý rằng
$$\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 - c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 - a^3}{c^2 + ca + a^2} = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0,$$
Có thể, vế trái của bất đẳng thức có thể được viết lại thành
$$\frac{1}{2} \left( \frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 + c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 + a^3}{c^2 + ca + a^2} \right).$$
(*)

Và phẳng $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ và
$$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} - \frac{1}{3} = \frac{2(a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = \frac{2(a - b)^2}{a^2 + ab + b^2} \geq 0,$$

37

số hạng đầu tiên trong () không nhỏ hơn $(a+b)/3$; similarly, the second is no less than $(b+c)/3$, the third is $(c+a)/3$, that is, the entire expression () is no less than

$$\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}\right)=\frac{a+b+c}{3},$$

Q.E.D.

G, G. Alikhanov

M970. At the initial stop, 32 passengers boarded the bus, which needed to travel to 32 different stops located at a distance of 1 km from each other. The driver decided to vote: which stops to cancel and which to keep. Anh ta gọi điểm dừng ở một số tảng đá. Hành khách ủng hộ việc hủy điểm dừng nếu anh ta định đi xa hơn, phản đối việc anh ta có xuống xe ở điểm dừng này hay không và quay lại nếu - sớm hơn (không tính đến việc nếu anh ta tiếp tục dừng, điểm dừng của anh ta cũng có thể bị hủy). Nếu có nhiều phiếu ủng hộ việc hủy hơn là phiếu phản đối, điểm dừng sẽ bị hủy và một (hoặc những người) muốn xuống xe tại đó sẽ quyết định đi đến điểm gần nhất chưa bị hủy (nếu có hai trong số đó, hãy đến điểm đầu tiên). What is a) the smallest, b) the most number of stops that can be saved depending on the order in which the driver calls them?

a) Đáp số. 2. Hai điểm dừng cuối cùng được giữ nguyên theo thứ tự hướng đi: không ai hướng vào điểm cuối cùng, một hành khách hướng vào điểm áp chót và ít nhất một hành khách hướng vào điểm dừng đó. Nếu tài xế gọi dừng theo thứ tự số sau: 31, 32, 29, 30, 27, 28,…, 1, 2 thì tất cả các điểm dừng khác sẽ bị hủy (xem bảng).

6. Đáp số. 6. Để $m$ điểm dừng không bị hủy sau khi đi và tại $i$ trong số đó, tính từ cuối, $a_i$ hành khách đã xuống xe (ví dụ: $a_1=1$ - ở điểm dừng cuối cùng, điểm dừng thứ 32, rất indo, 1 hành khách đã xuống xe). Sau đó, không quá $a_i$ hành khách phản đối việc hủy bỏ điểm dừng này (vì cuộc bỏ phiếu tiếp theo không thể thay đổi lời giải việc xuống xe ở đó) và không ít hơn $a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$ ủng hộ việc hủy bỏ nó. Vì điểm dừng không bị hủy, $a_i \geq a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$. Giả sử có $m$ điểm dừng thì

$$32=a_m+a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1 \geq 2(a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1) \geq 2^2(a_{m-2}+\dots+a_1) \geq \dots \geq 2^{m-1}a_1=2^{m-1},$$

và do đó $m \leq 6$.

Bàn

| Số dừng | Số lượng đầu | Chống hủy bỏ |
| :— | :— | :— |
| 31 | 1 | 1 |
| 32 | 0 | 1 |
| 29 | 3 | 1 |
| 30 | 2 | 1 |
| 27 | 5 | 1 |
| 28 | 3 | 2 |
| … | … | … |
| 32-2k-1 | 2k+1 | 1 |
| 32-2k | k+1 | k |

Hãy để chúng tôi chỉ ra thứ tự đầu sao cho $m=6$. Hãy chia các điểm dừng, bắt đầu từ điểm cuối cùng, thành 6 nhóm gồm 1, 1, 2, 4, 8, 16 điểm dừng. Trong mỗi nhóm, chúng tôi đánh dấu một điểm dừng sao cho các điểm dừng lân cận cách đều ranh giới chung của nhóm chúng, tức là các điểm dừng được đánh số 32, 31, 30, 27, 22, 11 (xem hình). Hãy tiến hành bình chọn từ đầu đến cuối, đầu tiên là dọc theo những điểm dừng không bị hủy (dễ dàng nhận thấy rằng tất cả đều bị hủy), sau đó là những điểm đã bị hủy (tất cả hành khách sẽ bỏ phiếu cho từng điểm dừng đó).

38

hành khách của nhóm cô, chống lại - tất cả hành khách của các nhóm sau; kể từ $2^k = 1 + 1 + 2 + \dots + 2^{k-1}$, số phiếu thuận và phản đối sẽ bằng nhau và điểm dừng sẽ không bị hủy).

Các đối số trên có giá trị cho bất kỳ số điểm dừng nào; đáp số trong bài toán 6) trong trường hợp tổng quát - $[\log_2 n] + 1$.

S. L. Eliseev

F978. Hai vật nặng B và C giống nhau được gắn vào một thanh cứng không trọng lượng ABC có chiều dài 3l như trong hình 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Thanh được treo từ điểm A vào một sợi dây rất dài không trọng lượng AO. Tại thời điểm ban đầu, thanh được giữ ở vị trí nằm ngang và sợi chỉ thẳng đứng; sau đó thanh được thả ra. Vận tốc của điểm A tại thời điểm thanh đi qua vị trí thấp nhất là bao nhiêu?

Khi thanh đi qua cực dưới, sợi OA sẽ lệch rất nhẹ so với phương thẳng đứng (vì nó rất dài). Do đó, lực căng của ren tác dụng lên thanh luôn được coi là thẳng đứng (có thể xác định thành phần nằm ngang của nó). Do đó, thành phần nằm ngang của xung thanh không thay đổi, nghĩa là bằng 0 và ở vị trí thấp hơn

$$|mv_B|=|mv_C| \Rightarrow |v_B|=|v_C|=v.$$

Giá trị của $v$ sẽ được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$2\left(\frac{mv^2}{2}\right)=mgl+3mgl=4mgl,$$

Ở đâu

$$v=2\sqrt{gl}.$$

Như vậy, tại thời điểm đi qua cực thấp nhất, thanh quay quanh tâm K của đoạn BC (hình 2).

Trong trường hợp này $|AK|=2|OB|$ và tốc độ của điểm A

$$v_A=2v_B=2v=4\sqrt{gl}.$$

G. L. Kotkin

F979. Một lượng khí lý tưởng đựng trong một bình có dạng hai hình trụ nối nhau có cùng chiều dài l và có tiết diện S và αS (α>1). Ở giữa mỗi xi lanh có các piston được nối với nhau bằng một thanh cứng (xem hình); trong trường hợp này, áp suất ở ngăn I bằng p, ở ngăn III áp suất bằng βp thì các piston ở trạng thái cân bằng. Một thi thể Q được đưa vào hệ thống để nhiệt độ tăng lên, giữ nguyên ở tất cả các ngăn. Xác định xem áp suất trong ngăn I đã thay đổi như thế nào. Nội năng của một mol khí bằng $cT$ (c là nhiệt mol của khí). Khả năng sinh nhiệt của xi lanh và piston rất cao.

Gọi $V_i, p_i$ và $v_i$ là thể tích của ngăn thứ $i$, áp suất và số mol khí trong bình $v=v_1+v_2+v_3$. Vì nhiệt độ $T$ là như nhau ở tất cả các ngăn nên phương trình Mendeleev-Cliperon cho

$$p_1V_1+p_2V_2+p_3V_3=(v_1+v_2+v_3)RT=vRT.$$ (1)

Vì lý do tương tự, các piston sẽ không chuyển động, vì ở thể tích không đổi, tỷ số áp suất trong các ngăn không thay đổi và tại bất kỳ thời điểm nào điều kiện cân bằng sẽ được thỏa mãn.

$$(p_3-p_2)\alpha S+(p_2-p_1)S=0.$$ (2)

Sử dụng điều kiện $p_3=\beta p_1$, từ (2) ta tìm được

$$p_2=p_1\frac{\alpha\beta-1}{\alpha-1}.$$ (3)

Từ (3) rõ ràng là bài toán có ý nghĩa ở $\alpha\beta\ge 1$, vì áp suất phải dương. Thay $p_2$ và $p_3$ vào (1), ta tìm được mối liên hệ giữa áp suất ở ngăn thứ nhất và nhiệt độ:

$$p_1=\frac{vTR(\alpha-1)}{Sl(\alpha^2\beta-1)}.$$ (4)

Vì sự chênh lệch giữa nhiệt độ cuối cùng và nhiệt độ ban đầu

39

nhiệt độ $\Delta T = \frac{Q}{vc}$, từ (4) cho sự thay đổi áp suất $\Delta p$ ta có

$$\Delta p = \frac{QR(a-1)}{cSl(a^2\beta-1)}$$

V. S. Fadin

Sau khi nối các tấm 1 và 4 bằng một dây dẫn, hiệu điện thế giữa chúng $U_{14}$ sẽ bằng 0. Trong trường hợp này, sự phân bố điện tích trên các bản và điện trường giữa chúng sẽ như thể hiện ở hình 2.

$$U_{14} = E_1d - E_3d + E_2d = \frac{d}{\varepsilon_0S} (q'_1 - q_3 + q'_2) = 0.$$

Định luật bảo toàn điện tích ở tấm 2 và tấm 3 có:

$$q'_1 + q_3 = q_1, \quad q'_2 + q_3 = q_2,$$

Ở đâu

$$q_3 = \frac{q_1 + q_2}{3}.$$

Do đó, hiệu điện thế giữa tấm 2 và tấm 3 bằng

$$U_{23} = \frac{q_3}{\varepsilon_0S} d = \frac{q_1 + q_2}{3\varepsilon_0S} d.$$

G. V. Fedotovich

Để xác định lực $N$ tác dụng lên quá tải $m$ từ phía tải $M$, ta sử dụng định luật II Newton cho chuyển động của quá tải:

$$ma = mg - N.$$

Sau khi các vật nặng được thả ra, chúng thực hiện dao động điều hòa (dưới dạng một vật nặng có khối lượng $M + m$). Điều này có nghĩa là gia tốc $a$ thay đổi hướng của nó một cách định kỳ. Sức mạnh

$$N = m(g - a)$$

sẽ đạt cực đại tại thời điểm gia tốc đạt giá trị tuyệt đối lớn nhất và hướng lên trên, tức là tại thời điểm cánh tay bị giãn ra nhiều nhất. Để xác định gia tốc, định luật thứ hai của Newton được sử dụng cho chuyển động của tải khi quá tải:

$$(M + m)a = (M + m)g - kx.$$

Giá trị tối đa $x_{\max}$ sẽ được tìm thấy bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng (có tính đến thời điểm cánh tay duỗi tối đa, tốc độ của tải bằng 0):

40

$$-(M+m)gx_0 + \frac{k}{2}x_0^2 = -(M+m)gx_{\max} + \frac{k}{2}x_{\max}^2,$$

trong đó $x_0$ là độ giãn dài của lò xo khi không quá tải $m$. Xét rằng $kx_0 = Mg$, từ (2) ta thu được: $kx_{\max} = (M+2m)g$. Thay giá trị này vào (1), ta tìm được giá trị gia tốc cực đại -

$$|a_{\max}| = \left| -\frac{m}{M+m}g \right| = \frac{m}{M+m}g,$$

và biết $a_{\max}$, chúng ta tìm thấy $N_{\max}$:

$$N_{\max} = mg \frac{M+2m}{M+m}.$$

P. I. Zubkov

F982. Như đã biết, kích thước tối đa của các chi tiết hình ảnh khác nhau trên phim được xác định bởi kích thước tinh thể của lớp cảm quang. Khi kích thước tinh thể giảm, độ rõ của hình ảnh tăng lên. Ước tính kích thước tinh thể tối đa mà tại đó erithel không còn thay thế sự tăng độ rõ của hình ảnh trên màn hình rạp chiếu phim. Giả định rằng bạn có ý tưởng hay rằng bạn có thể tự mình đặt số lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ chính xác và thu được kết quả bằng số.

Trong trường hợp lắp đặt phim chiếu đơn giản nhất, hình ảnh trên màn hình được tạo ra do sự truyền của chùm ánh sáng phân kỳ xuyên qua phim phim, mang lại độ phóng đại cần thiết cho khung hình. Điều quan trọng là không có biến dạng tuyến tính trên màn hình. Điều này có nghĩa là tỷ lệ giữa kích thước $\Delta h$ của một chi tiết trên phim với kích thước $h$ của toàn bộ khung hình phải bằng tỷ lệ giữa kích thước $\Delta H$ của hình ảnh của chi tiết này trên màn hình với kích thước $H$ của toàn bộ hình ảnh của khung hình trên màn hình, tức là

$$\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta H}{H}.$$

Đặt $\Delta H$ là kích thước tối đa của một chi tiết, mắt người xem vẫn nhìn thấy từ xa $l$, $H$ là kích thước của màn hình, trùng với kích thước của khung hình trên đó, $\Delta h$ là kích thước tối thiểu của một chi tiết trên phim, trùng với kích thước của tinh thể cảm quang (“hạt”) của nhũ ảnh, $h$ là kích thước của khung trên phim (xem Hình hình).

Tỷ lệ $\Delta H/l$ được xác định bởi cái gọi là “độ phân giải góc của mắt” của người xem, tức là góc tối thiểu $\theta$, tại các ranh giới mà mắt phân tách (nhìn không rời rạc) hai điểm hoặc hai đường thẳng. Độ lớn của góc này rất dễ ước tính. Ví dụ, chúng ta hãy nhớ lại việc đến gặp một bác sĩ nhãn khoa: từ khoảng cách vài mét, nhìn vào một bảng chữ cái giống như cách chúng ta xem phim, chúng ta phân biệt được các chi tiết của các chữ cái không thay đổi vài milimet; nghĩa là, theo thứ tự độ lớn, góc $\theta$ bằng

$$\theta \sim \frac{\Delta H}{l} \sim 10^{-3}.$$

Do đó, $\Delta H \sim l\theta$, và

$$\Delta h = h \frac{\Delta H}{H} \sim \frac{hl\theta}{H}.$$

Ở $h=1$ cm, $l=20$ m, $H=5$ m, $\theta \sim 10^{-3}$ đối với kích thước tối thiểu của tinh thể quang nhũ, ngoài mức đó người xem ngừng thay thế việc tăng độ rõ của hình ảnh trên màn hình, chúng ta thu được

$$\Delta h \sim 0,04$$ mm.

Đánh giá này được thực hiện với các thông số đã biết của phim và vật liệu ảnh.

G. V. Meledin