Задачи М986—М990; Ф998—Ф1002

33

Задчи

М986 — М990, Ф998 — Ф1002

М986. Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство
$$2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} \geq 5\sqrt{ab}.$$

М987. В турнире участвуют $2m$ команд. В первом туре встретились некоторые $m$ пар команд, во втором — другие $m$ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$ команд, никакие две из которых еще не играли между собой.
M. Бона (ученик гимназии, Венгрия)

М988. Из одной точки $O$ на плоскости проведено $n$ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k < n/2$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$, лежит не менее $k$ векторов, то длина суммы всех $n$ векторов не превыходит $n - 2k$.
П. А. Калузин

М989. Найдите все натуральные числа $a$, для которых число $a - 1$ является суммой $a$ двух; $6$)* трех делителей числа $a$ (не обязательно различных; в число делителей включается 1).
В)* Докажите, что для любого $n$ существует лишь конечное число натуральных $a$ таких, что $a - 1$ является суммой $n$ натуральных делителей числа $a$ (не обязательно различных).
В. В. Батыеев

М990. В пространстве заданы три попарно скрещивающихся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует параллельпедов, у которых эти прямые $a$ проходят по ребрам?
6) проходят по ребрам или диагоналям граней?
в) содержат 6 вершин параллельпеда?
В. Н. Дубровский

Ф998. Горполыхник спускается с высокой горы с установленшей скоростью $v$. Гора образует угол $a$ с горизонтом и плавано переходит в горизонтальный участок. Как должен наклоняться лыжник, чтобы не упасть в момент перехода? Считать, что переход происходит быстро. Масса лыжника равна $M$. Соответствие воздуха не учитывать.
А. Н. Семенов

Ф999. По гладкой горизонтальной поверхности скольит мешок массой $m_1$, связанный жесткой невесомой вервкой с мешком массой $m_2$. Веревка, соединяющая мешки, проходит через не-

34

большое ответствие в столе (рис. 1). Длина вервки $L$, высота стола $H$, причем $H < L$. На какую высоту поднимается мешок $m_2$ после удара об пол, если в начальной момент все вервка лежала на столе и мешки не двигались?

Г. Л. Коткин

Из задач, присланных нашими читателями на Конкурс «Ф1000», лучше признана задача.

Ф1000. Ток $I$, текущий по контуру, образованному четырьмя ребрами куба (рис. 2), создает в центре куба магнитное поле с индукцией $B_0$. Найти величины и направление вектора индукции магнитного поля, создаваемого в центре куба током $I$, текущим по контуру из шести ребер (рис. 3).

М. М. Цыпин

Автор этой задачи — М. М. Цыпин — награждается Дипломом «Кванта».

Ф1001. В однородном электрическом поле находится незаряженный металлический шар. При выключении поля в шаре выделилось количество телла $Q$. Какое количество телла выделилось бы в шаре вторе большого радиуса?

С. С. Крогов

Ф1002. Точчный источник света находится на расстоянии $L$ от экрана. Собирающую линзу с фокусным расстоянием $F > (L/4)$, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы диаметр пятна, видимого на экране, будет минимальным?

Д. Ю. Григорьев

Problems

M986—M990; P998—P1002

M986. Prove the following inequality for arbitrary positive numbers $a$ and $b$:

$$2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{b} \geq 5\sqrt[5]{ab}.$$

M987. $2m$ teams participate in a tournament. In the first round $m$ pairs of teams meet, in the second — $m$ other pairs. Prove that after that it is possible to choose $m$ teams no two of which have met before.

M. Bona (gymnasium student, Hungary)

M988. $n$ unit vectors in the plane have the common origin $O$. Prove that if for some $k < n/2$ there are no less than $k$ vectors on both sides of any line passing through $O$, then the length of the sum of the $n$ vectors is no greater than $n-2k$.

P. A. Kalugin

M989. Find all the natural numbers $a$ for which the number $a-1$ is the sum of a) two; b)* three divisors of the number $a$ (not necessarily distinct).

c)* Prove that for any $n$ there exists only a finite number of natural numbers $a$ such that $a-1$ is the sum of $n$ natural divisors of the number $a$ (not necessarily distinct; the number 1 is counted among the divisors).

V. V. Batyrev

36

М967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n) и через φ(n) — количество чисел, меньших числа n и взаимно простых с ним. Докажите, что для любого натурального n ≥ 2
σ(n) + φ(n) ≥ 2n.

Пусть 1 = d₁ < … < dₖ = n — все делители числа n.
Среди натуральных чисел, не превыходящих n, количество кратных dᵢ равно n/dᵢ, поэтому общее количество чисел, не взаимно простых с n, равное n - φ(n), не больше суммы
$$\frac{n}{d_2} + \frac{n}{d_3} + ... + \frac{n}{d_k} = d_{k-1} + d_{k-2} + ... + d_1 = \sigma(n) - n$$
(ибо n/d₁ = dₖ, n/d₂ = dₖ-1, …). Таким образом,
n - φ(n) ≤ σ(n) - n,
откуда и следует доказываемое неравенство.
Отметим, что для простого p наша оценка точна:
$$\sigma(p) = p + 1, \quad \varphi(p) = p - 1, \quad \sigma(p) + \varphi(p) = 2p.$$
В. Ф. Лев

М968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке O.
a) Докажите, что найдется плоскость, проекции на когурую этих трех многоугольников имеют равные площади.
b) Сколько будет таких плоскостей, проекциих через точку O?

Рис. 1.

Сопоставим многоугольник M вектор $\vec{m}$, перпендикулярный плоскости многоугольника и равный по длине площади многоугольника. Тогда площад проекции M на любую плоскость α равна длине проекции $\vec{m}$ на прямую a, перпендикулярную α (площад M при проекции умножается на косинус угла между α и плоскостью M, а длина вектора $\vec{m}$ — на косинус угла между вектором и прямой a, но эти углы, очевидно, равны; см. рисунок 1).

Отложим от точки O векторы $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$ и $\vec{m}_3$, соответствующие данным многоугольника; их концы и точка O не лежат в одной плоскости. В силу сказанного выше условия за д а чи а) удовлетворяет плоскость, проходящая через концы этих векторов, плоскку их проекции на перпендикулярную ей прямую совпадают. А так как длинный проекций двух каки-х-libо векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ на прямую равны тогда и только тогда, когда проекция $\vec{m}$ совпадает с проекцией $\vec{n}$ или — $\vec{n}$, мы можем аналогично построить еще 3 такие плоскости, заменяя в тройке векторов $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$, $\vec{m}_3$ вектор $\vec{m}_2$, или вектор $\vec{m}_3$, или оба вместе на противоположные (рис. 2). Ясно, что эти 4 плоскости попарно не параллельны, и при этом любая плоскость, удовлетворяющая условия a), должна быть параллельна одной из них. Таким образом, от веет в задаче 6) — 4 плоскости.
А. Онукян, Н. М. Седракин

М969. Докажите неравенство для a, b, c > 0:
$$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} \geq \frac{a + b + c}{3}.$$

Заметим, что
$$\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 - c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 - a^3}{c^2 + ca + a^2} = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0,$$
позному левую часть нашего неравенства можно переписать в виде
$$\frac{1}{2} \left( \frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 + c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 + a^3}{c^2 + ca + a^2} \right).$$
(*)

А плоскку $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и
$$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} - \frac{1}{3} = \frac{2(a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = \frac{2(a - b)^2}{a^2 + ab + b^2} \geq 0,$$

37

первое слагаемое в () не меньше чем $(a+b)/3$; аналогично, второе — не меньше $(b+c)/3$, третье — $(c+a)/3$, то есть все выражение () не меньше чем

$$\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}\right)=\frac{a+b+c}{3},$$

что и требовалось доказать.

Г, Г. Алиханов

М970. На начальной остановке в автобус вошло 32 пассажира, который нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил проводить голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некоторых породке. Пассир головет за отмену остановки, если он собирается ехать дальше, против, если собирается выходить на этой остановке, и возвращается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем голововании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше головов, чем против, остановку отменют, а тот (или те), кто хотел на ней выходить, решит ехать до ближайшей к ней из еще не отмененных (если таких две — до первой из них). Какое а) наименьшее, б) наиболее число остановок может сохранить в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?

a) Ответ. 2. Две последние остановки сохраняются при любом порядке головования: против последней никто не головует, против предпоследней головует один пассажир, а за нее — не меньше одного. Если водитель называет остановки в следующем порядке номеров: 31, 32, 29, 30, 27, 28, …, 1, 2, все остальные остановки отменят (см. таблицу).

6. Ответ. 6. Пусть после головования осталось неотмененными $m$ остановок, и на $i$-й из них, считая с конца, сошло $a_i$ пассажиров (например, $a_1=1$ — на последней, 32-й остановке, оченьindo, скодит 1 пассажир). Тогда против отмены этой остановки проголовало не больше $a_i$ пассажиров (ибо последующое головование не могло уже изменить решения сойти на ней), а за отмену — не меньше $a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$. Поскольку остановку не отменили, $a_i \geq a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$. Пусть осталось $m$ остановок, тогда

$$32=a_m+a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1 \geq 2(a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1) \geq 2^2(a_{m-2}+\dots+a_1) \geq \dots \geq 2^{m-1}a_1=2^{m-1},$$

и следовательно, $m \leq 6$.

Таблица

| Номер остановки | Число головов | Против отмены |
| :— | :— | :— |
| 31 | 1 | 1 |
| 32 | 0 | 1 |
| 29 | 3 | 1 |
| 30 | 2 | 1 |
| 27 | 5 | 1 |
| 28 | 3 | 2 |
| … | … | … |
| 32-2k-1 | 2k+1 | 1 |
| 32-2k | k+1 | k |

Укажем такой порядок головования, при котором $m=6$. Разобем остановки, начиная с последней, на 6 групп, состоящих из 1, 1, 2, 4, 8, 16 остановок. В каждой группе отметим одну остановку так, чтобы соседние остановки были равно удалены от общей границы их групп, то есть остановки с номерами 32, 31, 30, 27, 22, 11 (см. рисунок). Проведем головование от конца к началу сперва по неотмененным остановкам (легко видеть, что их все отменяют), потом — по отменным (за каждую из них проголовут все пас-

38

сажиры ее группы, против — все пассажеры следующих групп; поскольку $2^k = 1 + 1 + 2 + \dots + 2^{k-1}$, число голосов за и против будет одинаковым и остановку не отменят).

Проведенные рассуждения справедливы для любого числа остановок; ответ в задаче 6) в общем случае — $[\log_2 n] + 1$.

С. Л. Елисеев

Ф978. На жестком неевесом стержне ABC длины 3l закреплены два одинаковых грузика B и C так, как показано на рисунке 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Стержень подвешен за точку A к очень длинной неевесом нити AO. В начальной момент стержень удержают в горизонтальном полюзении, и нить при этом вертикальна; затем стержень отпускают. Какой будет скорость точки A в тот момент, когда стержень будет проходить низшее полюзение?

К тому моменту, когда стержень будет проходить низшее полюзение, нить OA очень слабо отклонится от вертикали (поскольку она очень длинная). Поэтому силу натяжения нити, действующую на стержень, можно считать все время вертикальной (горизонтальной ее составляющей можно претенбчь). Следовательно, горизонтальная составляющая импульса стержня остается неизменной, то есть равной нулю, и внизшем полюзении

$$|mv_B|=|mv_C| \Rightarrow |v_B|=|v_C|=v.$$

Значение $v$ найдет из закона сохранения энергии:

$$2\left(\frac{mv^2}{2}\right)=mgl+3mgl=4mgl,$$

откуда

$$v=2\sqrt{gl}.$$

Таким образом, в момент прохождения низшего полюзения стержень врашает вокруг центра K отрезка BC (рис. 2).

При этом $|AK|=2|OB|$, и скорость точки A

$$v_A=2v_B=2v=4\sqrt{gl}.$$

Г. Л. Коткин

Ф979. В сосуде, имеющим форму двух «состыкованных» цилиндров одинаковой длины l и с площадями сечений S и αS (α>1), находится идеальный газ. Посредние каждого цилиндра находится поршни, соединенные жестким стержнем (см. рисунок); при этом давление в отсеке I равно p, в отсеке III давление равно βp, поршни находится в равновесии. К системе подвели тело Q так, что температура возросла, оставаясь во всех отsekах одинаковой. Определите, как изменилось давление в отсеке I. Внутренняя энергия одного моля газа равна $cT$ (с — молярная тепломкость газа). Теплоемкость цилиндров и поршней претенбрежимо мылы, генерием претенбчь.

Пусть $V_i, p_i$ и $v_i$ — объем $i$-го отсека, давление и число молей газа в сосуде $v=v_1+v_2+v_3$. Так как температура $T$ во всех отsekах одинакова, уравнение Менделеева — Клайперона дает

$$p_1V_1+p_2V_2+p_3V_3=(v_1+v_2+v_3)RT=vRT.$$ (1)

По этой же причине поршни не сместятся, так как при постоянных объемах отношение давления в отsekах не меняется и в любой момент времени будет выполнен условие равновесия

$$(p_3-p_2)\alpha S+(p_2-p_1)S=0.$$ (2)

Используя условия $p_3=\beta p_1$, из (2) находится

$$p_2=p_1\frac{\alpha\beta-1}{\alpha-1}.$$ (3)

Из (3) видно, что задача имеет смысл при $\alpha\beta\ge 1$, так как давление должно быть положительным. Подставляя $p_2$ и $p_3$ в (1), находим связь между давлением в первом отсеке и температурой:

$$p_1=\frac{vTR(\alpha-1)}{Sl(\alpha^2\beta-1)}.$$ (4)

Поскольку разность конечной и начальной температуры

39

ператур $\Delta T = \frac{Q}{vc}$, из (4) для изменения давления $\Delta p$ имеем

$$\Delta p = \frac{QR(a-1)}{cSl(a^2\beta-1)}$$

В. С. Фадин

После соединения пластин 1 и 4 проводником, разность потенциаль между ними $U_{14}$ будет равна нулю. При этом распределение заряда на пластинах и электрических полей между ними будет таким, как показано на рисунке 2.

$$U_{14} = E_1d - E_3d + E_2d = \frac{d}{\varepsilon_0S} (q'_1 - q_3 + q'_2) = 0.$$

Из закона сохранения заряда на пластинах 2 и 3 следует:

$$q'_1 + q_3 = q_1, \quad q'_2 + q_3 = q_2,$$

откуда

$$q_3 = \frac{q_1 + q_2}{3}.$$

Следовательно, разность потенциаль между пластинами 2 и 3 равна

$$U_{23} = \frac{q_3}{\varepsilon_0S} d = \frac{q_1 + q_2}{3\varepsilon_0S} d.$$

Г. В. Федотович

Для того чтобы определить силу $N$, действующее на перегрузок $m$ со стороны груза $M$, воспользуемся вторым законом Ньютона для движения перегрузка:

$$ma = mg - N.$$

После того как грузы отпустили, они совершают гармоничные колбания (как один груз массы $M + m$). Значит, ускорение $a$ периодически изменяет свое направление. Сила

$$N = m(g - a)$$

будет максимальная в момент, когда ускорение имеет максимальную абсолотную величины и направлено вверх, то есть в момент наиболее растяжения рукки. Для определения ускорения использует второй закон Ньютона для движения груза с перегрузком:

$$(M + m)a = (M + m)g - kx.$$

Максимальное значение $x_{\max}$ найдет с помощью закона сохранения энергии (учитывая, что в момент максимального растяжения рукки скорость груза равна нулю):

40

$$-(M+m)gx_0 + \frac{k}{2}x_0^2 = -(M+m)gx_{\max} + \frac{k}{2}x_{\max}^2,$$

где $x_0$ — удлинение пружины без перегрузка $m$. Учитывая, что $kx_0 = Mg$, из (2) получаем: $kx_{\max} = (M+2m)g$. Подставляя это значение в (1), находим максимальное значение ускорения —

$$|a_{\max}| = \left| -\frac{m}{M+m}g \right| = \frac{m}{M+m}g,$$

и зная $a_{\max}$, находим $N_{\max}$:

$$N_{\max} = mg \frac{M+2m}{M+m}.$$

П. И. Зубков

Ф982. Как известно, предельный размер различной детали изображения на кинопленке определяется размером кристалликов светочувствительной слоя. С уменьшением размера кристалликов четкость изображения растет. Оцените предельный размер кристалликов, при котором эритель перестает заменать рост четкости изображения на экране кинозала. Предполагается, что вы хорошо представляется, что вы хорошо представляется, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильные численные значения и получить численный результат.

В случае простейшей проекционной киноустановки изображение на экране создается в результате прохождения через кинопленку расходящого светового пучка, обеспечивающего необходимое увеличение кадра. При этом важно отсутствие линейных искажений на экране. Это значит, что относение размера $\Delta h$ детали на пленке к размеру $h$ всего кадра должно быть точно таким же, как и относение размера $\Delta H$ изображения этой детали на экране к размеру $H$ всего изображения кадра на экране, то есть

$$\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta H}{H}.$$

Пусть $\Delta H$ — предельный размер детали, еще различим глазом зрителя с расстояния $l$, $H$ — размер экрана, совпадающий с размером изображения кадра на нем, $\Delta h$ — минимальный размер детали на кинопленке, совпадающий с размером светочувствительного кристаллика («зерна») фотоэмульсики, $h$ — размер кадра на пленке (см. рисунок).

Отношение $\Delta H/l$ определяется так называемым «угловым разрешением глаза» зрителя, то есть минимальным углом $\theta$, на границах которого глаз разделяет (видит неслившимся) две точки или две линии. Величину этого угла несложно оценить. Вспомним, например, посыщение кабине-вара-окулиста: с расстояния нескольких метров, расматривая таблицу букв так же, как мы смотрим кино, мы различаем детали букв, не менящие нескольких миллиметров; то есть по порядку величины угол $\theta$ равен

$$\theta \sim \frac{\Delta H}{l} \sim 10^{-3}.$$

Таким образом, $\Delta H \sim l\theta$, и

$$\Delta h = h \frac{\Delta H}{H} \sim \frac{hl\theta}{H}.$$

При $h=1$ см, $l=20$ м, $H=5$ м, $\theta \sim 10^{-3}$ для минимального размера кристалликов фотоэмульсики, за пределами которого зритель перестает заменять рост четкости изображения на экране, получаем

$$\Delta h \sim 0,04$$ мм.

Эта оценка выполняется с известными параметрами кинофотоматериалов.

Г. В. Меледин