Вызов Ван Роумена

Квант 1986, №6 с. 18, 20 Тег YQ7I

Вызов
Ван Роумена
Кандидат физико-математических наук
Ю. П. СОЛОВЬЕВ

В начале октября 1594 года король Франции Генрих IV принял в Фонтеблю посланника Республики Соединенных Нидерландов, который по имени самой крупной ее провинции чаше всего называли Голландей. Возникшая в результате дительной и упорной борьбы против испанского владичества, республика была очень молода — ей шел всего второй десятиок лет. Война с Испании не прекрашалась — голландское правительство настоящего искало соозников. А во Франции только что погасли пожары многоолетней международными, поддерживаемой испанцами, стал французским королем. Генрих не скрывал своего интереса к Голландии как к соознику в борьбе с Испании, но более всего его интересовали бурно развивающиеся голландская промышленность, торговля и мореплавание. Поэтому, прогуляясь по парку в Фонтеблю, он внимательнослушал рассказ посланника о новых шелковых мануфактурах Роттердама, бумажных фабриках Утреста, карабельных верфях Зандама.

— В Голландии сейчас много талантливых инженеров и ученых,— говорил посланник.— Математик и механик Симон Стевин разработывает новые системы шлюзов и плотин, по проектам математика Лудольфа Цейлена возводятся крепости, математик Андриен Ван Роумен славится своим головоломными вычислениями. Кстати,— продолжал посланник,— не так давно Ван Роумен сделал вызов математикам всего мира. Он разослал во многое страны письмо, в котором предлагает решить придуманную им задачу. Но пока это никому не удалось.

— Победителем непреемного будет француз,— заместил посланник,— я приведэ это письмо, но

Каждеое число здесь получается посредством сложения чисел, стоящих перед ним и над ним. Стоит отмечать, что Виет выражает не sin $nx$ и cos $nx$ через sin $x$ и cos $x$ , как это делаем мы, а 2sin $nx$ и 2cos $nx$ через 2sin $x$ и 2cos $x$ . Если в образованных таким образом выражения расматривать величины 2sin $nx$ или 2cos $nx$ как известные, то мы получим уравнение $n$ -й степени относительно неизвестных 2sin $x$ и 2cos $x$ .

Первоначальная цель, ради которой Виет выводил формулы синусов кратных дуг, заключалась в вычислении синусов дуг через синусы малых дуг, то есть в составлении таблицы синусов. Затем эти формулы нашли применение в алгебре и геометрии. В частности, геометрическую задачу о трискции угла $\alpha$ Виет связал с уравнением $3x-x^3=a$ , которое удовлетворяют значения $a=2\sin \alpha$ , $x=2\sin(\alpha/3)$ . Два положительных решений этого уравнения Виет трактует как хорды, отвечающие дугам $2\alpha/3$ и $(360^\circ-2\alpha)/3$ . Отрицательный корень он, по общимению своего времени, вообще не принимает во внимание. Точно так же задачу о делении угла на пять равных частей Виет связывает с уравнением $5x-5x^3+x^5=a$ , которое удовлетворяют значения $a=2\sin \alpha$ , $x=2\sin(\alpha/5)$ .

Из сказанного ясно, в какой степени был подготовлен Виет, чтобы мгновенно решить задачу Ван Роутена. Он сразу же увидел, что предложенное значение $a$ является длинной стороны правильно пятнадцатитугольника, вписанного в единичный круг (проверьте это!), или, что то же самое, хордой, отвечающей дуге $24^\circ$ . Коэффициенты при первом и предпоследнем членах левой части позволили ему предположить, что левая часть есть не что иное, как выражение 2sin $45\alpha$ через 2sin $\alpha$ . Но поскольку $a=2\sin 12^\circ$ , то $\alpha=12^\circ/45=4^\circ/15$ , и значит, $x=2\sin(4^\circ/15)$ . Именно это решение и передал Виет голландскому посланнику.

После аудиенции Виет проверил свое предложение. Однако, продолжав необходимые вычисления, он обнаружил, что левая часть предложенного уравнения не совпадает с разложением 2sin $45\alpha$ по степени 2sin $\alpha$ !

Наверное, в этот момент он чувствовал себя не очень уютно, скорее всего, просто скверно.

Что произошло? Может быть, это всего лишь ошибка в весма утомительных вычислениях? Видимо, в этот момент Виет и сумел найти другой — геометрический — способ выразить 2sin $45\alpha$ через 2sin $\alpha$ : для того чтобы разделить дуг на 45 части, нужно разделить ее сначала на пять части, затем каждую часть на три и снова на три. Другими словами, левую часть уравнения Ван Роутена можно получить из системы
$\begin{cases} 3z-z^3=a, \\ 3y-y^3=z, \\ 5x-5x^3+x^5=y. \end{cases}$

Лишь проанализировав те ответы, которые сообщал Ван Роутен для двух других значений $a$ , Виет убедился, что ребястительно идет о делении дуг на сорок пять части и смело исправил ошибку в условия. Но Виет не ограничился этим решением. Двадцать два других решения, сообщенных им на следующий день, имели вид
$2\sin \frac{360^\circ k+12^\circ}{45}=2\sin \frac{120^\circ k+4^\circ}{15},$
$k=1, 2, ..., 22$ .

Таким образом, Виет удалилось найти все положительные корни (напомним, что только они считались решениями в его время).

Здесь можно было бы поставить точку, однако математическое совершение между Виетом и Ван Роутеном на этом не кончилось. Спустя короткое время Виет предложил Роутену построить циркулем и линейкой окружность, касающейся трех данных окружностей (задча Аполлония). Вскоре Виет указал изящное геометрическое построение, выполнимое только циркулем и линейкой.

Рассказывалот, что, потерпев второе поражение, Ван Роутен стал носитьным почитателем Виета и даже приезжал к нему учиться.