Электромагнитная индукция

47

Электромагнитная индукция

Доктор физико-mатематических наук
С. М. КОЗЕЛ

Явление электромагнитной индукции было открыто Фарадем в 1831 году. Это открытие показало, что между электрическим и магнитным полями имеется технология связи — изменяющеся во времене магнитное поле порождает электрическое. Примерно через 30 лет Максвеллу удалось показать, что изменяющеся электрическое поле в свою очередь порождает магнитное. В этих двух великих открытиях прошло века заключена, по существу, все современная наука об электромагнитных полях. Они позволили предсказать существование радиоволн, даь обязывание электромагнитной природы света.

В результате многочисленных и разнообразных опытов Фарадей установил колiectвенный связь между ЭДС индукции $E_{\text{ind}}$ и скоростью изменения магнитного потока $\Phi$, произвольно его замкнутый контур (закон Фарадея):

$$E_{\text{ind}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

В более строгой математической записи $E_{\text{ind}}$ выражается через первую произвольную магнитного потока по времени: $E_{\text{ind}} = -\Phi'(t)$.

Обыты по электромагнитной индукции, поставленные Фарадем, можно разделить на две группы. К первой группе относятся опыты с проводниками, движущимся в магнитном поле. В этом случае возникнет ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца. При движении проводника его свободные заряды движутся вместе с ним. Сила Лоренца, действующая на эти заряды, вызывает их перемещение относительно проводника.

На рисунке 1 изображена схема одного из таких опытов. В магнитном поле постоянного магнита находится замкнутая проводочная рамка, в цепь которой включает галванометр Г. Рамка удаляется со скоростью $\vec{v}$ от южного полока магнита, а ее плоскость остается перpendикулярной оси магнита. При движении в рамках возникнет индукционный ток. Формула Фарадея позволяет найти направление индукционного тока.

Вопрос 1. Каков физический смысл знака «—» в формуле для $E_{\text{ind}}$?

Для определения направления индукционного тока нам необходимо

48

прежде всего задать положительное направление тока в рамке и направление положительной нормали к плоскости рамки (которая определяет знак магнитного потока). Эти два направления должны согласованы по правилалу правого вината (буравчика). Так, если на рисунке 1 выбрать направление положительной нормали $n$ к плоскости рамки слева направо, то положительное направление тока должна быть выбрано против часовой стрелки (если смотреть на рамку состояны магнитна). При таком выборе магнитный поток, произвольной контур рамки, $\Phi > 0$, но при удалении рамки от магнита поток уменшается и, следовательно, $\Delta \Phi / \Delta t < 0$. Из закона Фарадей следует, что $\mathcal{E}_{\text{инд}} > 0$.

Если рамка обладает активным сопротивлением $R$, то индукционный ток $I = \mathcal{E}_{\text{инд}} / R > 0$. Это означает, что ток будет течь против часовой стрелки.

Разобранное здесь правило знаков часто ускользает от внешания абитурентов. А между тем знак «—» в законе Фарадей обеспечивает выполнение закона сохранения энергии. В нашем примере на каждый элемент рамки, по которым течет индукционный ток, будет действовать сила Ампера $F$. Горизонтальная составляющая этой силы направлена против движения рамки. Таким образом, в соответствии с законом сохранения и превращения энергии рамка будет испытывать торможение, а в самом рамке будет выделяться джоулево телло.

Индукционный ток в рамке возникнет не только при ее поступательном движении, но и при вращении или деформации рамки в магнитном поле. Важно только, чтобы изменялся магнитный поток, произвольной рамку.

Опыт показывает, что если рамку оставить неподвижной, а перемещать магнит, то индукционные явления протекают точно так же, как и при движении рамки. Индукционный ток зависит только от относительной движения рамки и магнита. Закон Фарадей применим и в этом случае, одноко объяснение явления теперь оказывается совершенно другим. В неподвижных контурах сила Лоренца не может вызвать движения зарядов по проводникам. Ответственным за возникновение $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ в этом случае является электрическое поле, возникшее при изменении магнитного поля. Это поле называют вихревым, потому что, в отличие от электростатического поля, его силовые линии могут быть замкнуты.

Вопрос 2. Какова количество связь вхревого электрического поля с $\mathcal{E}_{\text{инд}}$?

По определению электрижущая сила равна работе сил, действующих на единичный положительный заряд при его перемещении по замкнутой траектории. В электростатическом поле эта работа всегда равна нулю (такие поля называют потенциальными). В вихревом электрическом поле она может быть отлична от нуля. Эта работа и равна $\mathcal{E}_{\text{инд}}$.

В качестве примера рассмотрим магнитное поле между положами электромагнита (рис. 2). Пусть, для простоты, положы цилиндрические, так что магнитное поле в области, близкой к оси, можно считать одноподным. Если магнитное поле будет изменяться со временем, то взаоре электромагнита возникнет вихревое электрическое поле, силиовые линии которого представляют собой концентри

49

трическое окружности. Выделим окружность радиусом $r$. Работу вихревого электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по этой окружности можно записать в виде

$$E(r) \cdot 2\pi r = \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{\Delta B}{\Delta t} \pi r^2.$$

Отсюда

$$E(r) = -\frac{r}{2} \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Направление линейнапряженности $\vec{E}$ вихревого электрического поля на рисунке 2 показано для случая, когда индикция $\vec{B}$ магнитного поля возвращает со временем.

Представление о вихревом электрическом поле было введено Максвеллом. По Максвеллу, существуя является электримагнитной индукции состоит в возникновении вихревого электрического поля, которое может возвращаться не обязательно в проводниках. Оно может возникнуть и в пространстве, где нет никаких проводников. Вихревое электрическое поле, порождаенное изменяющимся магнитным полем, может пройвиться в действии на отдельные заряженные частицы в вакууме, как, например, вускоритель электровоз — бетатрон (см. задачу 4).

Рассмотрим теперь ряд задач на индукционные явления в движущихся и неподвижных проводниках.

Задача 1. По двум вертикальным параллельным рейкам, замкнутым в верхней части через резistor с сопротивлением $r=1,1$ Ом и батарею с ЭДС $E=1$ В, без треня скольчит стержень CD, длина которого $l=10$ см и масса $m=10$ г (рис. 3). Система нахождения в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл. Вектор $\vec{B}$ перpendicular плоскости чертежа и направлен к читателю. Найдите установившуюся скорость стержня. При каком соответствии между параметрами задачи установившаяся скорость будет направлена вверх?

Рассмотрим контур ACDK,ащтрихованный на рисунке 3. При движении стержня в нем будет возникать $\mathcal{E}_{\text{инд}}$. За положительное направление тока в этом контуре выберем направление против часовой стрелки. Тогда положительная нормаль к плоскости контура направлена к читателю и, следовательно, магнитный поток

$$\Phi > 0.$$ При движении стержня визм магнитный поток через контур увеличивается: $\Delta \Phi/\Delta t > 0$. Если скорость падения обозначить через $v$, то $\mathcal{E}_{\text{инд}} = -\Delta \Phi/\Delta t = -vlB$.

Запишем теперь закон Ома для контура ACDK:

$$Ir = -\mathcal{E} + \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\mathcal{E} - vlB.$$

К этому уравнению нужно добавить условия постоянства скорости: при установившемся движении сила тяжестеги $m\vec{g}$ компенсируется амператорой силой $\vec{F}$, действующей на стержень с стороны магнитного поля. Применяя правило левой руки, легко убедиться, что амператора сила будет направлена вверх, когда ток в стержне течет справа налево, то есть при $I < 0$. Следовательно,

$$mg = F = -IBl.$$

Отсюда

$$v = \frac{1}{BL} \left( \frac{mgr}{Bl} - \mathcal{E} \right).$$

Подставляя числовые данные, найдем: $v = 1$ м/c > 0 — стержень действующего движения.

Для того чтобы установившаяся скорость оказалась направленной вверх, должно выполнять условие

$$\mathcal{E} > \frac{mgr}{Bl} = 1,1$$ В.

Обратим внимание на то, что из написанных формул вытекает очень важное энергетическое соотношение:

$$I^2r = -\mathcal{E}I - vlBI = -\mathcal{E}I + mgv.$$

Джоулево теплло $I^2r$, выделяющееся в единицу времени на сопротивлении $r$, равно сумме работы батареи — $\mathcal{E}I$ (эта работа положительная, так как $I < 0$) и силы тяжестеги $mgv$ за это же время. Magнитное поле работает не совершает!

51

Задание 4. Вускорите электронов — бетатроне — роль ускоряющего поля црает вхревое электрическое поле, возбуждаемое изменением магнитного потока, произвлающего орбиту электронов. Считая радус орбиты электронов неизменным, определяте необходимое для этого в данной момент времени соответствие между средним магнитным полем $B_{cp}$, произвлающего орбиту электронов, и магнитным полем на орбите $B$. Магнитное поле параллельно оси симметрины вакуумной камеры бетатрона.

Физика этой задачи состоит в том, что вхревое электрическое поле $E$ и сообщаемая этим полем электрону скорость $v$ определяются изменением среднего значения магнитного поля, произвлающего орбиту, а сила Лоренца, удерживающая электрон, зависит от магнитного поля на самом орбите.

Провода те же рассуждания, что и при решении предыдущего задачи, запишем

$$|E| = \frac{r}{2} \frac{\Delta B_{cp}}{\Delta t}, \quad v(t) = \frac{er}{2m} B_{cp}(t).$$

Из условия движения электрона по орбите $evB = mv^2/r$ получим

$$B(t) = \frac{mv(t)}{er} = \frac{B_{cp}(t)}{2}.$$

Таким образом, для стабильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты в любой момент времени было в два раза больше поля на орбите. Следовательно, магнитное поле в центральной части орбиты должно быть больше, чем на самом орбите. Это достигается специальным выбором конфигурации магнитов.

В заключение рассмотрим интересное применение закона электромагнитной индукции к сверхпроводящим катушкам. Сверхпроводники широко использоваются при создании сильных электромагнитов. В замкнутой сверхпроводящей обмотке ток может циркулировать длительное время без источника энергии.

Допустим, что у нас есть короток замкнутая рамка из сверхпроводника. Пусть ток в рамке равен нулю. Внесем рамку во внешнее однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной перpendicularно плоскости рамки.

Вопрос 4. Какой магнитный поток пропизывает рамку?

Надо ответить, что многое абитуренты отвечают на этот вопрос так: магнитный поток равен произведению $BS$, где $S$ — площадь рамки. Этот ответ неверен. Правильный ответ состоит в том, что магнитный поток, произвлающий орбиту электронов, и магнитный полем на орбите $B$. Магнитное поле параллельно оси симметрины вакуумной камеры бетатрона.

Физика этой задачи состоит в том, что вхревое электрическое поле $E$ и сообщаемая этим полем электрону скорость $v$ определяется изменением среднего значения магнитного поля, произвлающего орбиту, а сила Лоренца, удерживающая электрон, зависит от магнитного поля на самом орбите. Этот результат вытекает из закона Фарадея. Действительно, для сверхпроводящей замкнутой цепи закон Ома записьается в виде $0 = -\Delta \Phi/\Delta t$. В левой части этого соответствия стоит падение напряжения на нулевом сопротивлении сверхпроводника, в правой — ЭДС индукции. Отсюда следует, что $\Phi = const$. Таким образом, замкнутый сверхпроводящий контур является консерватором магнитного полока. Он сохраняет тот магнитный поток, который пропизывает контур в момент перехода в сверхпроводяще состояние. Этот поток нельзя изменить никакими внешними полями (до тех пор, пока сохраняется сверхпроводимость).

Физическая механизм, обеспечивающий сохранение потока, состоит в том, что при изменении внешнего магнитного полока в контуре появляется индукционный ток, магнитное поле которого полностью компенсирует изменение внешнего магнитного полока.

Задание 5. На какую величины изменяется ток в круговой петле из сверхпроводника, если надеть ее на длинный соленод, который подключает к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$, как показано на рисунке 5? Полное сопротивление цепи соленода $r$, индуктивность петли $L$, индуктивность соленода $L_0$, его число витков $N$.

Пусть $I_0$ и $I$ — начальное и конечное значения ток в петле. Заметим, что ток в соленод не изменяется и остается равным $\mathcal{E}/r$, так что собственный магнитный поток соленода равен $L_0\mathcal{E}/r$. При этом каждый виток соленода пропизывает магнитный поток $L_0\mathcal{E}/(rN)$. Такой же поток (внешний по отношению к петле) пропизывает и петлю, надетую на соленод. Но полный магнитный поток в петле должен оставаться неизменным. Поэтому

$$LI \pm L_0\mathcal{E}/(rN) = LI_0,$$

или

$$I_0 - I = \pm L_0\mathcal{E}/(LrN).$$

Двузначность в этих формулах связа-