Четырёхмерный куб

3

Четырехмерный куб

Кандидат физico-mатематических наук
С. В. ДУЖИН,
кандидат физico-mатематических наук
В. Н. РУВЦОВ

«Рассмотрим четырехмерный куб…», «Выделим в десятимерном пространстве шестимерное подпространство…» Эти и многоные им фразы авторы частенько встречали в научной литературе, слышали на разнообразных семинарах, сами произносили, одним словом, привыкли не удивляться им. Но однажды задумались:
«А ведь не так уж далеко те времена, когда слова « четырехмерный куб», «четвертое измерение» были пуляошце непривычны служу даже большинства математиков, а у неспециалистов вызывали недоумение и любопытство, среди интересу к «снежному человеку», «летающий таракам» и прочим псевдонаучным вещем». Между авторами возник следующий диалог:

А₁: Четырехмерный куб? Конечно, это тривиально! Его надо задавать просто как подмножество четырехмерного пространства с помощью формул, обобщающих школьные формулы. Только формулами!

A₂: Согласно это даст возможность формально определить, что такое четырехмерный куб, но будет непонятно, неаглядно. Четырехмерный куб легко описывает геометрические как фигура, аналогичная квадрату на плоскости или кубу в трехмерном пространстве. Проекции, развертки, секения — только так!

Недолго спорив, авторы решили по-proбовать обединить свои точки зрения, начав, правда, с наглядной стороны дела.

Как его «увидеть»

Чтобы представить себе четырехмерный куб, полезно сначала посмотреть на общий — трехмерный — куб, а также на «двумерный куб» (квадрат) и «одномерный куб» (отрезок) в диамеке — так, как они показаны на рисунках 1, а, б, с.

Изучив эти рисунки, можно попытаться понять и рисунок 2, изображаюший четырехмерный куб. Так же как (двумерная) грань ABCD трехмерного куба, дивяясь параллельно самой себе (рис. 1,a) до положения A’B’C’D’, заметает трехмерный куб, «трехмерная грань» ABCDEFGH, дивяясь параллельно самой себе до по-

Рис. 1. Так трехмерный куб получается из квадрата, квадрат — из отрезка, отрезок — из точки.

Рис. 2. А так четырехмерный куб получается из трехмерного.

4

Ложения $A'B'...H'$, «заметает» четырехмерный куб. Увидели ли вы его?
Конечно, полученный чертеж четырехмерного куба условен, он дает его искаженное изображение. Но ведь и рисунок 1,a дает искаженное изображение общного куба на плоскости. На самом деле оба чертежа имеют одинаковую природу: они показывают образы трехмерного и четырехмерного кубов при параллельной проекции на плоскость.
Разница лишь в том, что нам удается «приподнять в пространство» плоское изображение трехмерного куба успешем мысли, а такой способностью представить себе «четырехмерье» мы уже не обладаем.

Ну, а если не удалось хорошего увидеть четырехмерный куб в движении — попробуем развернуть его.

Как его развернуть
Чтобы представить себе развертуку четырехмерного куба, сначала посмотрим на развертуку трехмерного и двумерного кубов (рис. 3). Мы видим, что развертка квадрата одномерна и состоит из четырех отрезков; развертка куба двумерна и состоит из шести квадратов. Аналогично, развертка четырехмерного куба трехмерна и состоит из восеми трехмерных кубов (рис. 4).

Так же как трехмерный куб можно склить из развертки (см. рис. 3,6), отождествляя вершины $G_1 \equiv G_2 \equiv G_3$, $H_1 \equiv H_2 \equiv H_3$, $E_1 \equiv E_2$ и $F_1 \equiv F_2$ (и соответствующие ребра), четырехмерный куб можно получить из его развертки (см. рис. 4), «склеивая» вершины, обозначенные одинаковыми буквами, но с разными номерами, например $M_1 \equiv M_2 \equiv M_3 \equiv M_4$ или $I_1 \equiv I_2$; при этом склеивания не только вершины (и соответствующие ребра), но и двумерные грани, например $M_3O_3P_3Q_3 \equiv M_4O_4P_4Q_4$.

Рисунок 4 стоит рассмотреть внимательнее. Можно считать, что на нем показан макет своеобразного восемикомнатного дома. Этот дом описан американским писателем-фантастом Р. Хайнлайном в рассказе «Дом, который построил Тилл». Во время «путешествия», предприятого героями Хайнлайна по чудесному дому, их поразило следующее обстоятельство. Когда они, двигаясь в определенном направлении, проходили комнату одну за другой, то пятой комнатой на

5

их пути оказалась та, из которой они вышли. Например, если, движясь «снизу вверх», пройти четые комнаты, образующие центральную базию развертки, то вовь оказалась в комнате «первого этажа». Действительно, «крыша» дома, как это видно из обозначенной вершин, склеена с «полом» нижней комнаты. На самом деле всякий раз при пересечении границ комнат маршрут автоматически поворачивает на 90°, так что, например, ломанная $M_4AEK_3M_3$ не прямолинейна, но представляется собой контур квадрата. Этот факт легко понять, рассматривая аналогичные пути на развертке трехмерного куба и на поверхности самого куба (рис. 3). Если вы поняли идею склеивания четырехмерного куба из его развертки, вас не удивит то, что один из героев рассказа Хайнлайна, выпрыгнув из окна одной из комнат очутился… снова внутри дома!

Как его проектировать

Существует еще один популярый способ изображения четырехмерного куба, представленный на рисунке 5,6. Восемь трехмерных граней изображены здесь внутриним (малым) кубом, внешним (большим) кубом и шестью усеченными парамидами, соединяющими соответствующие грани малого и большого кубов. Этот рисунок получается при центральном проектировании четырехмерного куба на некоторую «трехмерную плоскость». Смысл этого рисунка легко понять, если рассмотреть также рисунок 5,a, на котором изображена центральная проекция трехмерного куба на плоскость из некоторой точки.

По рисунку 5 удобнее всего считать количество разного рода составляющих элементов четырехмерного куба.

Рис. 5. Изображение объчно и четырехмерного кубов в центральной проекции.

Рис. 6. «Маломерные кубы» в своих системах координат.

6

Рис. 7. Четырехмерный куб в четырехмерной системе координат.
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1. Четырехмерный куб в системе координат x, y, z, t четырехмерного пространства изображен на рисунке 7, где у каждой вершины указаны ее координаты (в целях экономии места без скобок и запятых).

Придирчного читателя не удовлетворит, однако, такое определение. Он просит: что такое система координат в четырехмерном пространстве? И вообще, что такое четырехмерное пространство?

Что бы ответить на последний вопрос, мы сначала вспомним — ну, конечно, вы угадали! — что такое трехмерное пространство. Это набор всехможных трехек чисел (x; y; z), где x, y и z — действительные числа (координаты точки), для которых определено расстояние по формуле
$$|MN| = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}$$
(см. учебник А. В. Погорелова «Геометрия 6—10», с. 204). Оказывается, предыдущую фразу можно взять за определение трехмерного пространства: из этого определения можно вывести все основные положения stereometрии с помощью элементаной алгебры. Так, определяв плоскость как множество точек, удовлетворяющих точке, удовлетворяющих линейному уравнению вида
$$Ax + By + Cz + D = 0,$$
(1)
неслоюно доказать, например, что через любую тройку неоколинеарных точек M, N, P проходит одна и только одна плоскость, а именно, плоскость с уравнением
$$((y_P - y_M)(z_N - z_M) - (z_P - z_M)(y_N - y_M)) \times (x_M - x) + ((z_P - z_M)(x_N - x_M) - (x_P - x_M)(z_N - z_M))(y_M - y) + (x_P - x_M)(y_N - y_M) - (y_P - y_M)(x_N - x_M))(z_M - z) = 0$$
(2)
(cм. «Геометрия 6—10», с. 212).

Тепер следующего определения должно произвольно естественно. Четырехмерным пространством называется множество всех четырехок чисел (x; y; z; t), где x, y, z, t — действительные числа, для которых определено расстояние по формуле
$$|MN|^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2$$
(3)

С определением плоскости в четырехмерном пространстве дело обстоит не так просто. Дело в том, что здесь бывают как общные двумерные плоскости, так и трехмерные «плоскости», называемые zигерплоскости. С точки зрения задания плоскостей уравнениями, именно гиперплоскость является точным аналогом общной плоскости в трехмерном пространстве. В уравнении (1) объявной плоскости дум из трех переменных x, y, z можно придаать произвольные значения, и тогда значение третьей переменной будет определться из уравнения однозначно. Таким образом,

Рис. 8. Сеченя куба, параллельные грани.

7

множество всех решений этого уравнения описывается двумя произвольными параметрами, то есть оно двумерно. По той же причине множество всех решений одного линейного уравнения в четырехмерном пространстве $Ax+By+Cz+Dt+E=0$ само по себе трехмерно. Аналогично трехмерному случай, вектор с координатами $(A; B; C; D)$ перепределкирен данной гиперплоскости и называется ее нормальным вектором.

Как его обобщить
Читатель, разобравшийся в предыдущем определении, без труда дастелерь определение $n$-мерного куба для любого $n \geq 1$. Для этого он сначала определит $n$-мерное пространство как множество наборов из $n$ чисел $(x_1; x_2; ...; x_n)$, расстояние между которых задается формулой

$$|AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + ... + (a_n-b_n)^2},$$

а затем и $n$-мерный куб как множество тех точек $n$-мерного пространства, для которых выполены неравенства $0 \leq x_1 \leq 1, 0 \leq x_2 \leq 1, ..., 0 \leq x_n \leq 1$.

Как его рассечить
Четыремерные функции удобно представлять себе при помощи их сечений некоторых семейством параллельных друг други гиперплоскостей (гиперплоскости параллельных между собой, если их нормальные векторы коллинеарны). Смысл этой конструкции можно понять, рассматривая сечения трехмерных тел обычными плоскостями (рис. 8, где показано сечение куба плоскости $y=h$). Аналогично выглядят и сечения четырехмерного куба плоскости $t=h$ — вспомните рисунок 2!

Для лучшего понимания геометрии четырехмерного куба рассмотрим следующие трудную задачу: изобразить семейство его сечений гиперплоскости, перепределкулярными главной диагонали. Если взять диагональ, соединяющего вершины $(0; 0; 0; 0)$ и $(1; 1; 1; 1)$, то уравнение этих гиперплоскостей будет иметь вид $x+y+z+t=h$, где $h$ — некоторая константа.

Разберемся аналогично трехмерную задачу. Трехмерный куб можно представить как пересечение двух octantов, заданных системами неравенств

$$\begin{cases} x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ z \geq 0 \end{cases}$$

и $$\begin{cases} x \leq 1, \\ y \leq 1, \\ z \leq 1 \end{cases}$$

(рис. 9). Всякая плоскость вида $x+y+z=h$ пересекает каждый из этих двух octantов по правильному треугольнику. Проследим за изменением этой конфигурации при изменении $h$ от 0 до $\sqrt{3}$. В начальной момент $(h=0)$ один из треугольников состоит всего из одной точки. Затем его линейные размеры увеличиваются пропорционально $h$, одновременно с этим второй треугольник постепенно уменьшается, оставясь готовотипным вершому с отрицательным коэффициентом. Начиная с того момента, когда вершины меньше треугольника «протыкают» стороны большшего, их пересечение дает шестиугольник. Этот шестиугольник становится правильным, когда размер треугольников сравнивается. Далее описанный процесс повторяется в обратном порядке.

Подобным образом, четырехмерный куб представляет собой пересечение двух частей четырехмерного пространства, выделяемых системами неравенств $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, t \geq 0$ и $x \leq 1, y \leq 1, z \leq 1, t \leq 1$. Нетрудно показать, что гиперплоскость $x+y+z+t=h$ пересекает каждую из этих частей по правильному тетрадру. Однако из этих тетрадров увеличивается с ростом $h$, а другой уменьшается. Искимо множество представляет собой пересечение двух таких тетрадров и может быть точкой, тетрадром или усеченным тетрадром (в частности, при совпадении размеров обихх tetraдров мы получим в пересечении правильный octаэдр; он изображен на рисунке 3 на четвертой странице обложки «Кванта» № 6 за 1985 год).

Мы надеемся, что читатели настолько освоились с понятием четырехмерного куба, что сумме нарисовать эти сечения самостояльно.