Сопротивление рёбер многомерного куба

22

рассердится — мыслимо ли проводить такой счет?

Между тем в этих задачах скрыты красивые геометрические и алгебраические закономерности (недаром эта с виду физическая задача рассматривась на математических кругжках), позволяющие их решить без всякого «нуndного счета», а также неожиданным образом их обобщить.

Случай трехмерного и четырехмерного кубов

Начнем с очевидного геометрического наблюдания: схема на рисунке 1 — это схема ребер общного куба (сравните рисунки 1 и 3, а). В качестве модели нашего куба рассмотрим стандартный единственный куб в системе координат $Oxyz$, сопоставив точкам $O$ и $I$ вершины (0; 0; 0) и (1; 1; 1), подразумевая наличие сопротивления в 1 Ом на всех ребрах куба. Заметим, что координаты вершин куба (и только координаты этих 6 точек) составят лишь из нулей и единиц. Изовем сумму координат какой-либо вершины ее $p$ангом. Если между точкими $O$ и $I$ создается потенциальов, то потенциаль вершин одинакового ранга одинаково (это очень из сообщений симметрии). Поэтому можно, не меняя сопротивления схемы, закоротить вершины одного ранга, получив схему, состоящую из трех последовательных групп параллельных сопротивлений (рис. 4). Для такой схемы задача решается устно (см. рис. 4): сопротивление $R_3$ равно 5/6 Ом.

Для подсчета сопротивления второй схемы (см. рис. 2) заметим, что эта схема — схема ребер четырехмерного куба*). Это — уже менее очевидное геометрическое наблюдение. Читатель может произвести его, сравнив рисунок 2 с рисунком 7 на с. 6. Далее подсчет выполняется точно так же, как в случае обычного куба. При подсчете (показном на рисунке 5) вовь используется то, что вершины однозоранга имеют одинаковый потенциал и поэтому могут быть закорочены (без изменения общего сопротивления между точками $O$ и $I$). Ответ получается такой: $R_4 = 2/3$ Ом.

Задча 1. Сосчитайте сопротивление ребер $R_5$ пятимерного куба между его диаметрально противоположными вершинами при условии, что сопротивление каждого ребра равно 1 Ом.

Сопротивление ребер $n$-мерного куба

Задачу о сопротивлении ребер куба можно обобщить далее, рассматривая кубы размерности $n=5, 6, 7, 8$ и т. д. Это можно сделать по той же схеме, что для $n=2, 3, 4$, однako мы не будем вправе считать себя математики, если не сумем сразу сопротивление $R_n$ $n$-мерного куба между его противоположными вершинами для любого $n$ (определение $n$-мерного куба см. на с. 7).

Читатель может просить — правомерна ли такая постановка задачи, ведь $n$-мерный куб при $n>3$ — лишь

*) С понятием четырехмерного куба можно познакомиться в статье С. В. Дужина и В. Н. Рубцова в этом номере «Кванта».

23

Ранг 0 1 2 Σ

Число вершин 1 + 2 + 1 = 4
Число ребер 2 + 2 = 4
Схема
Сопротивления 1/2 + 1/2 = 1

Ранг 0 1 2 3 Σ

Число вершин 1 + 3 + 3 + 1 = 8
Число ребер 3 + 6 + 3 = 12
Схема
Сопротивления 1/3 + 1/6 + 1/3 = 5/6

Рис. 4.

Ранг 0 1 2 3 Σ

Число вершин 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Число ребер 4 + 12 + 12 + 4 = 32
Схема
Сопротивления 1/4 + 1/12 + 1/12 + 1/4 = 2/3

Рис. 5.

Рис. 6.

Ранг 0 1 2 … k - 1 k … n - 1 n

Число вершин 1 + n + $\frac{n(n-1)}{2}$ + … + $C_n^k$ + … + n + 1 = $2^n$

Число ребер n + n(n-1) + … + (n-k) $C_n^k$ + … + n = ?

Сопротивления $\frac{1}{n}$ + $\frac{1}{n(n-1)}$ + … + $\frac{1}{n C_{n-1}^k}$ + … + $\frac{1}{n}$ = ?

24

математическая абстракция, он не существует «на самом деле», так что неопонятно, какой смысл в подсчете сопротивления его ребер. Отвечаем. Смысл есть, поставленная задача — вполне реальная физическая задача. Дело в том, что хотя сам $n$-мерный куб при $n > 3$ нельзя помещить в трехмерное пространство, схема его ребер без труда в обычное пространство помещается. Так, на рисунке 2 (или 5) видно, как это делается для четырехмерного куба, а на обложке журнала даже показана схема ребер восьмимерного куба! В обшем случае ($n$ — любое) выполняст схемы ребер $n$-мерного куба в трехмерное пространство — несложная математическая теорема, на доказательстве которой мы останавливаемся не будем.

Интересно отмечить, что схему ребер трехмерного куба можно разместить без самопересечений на плоскости (см. рис. 1), однako доказано (это уже трудная теорема), что схему ребер четырехмерного (и вообше $n$-мерного при $n \geq 4$) куба помещить на плоскость без самопересечений нельзя.

Как читатель наверняка договорался, подсчет $R_n$ проводится в существии так же, как $R_3$ и $R_4$. Проследить за ним можно по рисунку 6. Ответ таков:

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)C_k^n},$$

где $C_k^n$ — биномиальный коэффициент (см. «Квант», 1986, № 1, с. 23).

При подсчете мы видны пользовемся тем, что вершины одного ранга имеют тот же потенциал, и поэтому все свойства к подсчету числа ребер, соединяющих вершины соседних рангов. Понятно, что число вершин ранга $k$ равно $C_k^n$ (их столбко, сколько имеет способов поставить $k$ цифр 1 на $n$ мест), а число ребер, исходящих из каждой вершины ранга $k$ равно $n-k$ (почему?); значит, число ребер вершинами $k$-го и $(k+1)$-го ранга равно $(n-k)C_k^n$. Эти ребра можно считать параллельно соединенными, поэтому получаем (1).

Задачи

2. Проверьте, что $(n-k)C_k^n = nC_{n-1}^k$, обосновав тем самым соответствие.

$$R_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{C_{n-1}^k}.$$

3. Пользовясь формулой (2), доказите, что

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)2^k}.$$

4. Установите рекуррентное соотношение

$$R_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{2} R_{n-1}$$

алgebraические (пользовая формулой (3)) и геометрические. Проверьте наши подсчеты $R_3, R_4, R_5$, исходя из этого соотношения и равенств $R_1 = R_2 = 1$.

Другие обобщения

Предлагаемые здесь методы подсчета можно применить и к другим задачам, например такой:

Задачка 5. Сосчитайте сопротивление трехмерного куба между соседними вершинами при условии, что сопротивление каждой ребра равно 1 Ом. Обобщите на любое $n$.

Более интересно менять не точки приложенияометра, а конфигурацию расматриваемой схемы. Наши рассуждения сохраняют силу для любой схемы, у которой в каждой узел подключено одинаковое количество ребер (спротивлении в 1 Ом).

Задачка 6. Показите, что сопротивление между соседними узлами схемы из $m$ узлов, в каждой из которых входит $s$ сопротивлений в 1 Ом, равно

$$R = \frac{2}{s} \left(1 - \frac{1}{m}\right).$$

Например, для бесконечной двумерной квадратной сетки получается простой ответ: $R = 1/2$ ($s = 4, m = \infty$). Для сетки из трехгольников ($s = 6, m = \infty$) $R = 1/3$, для сетки из шестигольников ($s = 3, m = \infty$) $R = 2/3$, для тетраэдра ($s = 3, m = 4$) $R = 1/2$. Для $n$-мерного куба получаем ($s = n, m = 2^n$):

$$R = \frac{2}{n} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right).$$

Еще более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчете сопротивления между соседними по диагонали узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным $2/\pi$ Ом, хотя в схеме нет ни намек на окружность!