[Омар Хайям о математике]

26

Рис. 2.

му материал, мы приведем их прямое доказательство по индукции.

При $n=2$ формулы общеизвестны. Пусть $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ $a_{n+1}$ есть $n$-я строка треугольника Паскала. Предположим, что формулы $\cos nx = a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...,$ $\sin nx = a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...$ уже доказаны. По формуле для косинуса суммы $\cos(n+1)x = \cos(nx+x) = \cos nx\cos x - \sin nx\sin x = (a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...)\cos x - (a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...)\sin x.$ Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получаем:

$$\cos(n+1)x = a_1\cos^{n+1}x - (a_2+a_3)\cos^{n-1}x\sin^2x + (a_4+a_5)\cos^{n-3}x\sin^4x - ...$$

Аналогично, при помощи формулы $\sin(n+1)x = \sin nx\cos x + \cos nx\sin x$ получается $\sin(n+1)x = (a_1+a_2)\cos^n x\sin x - (a_3+a_4)\cos^{n-2}x\sin^2x + ....$ Поскольку $a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, ...$ есть $(n+1)$-я строка треугольника Паскала, мы доказали для $\cos(n+1)x$ и $\sin(n+1)x$ нужные формулы.

Заключение. Построение циркулем и линейкой правильного патиугольника (читать только любознатьным!). Пусть $x=2\pi/5$. Тогда $5x=2\pi$ и $\sin 5x=0$. По нашей формуле $\sin 5x=5\cos^4 x\sin x-10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x=\sin x(5\cos^4 x-10\cos^2 x)(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)^2=\sin x(16\cos^4 x-12\cos^2 x+1).$

Д. В. Фукс

Раздел философии, называемый математикой, является самым легким из всех разделов с точки зрения представления и доказательства… Этот раздел философии сообщает нам гибкость, укрепляет сообщение, приучает нас ненавидеть недосказанное, так как его исходные поло-жения общеизвестны, доказательства лезки, в нем воображение помогает разуму и мало противоречению.

Омар Хайм