[Omar Khayyam về toán học]

26

Hình 2.

mu, chúng ta sẽ đưa ra bằng chứng trực tiếp bằng quy nạp.

Đối với $n=2$ các công thức đã được biết rõ. Đặt $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ $a_{n+1}$ là hàng thứ $n$ của tam giác Pascal. Giả sử rằng các công thức $\cos nx = a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...,$ $\sin nx = a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...$ đã được chứng minh. Sử dụng công thức tính cosin của tổng $\cos(n+1)x = \cos(nx+x) = \cos nx\cos x - \sin nx\sin x = (a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...)\cos x - (a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...)\sin x.$ Mở ngoặc và sắp xếp lại các số hạng, ta được:

$$\cos(n+1)x = a_1\cos^{n+1}x - (a_2+a_3)\cos^{n-1}x\sin^2x + (a_4+a_5)\cos^{n-3}x\sin^4x - ...$$

Tương tự, sử dụng công thức $\sin(n+1)x = \sin nx\cos x + \cos nx\sin x$ ta được $\sin(n+1)x = (a_1+a_2)\cos^n x\sin x - (a_3+a_4)\cos^{n-2}x\sin^2x + ....$ Vì $a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, ...$ là hàng thứ $(n+1)$ của tam giác Pascal nên chúng ta đã chứng minh được các công thức cần thiết cho $\cos(n+1)x$ và $\sin(n+1)x$.

Phần kết luận. Xây dựng một patagon thông thường với la bàn và thước kẻ (chỉ đọc cho những ai tò mò!). Hãy để $x=2\pi/5$. Sau đó $5x=2\pi$ và $\sin 5x=0$. Theo công thức của chúng tôi $\sin 5x=5\cos^4 x\sin x-10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x=\sin x(5\cos^4 x-10\cos^2 x)(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)^2=\sin x(16\cos^4 x-12\cos^2 x+1).$

D. V. Fuks

Nhánh triết học được gọi là toán học là nhánh dễ nhất trong tất cả các nhánh xét theo quan điểm trình bày và chứng minh… Nhánh triết học này mang lại cho chúng ta sự linh hoạt, củng cố thông điệp, dạy chúng ta ghét những điều không được nói ra, vì xuất phát điểm của nó thường được biết đến, bằng chứng của nó rất dễ dàng, trong đó trí tưởng tượng giúp ích cho lý trí và ít mâu thuẫn.

Omar Khaim