Olympic Toán quốc tế XXVII

48

XXVII
Olympic Toán quốc tế

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN,
T. A. SARYCHEVA,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. FOMIN

Khi nhớ lại mười ngày ở Ba Lan tham dự Olympic Toán quốc tế XXVII, bạn nhớ đến những con phố và quảng trường của Warsaw hồi sinh, một ngôi nhà nhỏ trong công viên của thành phố Zhelazova Wola, nơi Federac Chopin sinh ra, những cuộc trò chuyện với trưởng nhóm (và lần này có 37 người trong số họ), những niềm vui và nỗi buồn khi kiểm tra công việc và nhiều hơn thế nữa.

Nhưng ấn tượng sống động nhất có lẽ là khoảnh khắc đó trong lễ bế mạc chính thức của Thế vận hội, khi ba vận động viên xuất sắc nhất của Thế vận hội, ghi được 42 trên 42 điểm có thể, được gọi lên sân khấu - Volodya Roganov và Slava Smirnov của chúng tôi và Kush Giza người Hungary. Bạn có thể thấy khoảnh khắc này trong chương trình truyền hình “Time”.

Ngoài các em, còn có 15 thí sinh đạt từ 34 điểm trở lên cũng được giải nhất; Có 41 thí sinh nhận giải Nhì (từ 26 đến 33 điểm) và 48 thí sinh nhận giải Ba (từ 17 đến 25 điểm). Cậu học sinh người Mỹ Joseph Keane đã được trang bị một tính năng đặc biệt cho bản gốc lời giải bài toán Số 3.

Sau khi Thế vận hội kết thúc, những bức ảnh được chụp để làm kỷ niệm. Bức ảnh chung của hai đội Liên Xô và Hoa Kỳ đã thu hút sự chú ý của mọi người, không chỉ vì sự giao tiếp thoải mái của các đội này tượng trưng cho bầu không khí tình bạn ngự trị tại lễ hội toán học này, mà còn bởi vì họ đã chia nhau vị trí thứ nhất và thứ hai trong nội dung đồng đội không chính thức, mỗi đội ghi được 203 điểm.

49

Các vị trí tiếp theo thuộc về các đội Đức (196), Trung Quốc (177), Đông Đức (172), SSR (171), Cộng hòa Nhân dân Belarus (161), Hungary (151), Tiệp Khắc (149), Việt Nam (146), Anh (141), Pháp (131), Úc (127), Iceland (119), Úc (117), Canada (112), Ba Lan (93), Maroc (90), Tunisia (85), SFRY (84), Algeria (80), Bỉ (79), Tây Ban Nha (78), Brazil (69), Na Uy (68), Hy Lạp (63), Phần Lan (60), Colombia (58), Thụy Điển (57), Thổ Nhĩ Kỳ (55), Mông Cổ (54), Síp (53), Cuba (51), Ý (49), Kuwait (48), Israel (37), Luxembourg (22). Mỗi đội có 6 đội tham dự, ngoại trừ các đội Israel (4), Tây Ban Nha (4), Ý (3) và Luxembourg (2).

Vì vậy, Volodya Roganov và Slava Smirnov, mỗi người ghi được 42 điểm, đã nhận được giải nhất. Bốn người tham gia còn lại của chúng tôi đã nhận được giải nhì, có cùng số điểm: Gena Glushenko - 32 điểm, Anton Lunin - 31 điểm, Sigitas Kryaras và Vitya Poroshin - mỗi người 28 điểm.

Nếu chúng ta cố gắng phân tích hiệu suất của đội mình, chúng ta nên lưu ý đến lời giải truyền thống bằng phẳng của bài toán olympid dễ nhất (Số 1) và lời giải tự tin theo truyền thống của bài toán khó nhất (Số 3 và Số 6). Đây là nội dung của bài toán Olympic.

Ngày đầu tiên

1. Cho $d$ là số nguyên dương khác 2, 5 và 13. Chứng minh rằng trong tập {2, 5, 13, $d$} ta tìm được hai số phân biệt $a$ và $b$ sao cho các số $ab$ - 1 không phải là bình phương của một số nguyên.
2. Một tam giác $A_1A_2A_3$ và một điểm $P_0$ được cho trên mặt phẳng. Chúng ta hãy đặt $A_s=A_{s-3}$ cho bất kỳ số nguyên nào $s \geqslant 4$. Chúng ta xây dựng một chuỗi các điểm $P_0, P_1, P_2, \dots$, sao cho điểm $P_{k+1}$ là ảnh của điểm $P_k$ khi quay quanh điểm $A_{k+1}$ theo góc $120^\circ$ theo chiều kim đồng hồ ($k=0, 1, \dots$). Chứng minh rằng nếu $P_{1986}=P_0$ thì tam giác $A_1A_2A_3$ là tam giác đều.
3. Mỗi đỉnh của hình ngũ giác được gán một số nguyên nhất định sao cho tổng của năm số là dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp tương ứng với các số $x, y$ và $y<0$ thì trận đấu tiếp theo sẽ bị cắt, các số $x, y, z$ được thay thế bằng một trận đấu thành $x+y, -y, y+z$. Các thao tác như vậy được thực hiện tuần tự miễn là có ít nhất một trong năm số âm. Xác định xem quá trình này có phải được hoàn thành trong một số bước hữu hạn hay không.
   Ngày thứ hai
4. Đặt $A$ và $B$ là các đỉnh liền kề của $n$-giác ($n \geqslant 5$) đều có tâm $O$. Tam giác $XYZ$, tam giác tắc nghẽn $OAB$, đầu tiên trùng với nó, sau đó di chuyển trong mặt phẳng của $n$-giác sao cho các điểm

$Y$ và $Z$ vẫn nằm trên ranh giới và điểm $X$ vẫn nằm bên trong $n$-gon này. Điểm $X$ tạo thành hình gì khi các điểm $Y$ và $Z$ cùng nhau tạo thành một vòng quay hoàn toàn dọc theo ranh giới của $n$-gon?

5. Tìm tất cả các hàm $f(x)$ xác định trên tập hợp số thực không âm, lấy các giá trị trong cùng một tập hợp và thỏa mãn điều kiện sau:
   (1) $f(xf(y)) \cdot f(y)=f(x+y)$ cho mọi số không âm $x$ và $y$,
   (2) $f(2)=0$,
   (3) $f(x) \neq 0$ cho tất cả $0 \leqslant x < 2$.

6. Đặt $M$ là tập hợp hữu hạn tùy ý các điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ. Có phải luôn luôn có thể tô màu một số điểm của tập hợp $M$ màu trắng và phần còn lại là màu đỏ sao cho với mỗi đường thẳng $L$ song song với bất kỳ trục tọa độ nào, đỉnh tuyệt đối của chênh lệch giữa số điểm trắng và điểm đỏ trên $L$ không vượt quá một? Đáp số biện minh.

Trong thời gian diễn ra Thế vận hội, một cuộc họp của Ủy ban trù bị quốc tế cho Olympic Toán học quốc tế đã diễn ra dưới sự đại diện của chủ tịch ủy ban, giáo sư Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva G. N. Ykovlev.

Tại cuộc họp, người ta đã quyết định rằng Olympic sẽ được tổ chức ở Cuba vào năm 1987 và ở Úc vào năm 1988. Tại hình có biểu đồ số lượng quốc gia tham gia Olympic từ ngày 1 đến ngày 27 và dự đoán cho hai năm tới. Dự báo này có tính đến sự đại diện rộng rãi hơn của các quốc gia Latinh tại Thế vận hội XXVIII và các quốc gia Thái Bình Dương tại Thế vận hội XXIX.

Olympic Toán Quốc tế XXVII được tổ chức trong bầu không khí đoàn kết và khát vọng hòa bình. Không có gì ngạc nhiên khi bài toán, nơi đã trao đổi những người tham gia cấp 1 vào các năm 1984, 1985 và 1986. II premyan tại XXVII MMO.

Sigitas Kryaras, tốt nghiệp trường số 2 của Molletai Lithuanian SSR. Tại Thế vận hội toàn Liên minh, ông được trao bằng tốt nghiệp cấp II năm 1984, năm 1985 - cấp I, năm 1986 - cấp II. II premyan tại XXVII MMO.